精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

江苏省泰州中学2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：余静 审题人：陈生 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 由题,利用除法法则整理为的形式,即可得到复数的坐标形式,进而求解即可 【详解】由题,,所以在复平面内对应的点为, 故选:A 【点睛】本题考查复数的坐标表示,考查复数在复平面的位置,考查复数的除法法则的应用 2. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以，所以. 故选：A 3. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 垂直于同一条直线的两直线垂直 C. 垂直于同一个平面的两直线平行 D. 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断． 【详解】A错，垂直于同一条直线的两直线可能相交、平行或异面； B错，垂直于同一条直线的两直线可能相交、平行或异面； C正确，垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理知命题正确， D错，. 垂直于同一条直线的一条直线和平面，这条直线可能在这个平面内， 故选：C． 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测法知，所以求出四边形的面积，即可求出结果. 【详解】根据直观图知， 又因为， 所以， 故选：B. 5. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：C 6. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆AB的仰角分别为、，在水平面上测得，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解. 【详解】如图所示： 设旗杆的高度为， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 即， 解得或（舍去）， 故选：B 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得 ， 即 ，得， 得 ， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 8. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用得到，由向量数量积公式求出答案. 【详解】设，则，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为， 因为，所以， 即，即， 所以，即 ，C正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若是关于x的方程的一个根，则 D. 在中，点、、分别对应复数，，，则点对应复数为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；根据复数的运算结合复数相等求出的值，可判断C；利用复数的几何意义结合向量相等求点D的坐标，判断D. 【详解】对于A，，设复数，，则，， ，故，故A正确； 对于B，由于，故 ，故B错误； 对于C，因为是关于x的方程的一个根， 所以 ， 可得，解得，所以，故C正确； 对于D，由题意可知：，，， 设，可得，， 因为为平行四边形，则，即，解得， 即，点对应复数为，故D正确. 10. 如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与共面 B. 平面平面 C. D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】证明出，可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用勾股定理可判断C选项；利用反证法可判断D选项. 【详解】如下图所示： 对于A选项，连接， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为、分别为、的中点，则，故， 所以，与共面，A对； 对于B选项，因为且，所以，四边形为平行四边形， 则， 又因为、分别为、的中点，则，所以，， 因为平面，平面，所以，平面， 同理可证平面， 因为，、平面，所以，平面平面，B对； 对于C选项，不妨设的棱长为，则， ，， 因为平面，平面，则， 所以，， 所以，，故、不垂直，C错； 对于D选项，假设平面， 又因为平面，，、平面， 所以，平面平面， 事实上，平面与平面不平行，假设不成立，D错. 故选：AB. 11. 的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，时，的面积为 D. 当时，为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，用正弦定理求解即可；对于B，用向量内积定义及余弦定理求解即可；对于C先求a边上的高为，再求面积即可；对于D，用余弦定理求即可. 【详解】对于A，根据题意，若 ，则 ， 故可设，，，． 则有，则，则，故A正确； 对于B，， 又，∴， ∵，∴， ∴，故B正确； 对于C，当，时，，， 则有，则a边上的高为 ， ∴，故C错误； 对于D，当时， ，则 ， 则 ，故C为钝角， 所以为钝角三角形，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知向量，则与向量垂直的单位向量为__________． 【答案】或， 【解析】 【详解】向量垂直的一个向量为， 故与向量垂直的单位向量为即为或， 故答案为：或， 13. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意或即可求解. 【详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. 14. 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，且的虚部为1，在复平面内所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设，得出，根据和在复平面所对应的点在第一象限即可得到答案； （2）利用平面向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1）由题意得，设，则，所以，故， 又因为在复平面所对应的点在第一象限，所以 （2）因为，所以， 所以，， 所以,所以. 16. 已知向量. （1）若，求 的值； （2）若，且，求角. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由 ，可得，化简即可得出；（2）利用向量共线定理、三角函数的化简即可. 试题解析：（1）因为，所以，所以， 即，因为，所以. （2），得，即， 即，整理得， 又因为，所以， 所以或，即或. 17. 如图，在正三棱柱中，是的中点，是上一点. （1）若是中点，求证：平面平面； （2）若，求证：是中点. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明，，再根据线面平行判定定理证明平面，平面，结合面面平行判定定理证明结论； （2）先证明，再由线面垂直判定定理证明平面，由此证明，结合等边三角形性质可得结论. 【小问1详解】 连接， 因为三棱柱是正三棱柱， 所以，，，， 因为是的中点，是中点， 所以，，，， 所以四边形，均为平行四边形， 所以，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面，为正三角形， 因为平面，所以， 因为， 又因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为为正三角形，所以是中点. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得 ，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 在中，， ∵与共线，∴ ， 由正弦定理可得 ∴， ∴ ， ∵，∴，又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又，由余弦定理， 得 ， 即 ，因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，则， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，， 所以，设，， 在中，由正弦定理， 所以 ，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形， 所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． （1）-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； （3）如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 【答案】（1）①成立，②不成立． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【小问1详解】 ①成立，②不成立． 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得则 ，因此不成立，即②不成立 【小问2详解】 由，，得，，且， 所以 ， ， 则， 故 ， 因为与的夹角为，则， 解得，或（舍去） 【小问3详解】 依题意设、，且，，， 因为F为BC的中点，则， 因为E为BD中点，同理可得， 所以 由题意可知，，， 则 在中，由余弦定理得 ，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025~2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：余静 审题人：陈生 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 垂直于同一条直线的两直线垂直 C. 垂直于同一个平面的两直线平行 D. 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行 4. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆AB的仰角分别为、，在水平面上测得，且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（ ） A. 9米 B. 12米 C. 米 D. 15米 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则 的最小值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 7 8. 用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以．由分配律，得，即，也即．请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E．设，，，，则与△ABC的边和角之间的等量关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. 若是关于x的方程的一个根，则 D. 在中，点、、分别对应复数，，，则点对应复数为 10. 如图，已知正方体，点、、分别为棱、、的中点，下列结论正确的有（ ） A. 与共面 B. 平面平面 C. D. 平面 11. 的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. ，时，的面积为 D. 当时，为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知向量，则与向量垂直的单位向量为__________． 13. 在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 14. 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数满足，且的虚部为1，在复平面内所对应的点在第一象限. （1）求； （2）若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，求. 16. 已知向量. （1）若，求 的值； （2）若，且，求角. 17. 如图，在正三棱柱中，是的中点，是上一点. （1）若是中点，求证：平面平面； （2）若，求证：是中点. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． （1）求C； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求面积的取值范围． 19. 如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． （1）-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） （2）在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； （3）如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $