期末专题01 导数的概念及其几何意义讲义-2025-2026学年高二下学期数学冲刺人教A版选择性必修第二册

专题01 导数的概念及其几何意义 题 型 题型1 导数的概念及意义 题型2 导数的运算 题型3 导数的几何意义 考向1 在某点的切线 考向2 过某点的切线 考向3 公切线问题 考向4 已知切线求参数（范围） 考向5 切线的综合应用 知识点一 导数的概念 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数: 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （3） 函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点二 导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ （2）导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3) （3）复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接 考点1 导数的概念 例1(1)（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．-2 C．4 D． (2)（25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1.已知函数在处的导数为2，则（   ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 考点2 导数的计算 例2 （1）（25-26聊城高二期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【类题演练】 1.（25-26浙江联考）已知函数，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，且，则的值为__________. 考点3 导数的几何意义 考向1 求在某点的切线 例3 （2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数，则在处的切线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 4．（25-26高二下·山东枣庄·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 考向2 求过某点的切线 例4 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【类题演练】 1．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 4．（25-26高二下·广东惠州·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 考向3 公切线问题 例5（25-26高二下·天津·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【类题演练】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 3．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 4.（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 考向4 已知切线求参数（范围） 例6（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·北京·期中）在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期中）已知曲线 在处的切线方程为，则 （   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东德州·月考）若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向5 导数几何意义的综合运用 例7（25-26高二下·重庆江津·月考）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 2.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的概念及其几何意义 题 型 题型1 导数的概念及意义 题型2 导数的运算 题型3 导数的几何意义 考向1 在某点的切线 考向2 过某点的切线 考向3 公切线问题 考向4 已知切线求参数（范围） 考向5 切线的综合应用 知识点一 导数的概念 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数: 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （3） 函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 知识点二 导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ （2）导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3) （3）复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接 考点1 导数的概念 例1(1)（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A．2 B．-2 C．4 D． 【答案】D 【分析】由导数的定义运算即可. 【详解】由题意得，. 故选：D (2)（25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导，将代入导函数中即可求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 则质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 【类题演练】 1.已知函数在处的导数为2，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】．故选:A． 2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据导数求得，再根据导数的定义求解即可. 【详解】由题意知，所以， 所以. 3.已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 考点2 导数的计算 例2 （1）（25-26聊城高二期中）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，，，，故AC正确，BD错误. （2）（25-26高二下·黑龙江鸡西·阶段检测）若函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以， 则， 解得. 【类题演练】 1.（25-26浙江联考）已知函数，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ ，根据导数的商运算法则，对 求导可得 ∴ ∵ ，∴ ， 2.（25-26高二下·山东·期中）已知函数的导函数为，且，则的值为__________. 【答案】 【分析】先求导数，解得，代入解得 【详解】因为，所以，代入得，解得， 因此，所以 考点3 导数的几何意义 考向1 求在某点的切线 例3 （2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 【类题演练】 1．（25-26高二下·四川泸州·期中）已知函数，则在处的切线斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出在处的导数即可 【详解】，. 2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列曲线中，存在与轴平行的切线的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若曲线存在与轴平行的切线，则相应函数存在斜率为0且异于轴的切线，即其导函数有零点，且对应的切点不在轴上. 对于A，，无零点，故A错误； 对于B，有唯一的零点，此时对应的切点为，在轴上，故B错误； 对于C，，无零点，故C错误； 对于D，显然有 3．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（   ） A．－1 B．－2 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为切线方程为，故且， 故. 4．（25-26高二下·山东枣庄·期中）函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到. 【详解】 如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为， 则直线的斜率依次为，，， 由图可知直线的倾斜角， 因函数在上单调递增，故， 即. 多个零点，取，此时对应的切点为，不在轴上，故D正确. 5.（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 考向2 求过某点的切线 例4 （25-26高二下·贵州贵阳·期中）已知函数，则过点且与曲线相切的直线的方程为________. 【答案】或 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，设切点为， 则切线方程为， 整理得， 故有， 整理得， 故或， 当时，直线的方程为，即； 当时，直线的方程为， 即； 即直线的方程为或. 【类题演练】 1．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 2．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，根据题意结合导数的几何意义可得，令，题意等价于与有3个交点，利用导数结合函数图象即可得结果. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 3．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 4．（25-26高二下·广东惠州·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 【答案】 【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以，解得， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 考向3 公切线问题 例5（25-26高二下·天津·月考）若直线是曲线与曲线的公切线，则______ 【答案】 【分析】设切线与的切点为和，利用导数的几何意义，分别求得切线方程和，结合题意，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数和，可得和， 设公切线与的切点为， 可得，所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得， 所以与的公切线的方程， 设公切线与的切点为，可得， 所以切线方程为，即， 因为公切线的方程为，可得，解得. 【类题演练】 1．（2026·重庆·模拟预测）已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 2．（25-26高三下·河南·开学考试）若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 3．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 4.（2026·湖南·三模）已知直线l与函数的图象在处相切，与函数的图象在处相切，则_________. 【答案】 【详解】由，可得，则， 所以切线方程为，即， 由，可得，则， 所以切线方程为，即； 由题意可知，，解得， 所以. 5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设两切点分别为，，由导数求得斜率相等，从而得，构造函数，根据与有两个交点，利用导数求解即可. 【详解】因为求导得由求导得， 设与相切的切点为，与曲线相切的切点为， 则有公共切线的斜率（*）， 又因为，，代入（*），得， 即，则， 又因为，所以， 因为存在两条公切线，该方程在上有两解， 令，则， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数在处取极大值，也是最大值，， 当时，,当时，， 因为存在两条公切线，即与有两个交点，则， 所以实数的取值范围为. 考向4 已知切线求参数（范围） 例6（25-26高二下·浙江丽水·期中）已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为在点处的切线与直线平行， 所以，解得. 【类题演练】 1．（25-26高二下·北京·期中）在曲线上一点处的切线平行于直线，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而结合题意得，解方程即可求得答案. 【详解】设， 由题意得：，则， 因为曲线上一点处的切线平行于直线， 直线的斜率为， 所以，解得， 所以，即 2．（25-26高二下·陕西商洛·期中）已知曲线 在处的切线方程为，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，求出切线斜率和切点处的函数值，进而求出结果. 【详解】对函数求导得，可得曲线在处的切线斜率为， 由切线方程为，可得，即， 又，故切点坐标为，将其代入切线方程中得， 所以，所以. 3．（25-26高二下·山东德州·月考）若函数的图象在上存在平行于轴的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等同于其导数在该区间有零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数的图象在上存在平行于轴的切线，说明其导数在内有零点， 即方程在内有解， 令，则在有解， 分离参数可得， 令，则， 所以，则， 即， 所以的取值范围是. 考向5 导数几何意义的综合运用 例7（25-26高二下·重庆江津·月考）已知A，B分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 求导得，直线斜率为， 当直线与曲线的切线平行时，最小，此时，解得， 故切点为， 则的最小值为切点到直线的距离， 即． 【类题演练】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）曲线上的点到直线的最短距离是（  ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】令求得，由导数的几何意义知在点的切线斜率为，然后利用点到线距离公式求出最小距离. 【详解】直线的斜率为， 所以，令得， 将代入可得，则在点的切线斜率为， 所以切点到直线的距离为：. 2.若函数有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数有两个零点，转化为函数的图象有两个不同交点问题；由此设，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案. 【详解】由题意知函数有两个零点，即有两个不等实数根， 即函数的图象有两个不同交点； 设，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，当时，， 作出的图象如图： 当直线与图象相切时，设切点为， 此时，则， 故此时， 结合图象可知，要使函数的图象有两个不同交点， 需满足， 故， 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $