第四章 数列 期末复习讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 一、知识点回顾 数列的有关 概念 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 数列的通项 数列的第项. 数列的三种表示法 列表法、图象法和通项公式法. 数列的通项公式 数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示 数列的前项和 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按照项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按照大小分类 数列的前项和为与的关系 【解题方法总结】 在数列中，若最大，则若最小，则 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 等差数列及其前n项和 等差数列的 有关概念 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，． 特别地，若，则． 2.，…仍是等差数列，公差为． 3.，…也成等差数列，公差为． 4.若，是等差数列，则也是等差数列． 5.若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 6.若项数为偶数，则；；． 7.若项数为奇数，则；；． 8. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 其他衍生 等差数列 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 解题方法总结 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 等比数列及其前n项和 等比数列的 有关概念 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等比中项 若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项， 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，．特别地，若，则． 2.等间距抽取为等比数列，公比为． 3.等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 4.设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． 5.设与为等比数列，则也为等比数列． 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 解题方法总结 1.为等比数列，若，则成等比数列． 2.当，时，是成等比数列的充要条件，此时． 3.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 4.若为正项等比数列，则为等差数列． 5.若为等差数列，则为等比数列． 6.若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 解题方法总结 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 二、题型汇总 考点01：数列的周期性 考点02：数列的单调性 考点03：数列的最大（小）项 考点04、数列的恒成立问题 考点05：等差数列基本量的计算 考点06：等差中项的性质 考点07：等差数列片段和的性质 考点08：等差数列前n项和与n的比 考点09：两个等差数列的前n项和之比 考点10: 等差数列前n项和的最值 考点11: 等差数列奇数项或偶数项的和 考点12: 等差数列定义及含绝对值的求和 考点13:等比数列基本量的计算 考点14 :等比中项的性质 考点15:等比数列片段和的性质 考点16:等比数列前n项和的最值 考点17: 等比数列奇数项或偶数项的和 考点18:等比数列的实际应用 考点19:等比数列的综合运用 三、题型通关 考点01：数列的周期性 例1-1.在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D．【答案】C 【解析】因为且，所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以.故选：C 例1-2.在数列中，，若对，则（    ） A． B．1 C． D．【答案】A 【解析】由与相减得：， 即，又，故，所以.故选：A. 例1-3.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A 【解析】报出的数字依次是，除了首项以外是个周期为6的周期数列. 去掉首项后的新数列第一项为2，因为，所以原数列第2024个被报出的数应该为2.故选：A. 例1-4.已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2【答案】C 【解析】由，得 ，，，，，， 则是以6为周期的周期数列，所以.故选：C 例1-5.数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D．【答案】A 【解析】因为，，，令，可得；令，可得； 令，可得；令，可得；令，可得；令，可得；可知数列是以6为周期的周期数列，所以.故选：A. 考点02：数列的单调性 例2-1.对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D. 例2-2.已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】当时，则， 所以，即，所以是递增数列，故充分性成立； 当时，则，所以是递增数列， 所以当数列是递增数列，可以大于，所以必要性不成立， 所以“”是是递增数列的充分不必要条件.故选：B 例2-3.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D．【答案】A 【解析】由题意可得恒成立，即， 即，又，，故.故选：A. 考点3：数列的最大（小）项 例3-1.已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为.故选：D 例3-2.数列的最小项的值为 .【答案】 【解析】令，得，令，得， 所以当时，，当时，，而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值，即数列的最小项的值为.故答案为：. 例3-3.数列的通项，则数列中的最大项的值为 .【答案】 【解析】因为，则， 则， 令，即，因为，解得，所以， 令，解得，所以， 故数列中的最大项为，其值为.故答案为：. 考点04、数列的恒成立问题 例4-1．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______．【答案】 【解析】∵， ∴数列为单调递减数列，．从而，即k的最小值为．故答案为： 例4-2．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________.【答案】 【解析】 从而可得即， 因为，所以.故答案为： 例4-3．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．【答案】B 【解析】，∵不等式恒成立， ∴，解得， 例4-4．数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为 A． B． C． D．【答案】A 【解析】依题意，由此可知，所以，所以， 所以对任何正整数恒成立，即． 考点05 等差数列基本量的计算 例5-1.已知等差数列满足：为数列的前项和，则（    ） A．18 B．45 C．90 D．180【答案】B 【解析】由，得，即，于是.故选：B. 例5-2.已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C 【解析】由等差数列为单调递增数列，可得公差， 因为与的等差中项为8，可得，可得，即， 又因为，可得，即，解得或（舍去）.故选：C. 例5-3.已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B 【解析】由，，得，解得，则等差数列的公差， 于是，由，得，所以.故选：B 考点06 等差中项的性质 例6-1.在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D．1【答案】C 【解析】因为成等差数列，所以； 又，所以，即，所以，所以.故选：C. 例6-2.等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95【答案】B 【解析】由题意可得，故选：B. 例6-3.设，，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B 【解析】因为是与的等差中项， 所以，即，∴，又，， ∴，当且仅当，即，时等号成立.选B. 考点07等差数列片段和的性质 例7-1.设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D．【答案】C 例7-2.设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63【答案】C 【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列， 即，解得.故选：C 例7-3.设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，∵，即，， ∴，，∴，，∴.故选：A. 考点08 等差数列前n项和与n的比 例8-1.已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：，.故选：D. 例8-2.等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】设的公差为d，∵∴， 即{}为等差数列，公差为，由知，故 考点09 两个等差数列的前n项和之比 例9-1.设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为，为等差数列， 所以，，所以，故选：D 例9-2.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】因为=，所以可设，，， 所以，，所以，故选：A. 例9-3.设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（    ） A． B．-1 C．1 D．【答案】C 【解析】，，故，又，故，则，故. 例9-4.已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得，故.故选：D. 考点10 等差数列前n项和的最值 例10-1.等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B 【解析】在等差数列中，，由，可得， ，，且数列为递减数列，所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B. 例10-2.设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由、、成等比数列，得，解得， 因此， 则，当且仅当时取等号，所以.故选：A 例10-3.已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得，所以当时，取得最小值.故选：D. 例10-4.若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以公差， 故当时，，当时，，所以当时，取得最小值，即中最小的项是.选：B. 考点11 等差数列奇数项或偶数项的和 例11-1.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D．【答案】A 【解析】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得故选: A. 例11-2.已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，首项为，则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.故选：B 例11-3.设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D．【答案】D 【解析】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为，所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 考点12 等差数列定义及含绝对值的求和 例12-1.已知数列,点在直线上. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前20项和. 【解析】（1）由已知：          因为（）  所以数列是公差为3的等差数列     （2）由（1）知：公差， 当时，；当时，           所以 = 例12-2.已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，所以， 所以当时，取得最小值，正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以当或时，取得最大值为，正确； 对于C，若，则，又， 所以，所以，正确； 对于D，若，则， 又，所以，所以， 所以等差数列为递减数列，所以， 所以取最大值时的值为9，错误.故选：D 考点13 等比数列基本量的计算 例13-1.已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A．2 B． C．3 D．【答案】A 【解析】因为是等比数列，所以，则，解得或， 又因为是单调递增的等比数列，所以，所以公比.故选：A. 例13-2.等比数列中，，，记为的前n项和，则（ ） A． B． C． D．0【答案】D 【解析】设等比数列公比为，则，因为，则，又， 故，，，则．故选：D 例1-3.等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A．30 B．31 C．62 D．63【答案】B 【解析】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列. ，且，所以，，所以，。 所以.故选：B 考点14 等比中项的性质 例14-1.已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ） A．5 B．1 C． D．或1【答案】D 【解析】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列， 则，故，故选：D 例14-2.已知是等比数列，若，，则的值为（ ） A．9 B． C． D．81【答案】A 【解析】由题得，而，则，故选：A. 例14-3.在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D 例14-4.若，，成等比数列，则（　） A． B． C． D．【答案】B 【解析】由，，成等比数列，得， 即， ，所以.故选：B 例14-5．在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是 。【答案】 【解析】由已知得，则， 若，则，所以， 所以，这与矛盾，故， 所以， 即，，当且仅当时取等号，所以B的取值范围是． 考点15等比数列片段和的性质 例15-1.在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A．25 B．30 C．35 D．40【答案】C 【解析】因为为等比数列，所以成等比数列， 即成等比数列，可得，所以.故选：C 例15-2.设是等比数列的前项和，若，则（ ） A． B． C．5 D．【答案】A 【解析】，，可得， 可得，，，则.故选；A. 考点16等比数列前n项和的最值 例16-1．(多选)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值【答案】ABC 【解析】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：，根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误.故选：ABC. 例16-2．(多选)在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（  ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项【答案】BC 【解析】由，因此. 又因为则.当时，，则，，则，与题意矛盾. 因此.则为单调递减数列，故选项A错误.而，故，选项B正确. 又因为为单调递减数列，则，由可知，，， 所以当时，，则.当时，，则. 因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.故答案为：BC. 考点17等比数列奇数项或偶数项的和 例17-1.已知等比数列的公比，且，则等于（ ） A．100 B．80 C．60 D．40【答案】B 【解析】因为,所以，选B. 例17-2.已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）. A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B 【解析】由题意可得所有项之和是所有偶数项之和的4倍，∴， 设等比数列的公比为，由等比数列的性质可得，即， ∴，∵,∴解得， 又前3项之积，解得，∴.故选:B. 例17-3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C 【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8. 例17-4．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D 【解析】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶， 则S奇=341,S偶=682,所以 ，∴ ，解得n=5，这个等比数列的项数为10， 考点18 等比数列的实际应用 例18-1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（  ） A．12里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】C 【解析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为，前项和为， 则，解得，所以，即该人第三天走的路程为48里.选：C. 例18-2.从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（ ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元【答案】A 【解析】设是等比数列，公比， 依题意，，解得万元.故选：A 例18-3．某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（ ） A． B． C． D．【答案】A 【解析】记年后得到的本利和为，根据题意知， 即数列是一个首项为，公比为的等比数列， ∴该同学年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为：（元）. 例18-4 ．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C 【解析】设天后能打穿，则，化简为， 令，则， 又由函数的单调性可知在内有唯一零点， 所以至少需要天.故选：C. 考点19 等比数列的综合运用 例19-1.已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 【解析】（1）由得， 又，所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2） 由（1）知，， （3） 所以 所以， 当时，单调递增，故． 例19-2．已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 【解析】（1）数列满足①，当时，有②， ①②可得：， 即，变形可得， 故数列是以为等差的等差数列； （2）由（1）可知数列是以为等差的等差数列， 若，，成等比数列，则有， 即，解得，所以， 所以单调递减，又当时，，当时，，当时，， 故当或时，取得最大值，且． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 数列 一、知识点回顾 数列的有关 概念 数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列. 数列的项 数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列与函数的关系 从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． 数列的通项 数列的第项. 数列的三种表示法 列表法、图象法和通项公式法. 数列的通项公式 数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示 数列的前项和 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按照项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按照大小分类 数列的前项和为与的关系 【解题方法总结】 在数列中，若最大，则若最小，则 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列 作商比较法 根据与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 求数列的最大项与最小项的常用方法 （1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项． （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项． （3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为． 等差数列及其前n项和 等差数列的 有关概念 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等差中项 若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，． 特别地，若，则． 2.，…仍是等差数列，公差为． 3.，…也成等差数列，公差为． 4.若，是等差数列，则也是等差数列． 5.若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． 6.若项数为偶数，则；；． 7.若项数为奇数，则；；． 8. 在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值； 若，则满足的项数使得取得最小值． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 等差数列的前n项和的最值 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）；若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 其他衍生 等差数列 若已知等差数列，公差为，前项和为，则： ①等间距抽取为等差数列，公差为． ②等长度截取为等差数列，公差为． ③算术平均值为等差数列，公差为． 解题方法总结 （1）等差数列中，若，则． （2）等差数列中，若，则． （3）等差数列中，若，则． （4）若与为等差数列，且前项和为与，则． 解题方法总结 判断数列是等差数列的常用方法 （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 等比数列及其前n项和 等比数列的 有关概念 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示。 定义表达式 （常数） 等比中项 若三个数，，成等比数列，则叫做与的等比中项， 即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒． 通项公式 ．或者 前项和公式 常用性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． 1.当时，．特别地，若，则． 2.等间距抽取为等比数列，公比为． 3.等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 4.设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． 5.设与为等比数列，则也为等比数列． 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 解题方法总结 1.为等比数列，若，则成等比数列． 2.当，时，是成等比数列的充要条件，此时． 3.有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． 4.若为正项等比数列，则为等差数列． 5.若为等差数列，则为等比数列． 6.若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 解题方法总结 定义法 若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列 中项公式法 若数列中，且，则是等比数列 通项公式法 若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列 前项和公式法 若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列 二、题型汇总 考点01：数列的周期性 考点02：数列的单调性 考点03：数列的最大（小）项 考点04、数列的恒成立问题 考点05：等差数列基本量的计算 考点06：等差中项的性质 考点07：等差数列片段和的性质 考点08：等差数列前n项和与n的比 考点09：两个等差数列的前n项和之比 考点10: 等差数列前n项和的最值 考点11: 等差数列奇数项或偶数项的和 考点12: 等差数列定义及含绝对值的求和 考点13:等比数列基本量的计算 考点14 :等比中项的性质 考点15:等比数列片段和的性质 考点16:等比数列前n项和的最值 考点17: 等比数列奇数项或偶数项的和 考点18:等比数列的实际应用 考点19:等比数列的综合运用 三、题型通关 考点01：数列的周期性 例1-1.在数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 例1-2.在数列中，，若对，则（    ） A． B．1 C． D． 例1-3.现有甲乙丙丁戊五位同学进行循环报数游戏，从甲开始依次进行，当甲报出1，乙报出2后，之后每个人报出的数都是前两位同学所报数的乘积的个位数字，则第2024个被报出的数应该为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例1-4.已知数列中，，则（   ） A． B． C．1 D．2 例1-5.数列中，，，，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 考点02：数列的单调性 例2-1.对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-2.已知数列满足，则“”是是递增数列的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2-3.设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（    ）. A． B． C． D． 考点3：数列的最大（小）项 例3-1.已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 例3-2.数列的最小项的值为 . 例3-3.数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 考点04、数列的恒成立问题 例4-1．已知数列满足，若恒成立，则实数k的最小值为______． 例4-2．数列满足(，且)，，对于任意有恒成立，则的取值范围是___________. 例4-3．数列满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例4-4．数列满足，，若不等式，对任何正整数恒成立，则实数的最小值为 A． B． C． D． 考点05 等差数列基本量的计算 例5-1.已知等差数列满足：为数列的前项和，则（    ） A．18 B．45 C．90 D．18 例5-2.已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为8，且，则的公差（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例5-3.已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点06 等差中项的性质 例6-1.在中，三个内角成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 例6-2.等差数列中，设前项和为，，则等于（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 例6-3.设，，若是与的等差中项，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 考点07等差数列片段和的性质 例7-1.设等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．0 B． C． D． 例7-2.设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 例7-3.设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 考点08 等差数列前n项和与n的比 例8-1.已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 例8-2.等差数列的前项和为，若且，则(    ) A． B． C． D．【 考点09 两个等差数列的前n项和之比 例9-1.设等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 例9-2.已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则的值为（    ） A． B． C． D． 例9-3.设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（    ） A． B．-1 C．1 D． 例9-4.已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 考点10 等差数列前n项和的最值 例10-1.等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例10-2.设为等差数列的前n项和，已知、、成等比数列，，当取得最大值时，（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例10-3.已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例10-4.若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 考点11 等差数列奇数项或偶数项的和 例11-1.已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 例11-2.已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 例11-3.设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 考点12 等差数列定义及含绝对值的求和 例12-1.已知数列,点在直线上. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求数列的前20项和. 例12-2.已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 考点13 等比数列基本量的计算 例13-1.已知是单调递增的等比数列，，则公比的值是（ ） A．2 B． C．3 D． 例13-2.等比数列中，，，记为的前n项和，则（ ） A． B． C． D．0 例13-3.等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A．30 B．31 C．62 D．63 考点14 等比中项的性质 例14-1.已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ） A．5 B．1 C． D．或1 例14-2.已知是等比数列，若，，则的值为（ ） A．9 B． C． D．81 例14-3.在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 例14-4.若，，成等比数列，则（　） A． B． C． D． 例14-5．在非直角中，、、成等比数列，则的取值范围是 。 考点15等比数列片段和的性质 例15-1.在等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ） A．25 B．30 C．35 D．40 例15-2.设是等比数列的前项和，若，则（ ） A． B． C．5 D． 考点16等比数列前n项和的最值 例16-1．(多选)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值【 例16-2．(多选)在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（  ） A．为单调递增数列 B． C．为的最大项 D．无最大项 考点17等比数列奇数项或偶数项的和 例17-1.已知等比数列的公比，且，则等于（ ） A．100 B．80 C．60 D．40 例17-2.已知一个项数为偶数的等比数列，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则（ ）. A．11 B．12 C．13 D．14 例17-3．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 例17-4．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 考点18 等比数列的实际应用 例18-1.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（  ） A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 例18-2.从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（ ） A．30万元 B．35.2万元 C．40.4万元 D．42.3万元 例18-3．某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（ ） A． B． C． D． 例18-4 ．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（ ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 考点19 等比数列的综合运用 例19-1.已知数列的首项，且满足（）． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和，并证明． 例19-2．已知数列的前项和为，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，，成等比数列，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$