精品解析：安徽阜阳市太和县 2025-2026学年七年级下学期5月期中数学试题

七年级检测·数学下册期中检测卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 2. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A. 1 B. C. D. 3 3. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 不等式组所有整数解的和为（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列分解因式错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某英雄纪念碑的底座是面积为的正方形，现在沿底座四周修建一个正方形护栏，护栏和底座外沿之间的间距均为．设护栏的边长为 ，介于整数和之间，则的值为____． 12. 已知，则______． 13. 已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 14. 已知关于、的方程组其中． 当_______时，、的值互为相反数； 若，则的取值范围是________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1） （2） 16. 计算 （1）解不等式组： （2）解分式方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：；其中 18. 已知、是有理数，若，求的平方根． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式） （2）若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 20. 如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示． （1）设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式； （2）已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？ 六、（本题满分12分） 21. 综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 七、（本题满分12分） 22. 如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 八、（本题满分14分） 23. 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级检测·数学下册期中检测卷 （满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D的四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. 3.1415 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：3.1415，，是有理数； 是无理数． 故选C． 2. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则中正方形的边长可能是（　　） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的面积，无理数的大小比较，计算即可． 【详解】设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c， 根据题意，得， 故， ∵ ∴中正方形的可能值为， 故选B． 3. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】A． 若，则，故此选项不符合题意； B． 若，则，故此选项不符合题意； C． 若，则，故此选项符合题意； D． 若，，则无法判断与的大小，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 4. 不等式组所有整数解的和为（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再找出其中的整数相加即可． 【详解】解：， 解①得x≥-1， 解②得x<2， ∴-1≤x<2， ∴整数解有：-1，0，1， ∴-1+0+1=0， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分． 5. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A. 不是同类项，不能运算，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意； 故选：D． 6. 下列分解因式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据提公因式或公式法分解因式即可作出判断． 【详解】解：A.，故A正确，不符合题意； B.，故B正确，不符合题意； C.，故C正确，不符合题意； D.，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式，是解题的关键． 7. 下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．根据平方差公式和完全平方公式逐项判断即可求解； 【详解】解：、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式正确，符合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 、，该选项关系式错误，不合题意； 故选：． 8. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题思路是根据分式有意义时分母不为，列出分母不为0的式子求解的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母不能为0，可得， 解得． 9. 下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：A. ，故不符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，变形正确，符合题意． 故选：D． 10. 为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量，结合总费用降低了15%，采购数量与第一次相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设第二次采购单价为x元，则第一次采购单价为(x+10)元， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某英雄纪念碑的底座是面积为的正方形，现在沿底座四周修建一个正方形护栏，护栏和底座外沿之间的间距均为．设护栏的边长为 ，介于整数和之间，则的值为____． 【答案】7 【解析】 【分析】求出围栏的边长为 ，再根据算术平方根的定义估算的大小即可． 【详解】解：英雄纪念碑的底座是面积为的正方形， 其边长为 ， 又护栏和底座外沿之间的间距均为 ．护栏的边长为， ， ， 介于整数和之间， 整数， 故答案为：． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确判断的前提． 12. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了利用平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键． 13. 已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】先求出分式方程的解，再根据解为正数，确定解的取值范围，解不等式，即可得到结论． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解为正数， ∴， ∴且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查解分式方程，分式方程的解、解一元一次不等式组，解分式方程是解答的关键，注意不能产生增根所以要使． 14. 已知关于、的方程组其中． 当_______时，、的值互为相反数； 若，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两方程相加可得，再结合可得关于的方程，解之即可； 由题意知，据此，再根据，知，解之即可得出答案． 【详解】解：（1）， 得：， ， 、的值互为相反数， ， ； （2）由题意得， 解得：， ，， ， 解得：． 故答案为：. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 计算 （1）解不等式组： （2）解分式方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 【小问2详解】 解：， 去分母，得： ， 去括号，得：， 移项并合并同类项，得：． 系数化为，得： 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：；其中 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算． 【详解】解：原式 ， 当时，． 【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简． 18. 已知、是有理数，若，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的含义，求解一个数 的平方根，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键． 由a，b都是有理数，且，再建立方程组解题即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵a，b都是有理数， ∴，解得， 则，3的平方根为， 即的平方根是． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为b米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪． （1）用含a，b的代数式表示铺设的草坪的面积．（结果化为最简形式） （2）若，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用． 【答案】（1）平方米 （2）元 【解析】 【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案； （2）根据（1）所求代入求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可． 【小问1详解】 解： 平方米， ∴铺设的草坪的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，平方米， ∴铺设草坪所需要的费用为元． 【点睛】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． 20. 如图1，一个容量为的杯子中装有的水，将五颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2所示． （1）设每颗玻璃球的体积为，列出x满足的不等式； （2）已知每放一个玻璃球水面上升，若使水不溢出杯子，最多能放几个小球？ 【答案】（1） （2）使水不溢出杯子，最多能放15个小球． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用： （1）根据题意可知五个小球的体积加上水的体积小于杯子的容量，据此列出不等式即可； （2）设可以放m个小球，根据所有小球使水面上升的体积加上水的体积不超过杯子的容量列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，； 【小问2详解】 解：设可以放m个小球， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为15， 答：使水不溢出杯子，最多能放15个小球． 六、（本题满分12分） 21. 综合与探究 【阅读理解】 图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中数的关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，“以数解形”“以形助数”就是数学中非常重要的思想方法——数形结合． 某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：_______． （2）利用（1）中的等式解决问题：若，则的值为_______． 【拓展探究】 该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解． 例：若x满足，求( 的值． 解：设， 则． ∴． （3）如图3，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，．沿着所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为38，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）62；（3）11 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，多项式乘多项式，解题的关键是利用图形面积之间的关系求解，熟练进行公式之间的转化变形． （1）第一种：阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形，利用正方形面积公式即可得出，第二种：用大正方形面积减去两个长方形的面积即可得出； （2）将代入①中等式即可求解； （3）利用正方形和长方形的性质，将与的关系表示出来，再利用阴影部分面积为38即可求出，再变形求解即可． 【详解】解：（1）第一种： 阴影部分为一个边长为的正方形和一个边长为的正方形， ； 第二种： 阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ； ， 故答案为：； （2）将代入①中等式，得： ， 故答案为：62 （3）设，， 四边形和四边形为正方形， ，， 四边形为正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 正方形和正方形的面积之和为38， ， ， ， ． 七、（本题满分12分） 22. 如果两个分式与的和为常数，且正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． （1）已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； （2）已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值也为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】（1）与互为“和整分式”，“和整值”为 （2）；或或 【解析】 【分析】本题考查的是新定义题型，涉及分式的加减运算，理解新定义是解题的关键． （1）把与相加，根据同分母的分式的加减运算化简即可判断； （2）①把与相加，根据异分母的分式的加法法则化简，再根据与互为“和整分式”且“和整值”求出答案； ②根据为正整数，分式的值也为正整数计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 故与互为“和整分式”， “和整值”为； 【小问2详解】 解：①， 由于“和整值”， ， 即， ； ②， 分式的值也为正整数， 或或， 解得或或． 八、（本题满分14分） 23. 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． （1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； （2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】（1）购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 （2）①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【解析】 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 【小问1详解】 解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． 【小问2详解】 解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $