8.6.2 第2课时 直线与平面垂直的性质-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的性质定理及空间距离问题，通过餐厅水泥柱实例导入，从生活情境抽象出数学模型，衔接线面垂直判定知识，搭建“判定-性质-距离”的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实，通过逻辑推理（如正方体中线线平行证明）和数学运算（等体积法求点到面距离）培养核心素养，课堂小结梳理转化思想，助力学生提升空间观念与推理能力，教师可依托系统例题与分层训练优化教学。

第二课时　直线与平面垂直的性质 1 1.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题（逻辑推理）. 2.了解异面直线间的距离的定义，掌握点到面的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）. 3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离的定义及其求法（数学抽象、数学运算）. 课标要求 　　如图所示，餐厅大门两根水泥柱均与底面垂直，两水泥柱相互平行，这一图形中涉及的问题就是直线与平面垂直的性质定理的体现. 情景导入 知识点一　直线与平面垂直的性质定理 01 知识点二　空间中的距离问题 02 目录 课时作业 03 4 知识点一 直线与平面垂直的性质定理 01 PART 目 录 问题1　我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空 间中是否有类似的性质呢？ 提示：在空间中，垂直于同一直线的两直线不一定平行，但是垂直于同一 平面的两直线一定平行. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线 ⁠ 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 平行　 　　提醒：（1）直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的 另一种方法；（2）直线与平面垂直的性质定理揭示了空间中平行与垂直 关系的内在联系，提供了垂直与平行关系转化的依据. 数学·必修第二册 目 录 【例1】　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上， EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1. 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD. ∵AC∥A1C1，EF⊥AC， ∴EF⊥A1C1. 又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面 A1C1D， 数学·必修第二册 目 录 ∴EF⊥平面A1C1D，　① ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1. ∵四边形A1B1C1D1为正方形， ∴A1C1⊥B1D1， 又B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥平面BB1D1D， 而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1. 同理DC1⊥BD1. 又DC1∩A1C1＝C1，DC1，A1C1⊂平面A1C1D，∴BD1⊥平面A1C1D， ② 由①②可知EF∥BD1. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 证明线线平行常用的方法 （1）利用线线平行定义：证共面且无公共点； （2）利用三线平行基本事实：证两线同时平行于第三条直线； （3）利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行； （4）利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直； （5）利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行. 数学·必修第二册 目 录 训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD. 求证：l∥AE. 证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD， 又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD. 因为AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE. 又因为AE⊥PD，CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平 面PCD. 因为l⊥平面PCD，所以l∥AE. 数学·必修第二册 目 录 知识点二 空间中的距离问题 02 PART 目 录 角度1　求点到平面的距离 【例2】　已知在△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝ ，S是△ABC所在平 面外一点，SA＝SB＝2，SC＝ ，点P是SC的中点，求点P到平面 ABC的距离. 解：法一　如图，连接PA，PB，由题意得SA⊥AC， BC⊥AC. 分别取AB，AC的中点E，F，连接PE，EF，PF，则 EF∥BC，PF∥SA. 所以EF⊥AC，PF⊥AC. 因为PF∩EF＝F，PF， EF⊂平面PEF，所以AC⊥平面PEF，所以PE⊥AC. 数学·必修第二册 目 录 因为 所以△SAC≌△SBC，又P为SC的中点， 所以PA＝PB. 又E是AB的中点，所以PE⊥AB. 因为AB∩AC＝A， AB，AC⊂平面ABC，所以PE⊥平面ABC. 从而PE的长就是点P到平面ABC的距离. 因为P是SC的中点，所以在Rt△APE中， AP＝ SC＝ ，AE＝ AB＝ ，所以PE＝ ＝ ＝ ，即点P到平面ABC的距离为 . 数学·必修第二册 目 录 法二　如图，在平面ABC内，过点A作BC的平行线，过 点B作AC的平行线，两直线交于点D. 因为AC＝BC＝1，AB＝ ，所以AC⊥BC. 所以四边 形ADBC为正方形，连接SD. 由题意得AC⊥SA，又AC⊥AD，SA∩AD＝A，SA， AD⊂平面SDA，所以AC⊥平面SDA，所以AC⊥SD. 同理可得BC⊥SD. 因为BC∩AC＝C，BC，AC⊂平面ADBC，所以 SD⊥平面ADBC. 所以SD的长即点S到平面ABC的距离，在Rt△SAD中， SD＝ ＝ . 因为点P为SC的中点， 故点P到平面ABC的距离为 SD＝ . 