8.6.2 直线与平面垂直（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“直线与平面所成的角”，通过复习线面垂直判定依据、异面直线所成角等旧知，提出斜线与平面倾斜程度刻画的问题，搭建从已有知识到新知的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点在于拓展探究（如平行线与平面所成角关系、点运动轨迹）培养数学眼光，例题分步解析（如例1证明BD⊥平面PAC并求角）发展数学思维，小结规范角的范围与求角步骤强化数学语言。助力学生深化空间观念，提升推理能力，便于教师实施探究式教学。

8.6 空间直线、平面的垂直 第八章 立体几何初步 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面所成的角 复习引入 1.判定直线与平面垂直有哪些理论依据？ 2.异面直线所成的角的定义及其取值范围是什么？ 3.如果直线l与平面α相交但不垂直，则直线l叫做平面α的斜线.设想用一个平面角来刻画斜线l与平面α的相对倾斜程度，那么应选斜线l与哪条直线的夹角为宜？ 4.我们把斜线和它在平面上的正投影所成的角，称为直线与平面所成的角，对此有哪些相关理论？ 1.判定直线与平面垂直有哪些理论依据？ （3）平行线性质：如果l∥m，m⊥α，则l⊥α. α （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则l⊥α. （2）线面垂直的判定定理：如果直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α. 2.异面直线所成的角的定义及其取值范围是什么？ （1）定义：对于两条异面直线a,b，经过空间任一点O作直线a‘∥ a, b’∥ b，则直线a‘与b’所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）. （2）范围：(0°，90°]. 3.如果直线l与平面α相交但不垂直，则直线l叫做平面α的斜线.设想用一个平面角来刻画斜线l与平面α的相对倾斜程度，那么应选斜线l与哪条直线的夹角为宜？ 斜线l和它在平面α上的正投影b所成的角. α 4.我们把斜线和它在平面上的正投影所成的角，称为直线与平面所成的角，对此有哪些相关理论？ 请大家阅读教材. 教材导学 阅读教材： 1. 平面的斜线有哪些基本概念？ 2. 直线和平面所成的角的含义是什么？ 3. 直线和平面所成角的取值范围是什么？ 1.平面的斜线有哪些基本概念？ 如果直线l和平面α相交但不垂直，则直线l叫做平面α的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. α 过斜线上斜足外一点P向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线AB叫做斜线l在平面α上的射影. 2. 直线和平面所成的角的含义是什么？ （1）平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和这个平面所成的角. （2）当直线与平面垂直时，规定它们所成的角为90°；当直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为0°. α 3.直线和平面所成角的取值范围是什么？ 直线和平面所成角的取值范围是[0°，90°]. α α α 0° 90° (0°，90°) 10 拓展探究 1. 如果直线a∥b，则直线a，b与平面α所成的角的大小关系如何？反之成立吗？ 2. 若点P为平面α外一定点，点A在平面α内运动，直线PA和平面α所成的角为锐角θ，则点A的运动轨迹是什么？ 3. 如图，AP为平面α的一条斜线，AB为AP在平面α上的射影，AC在平面α内. （1）∠PAB与∠PAC的大小关系如何？ （2）∠PAB，∠BAC，∠PAC三者有什么内在联系？ 1. 如果直线a∥b，则直线a，b与平面α所成的角的大小关系如何？反之成立吗？ 若a∥b，则直线a，b与平面α所成的角相等，反之不成立. α 2. 若点P为平面α外一定点，点A在平面α内运动，直线PA和平面α所成的角为锐角θ，则点A的运动轨迹是什么？ 作PO⊥平面α，垂足为O， α θ 则点A的轨迹是以O为圆心，为半径的圆. 3.如图，AP为平面α的一条斜线，AB为AP在平面α上的射影，AC在平面α内. （1）∠PAB与∠PAC的大小关系如何？ （2）∠PAB，∠BAC，∠PAC三者有什么内在联系？ 解析：作BD⊥AC，垂足为D，连PD，则PD⊥AC. α （1） sin∠PAB = ，sin∠PAC = ，因为PB＜PD，则∠PAB＜∠PAC. （2）cos∠PAB = ，cos∠BAC = ，cos∠PAC = ，则cos∠PABcos∠BAC=cos∠PAC. 结论：直线与平面所成的角是这条直线与平面内的所有直线所成角的最小者. 14 巩固应用 【解析】 PA⊥平面ABCD，则PA⊥BD. 又AC⊥BD，则BD⊥平面PAC. 例1 在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD，AD＝4，BC＝2，四棱锥P－ABCD的体积为12，求直线PD和平面PAC所成的角. AD＝4，BC＝2，△AED和△BEC都是等腰Rt△，则AE＝DE＝2 ，BE＝CE＝ ，所以AC＝BD＝3 . ＝ · AC·BD·PA＝12，则PA＝4. 在Rt△PAD中，PD＝ ＝4 . 在Rt△PED中，sin∠DPE＝ ＝，则∠DPE＝30°. 直线PD和平面PAC所成的角为30°. 设AC与BD的交点为E， 则∠DPE为直线PD和平面PAC所成的角. 连PE， 15 例2 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝1，AC＝2，BC＝ ，D，E分别是AC₁和BB₁的中点，求直线DE与平面BB₁C₁C所成的角. 【解析】由AB＝1，AC＝2，BC＝，可知AB⊥BC. 又AB⊥BB₁，AB⊥平面BB₁C₁C. 连结BC₁， ∵D为AC₁的中点，则DM∥AB，从而DM⊥面B₁C₁CB，∴∠DEM为直线DE与平面BB₁C₁C所成的角. 在Rt△DME中，DM＝AB＝，EM＝ B₁C₁＝， 则tan∠DEM＝ ＝，得∠DEM＝30°. 直线DE与平面BB₁C₁C所成的角为30°. 取BC₁的中点M， 连结DM，EM. 例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PAB，△PAB为正三角形，AD∥BC，AD＝AB＝2BC，E，F分别为PC，PB的中点，求直线CD与平面ADEF所成角的正弦值. 则四边形BCDM为平行四边形， 从而BM∥CD， ∴ ∠BMF为所求的角. 设AB＝2，则BF＝1，BM＝ ， 得sin∠BMF＝ ＝ ＝ . ∴直线CD与平面ADE所成角的正弦值为. 【解析】AD⊥平面PAB，则AD⊥PB. ∵△PAB为正三角形，F为PB的中点，则AF⊥PB， ∴ PB⊥平面ADEF. 取AD的中点M， 连接MB,MF， 小结 1.直线和平面所成的角是反映直线与平面相对倾斜度的一个几何量，对给定的一条直线和一个平面，它们所成的角是唯一的，其范围是[0°，90°]. 2.求作直线和平面所成的角，关键是找到直线在平面内的射影. 一般先在直线上找一点，再过这个点作平面内的垂线，连结垂足与斜足即得直线在平面内的射影. 3.求斜线和平面所成的角分两步进行：先找出或作出直线和平面所成的角，再解三角形求角的大小，所得的角必须是锐角. 18 作业 《课时作业》 8.6 空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直 第2课时 直线与平面所成的角 $