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求点到平面的距离的两种方法 （1）构造法：根据定义构造垂直于平面的直线，确定垂足位置，将所求 线段化归到三角形中求解； （2）等积变换法：将所求距离看作某个几何体（多为棱锥）的高，利用 体积相等建立方程求解. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中求出下列距离： （1）点A到平面BB1D1D的距离； 解： 连接AC（图略），易证AC⊥平面BB1D1D， 所以点A到平面BB1D1D的距离为面对角线AC的 ，即 a. 数学·必修第二册 目 录 （2）点C到平面BDC1的距离. 解： 设点C到平面BDC1的距离为h，三棱锥C-BDC1的体积为V， 在△BDC1中，BD＝DC1＝BC1＝ a，则△BDC1的面积为 ×（ a） 2＝ a2， 由等体积法可得 × ×a×a×a＝ × a2×h， 解得h＝ a，所以点C到平面BDC1的距离为 a. 数学·必修第二册 目 录 角度2　直线与平面、两平行平面之间的距离 问题2　若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？你能证明你的结论吗？ 提示：相等.能，证明如下： 如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线 AA1，BB1，垂足分别为A1，B1. ∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1，设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α ＝A1B1， ∵l∥α，∴l∥A1B1.∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1. 由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 直线与平面的距离 一条直线与一个平面 时，这条直线上 ⁠到这个平面的 距离，叫做这条直线到这个平面的距离. 2. 平面与平面的距离 如果两个平面 ，那么其中一个平面内的 ⁠到另一个平 面的距离都 ，我们把它叫做这两个平行平面间的距离. 平行　 任意一点　 平行　 任意一点　 相等　 数学·必修第二册 目 录 【例3】　已知平面α与平面β无公共点，直线AB分别交α，β于A，B两 点，直线AB与两平面所成的角均为60°，直线AB夹在两平面间的线段长 为12，则平面α与平面β间的距离是 ⁠. 解析：如图，过点A作AO⊥β，交β于点O，连接BO， 则∠ABO为直线AB与平面β所成的角，所以∠ABO＝ 60°，且AO为两个平行平面α，β间的距离.在Rt△AOB 中，AO＝AB× sin ∠ABO＝12× sin 60°＝6 ，即 平面α与平面β间的距离为6 . 6 　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值. 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1，BB1的中点，求A1B1到平面D1EF的距离. 解：因为E，F分别为棱AA1，BB1的中点， 所以A1B1∥EF，又EF⊂平面D1EF， 所以A1B1∥平面D1EF， 所以A1B1到平面D1EF的距离即为A1到平面D1EF的距离，设该距离为h. 连接A1F（图略）. 由 ＝ ，得 × ×1× ×h＝ × ×1× ×1， 所以h＝ ，即A1B1到平面D1EF的距离为 . 数学·必修第二册 目 录 三垂线定理与逆定理 通过教材第152页练习4题（3），我们知道若平面的一条斜线l垂直平面内 的直线a，则其在平面内的射影l'也垂直于直线a. 【问题探究】 1. 若平面的一条斜线l在平面内的射影l'垂直于平面内直线a，那么l与a是 否垂直？ 提示：垂直. 数学·必修第二册 目 录 2. 请叙述三垂线定理及逆定理.并说明该定理的依据. 提示：三垂线定理：平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂 直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 依据：线面垂直. 数学·必修第二册 目 录 【迁移应用】　 （1）在三棱锥M-BCD中，MH⊥平面BCD，H为垂足，CH＝1，CD＝ ，HD＝ ，求证：MC⊥CD； 证明：（1）由CH＝1，CD＝ ，HD＝ ， 得CH2＋CD2＝HD2，所以CD⊥CH. 又MH⊥平面BCD，所以CH为MC在平面BCD内的射影， 由三垂线定理，得MC⊥CD. 数学·必修第二册 目 录 （2）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C⊥BC1.求证：B1C⊥BC1. 证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 易知A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1C在平面BCC1B1内 的射影为B1C，又A1C⊥BC1，由三垂线定理逆定理， 得B1C⊥BC1. 数学·必修第二册 目 录 1. 已知平面α∥平面β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给 出的条件中，一定能推出m⊥β的是（　　） A. α∥β，且m⊂α B. m∥n，且n⊥β C. m⊥n，且n⊂β D. m⊥n，且n∥β 解析：　A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β，不符合题意；B中，由n⊥β， 知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于平面β内的任意 直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符 合题意.故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 3. 在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，若点A1到平面ABCD的距离为4，则平面 ABCD到平面A1B1C1D1的距离为 　　. 4 解析：平面ABCD∥平面A1B1C1D1且点A1到平面ABCD的距离为4，所以所 求距离为4. 数学·必修第二册 目 录 4. 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点D1到平面AB1C的距离. 解：连接A1B，BD1，BD，如图所示，则AC⊥BD， AC⊥DD1， ∵BD∩DD1＝D，BD，DD1⊂平面DBD1， ∴AC⊥平面DBD1， ∵BD1⊂平面DBD1，∴AC⊥BD1， ∵AB1⊥A1B，D1A1⊥AB1，A1B∩D1A1＝A1，D1A1， A1B⊂平面D1A1B， ∴AB1⊥平面D1A1B，∵BD1⊂平面D1A1B， 数学·必修第二册 目 录 ∴AB1⊥BD1， ∵AC∩AB1＝A，AC，AB1⊂平面AB1C， ∴BD1⊥平面AB1C， 设垂足为O，在三棱锥B1-ABC中， × a×a×a＝ × ×2a2×BO，∴BO＝ a， ∵BD1＝ a，∴D1O＝BD1－BO＝ a，即点D1到平面AB1C的距离为 a. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与平面垂直的性质定理； （2）空间中的距离问题. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 距离转化不当导致错误. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 线段AB在平面α的同侧，点A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点 到α的距离为（　　） A. 3.5 B. 4 解析：　如图，设AB的中点为点M，分别过点A， M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.则由线面垂 直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角 梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，所以MM1＝ 4，即所求距离为4. C. 4.2 D. 4.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 2. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m， l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　　） A. α∥β，且l∥α B. α⊥β，且l⊥β C. α与β相交，且交线垂直于l D. α与β相交，且交线平行于l 解析：　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平 面β必相交但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m， l⊥n，则交线平行于l.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 如图，在四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC ＝CD＝1，则AD＝（　　） A. 1 B. C. D. 2 解析：　因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝ ＝ ，又AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝ ＝ .故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，平面AB1D1到平面BC1D的 距离为（　　） A. B. C. D. 2 √ 解析：　由题意知两平面平行，所以原问题等价于求解点C1到平面 AB1D1的距离h，由等体积法可得 ＝ ，即 × ×22× sin 60°·h＝ × × × × ，解得h＝ ，即平面AB1D1到平面 BC1D的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱CC1的中点，则点C1 到平面EBD的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　 ＝ · ·DC＝ × ×1×2×2＝ ，在△BED 中，由题意及图形结合勾股定理可得BE＝DE＝ ，BD＝2 ，则由余 弦定理可得 cos ∠BED＝ ＝ ＝ ，则 sin ∠BED＝ ＝ .则S△BDE＝ BE·DE· sin ∠BED＝ × × × ＝ .设点C1到平面EBD的距离为d，由 ＝ ，得 ＝ × d，解得d＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是 （　　） A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PD⊥BD D. PA⊥BD 解析：PA⊥平面ABCD⇒PA⊥BD，D正确； ⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB，故A正确；同理 B正确；C不正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕如图，ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A'BD， 且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（　　） A. A'C⊥BD B. A'D⊥BC C. A'C⊥BC D. A'D⊥A'B 解析： ∵ABCD是矩形，且A'在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A'O⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，∴BC⊥A'O，又BC⊥CD，且DC∩A'O＝O，∴BC⊥平面A'CD，从而BC⊥A'D，BC⊥A'C. 显然，由矩形ABCD，易知A'B⊥A'D. 故B、C、D正确. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E∈BD，F∈B1D1，且EF⊥AB，则 EF与AA1的位置关系是 ⁠. 解析：如图，因为AB⊥BB1，AB⊥EF，且AB不垂直于平面BB1D1D，所以EF与BB1不相交，所以EF∥BB1，又AA1∥BB1，所以EF∥AA1. 平行　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面 ABCD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD∥BC，则AD到平面PBC 的距离为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC，所以AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离，因为侧棱PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥BC，因为∠ABC＝90°，即 AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，因为PA＝AB＝BC＝2，所以PB＝2 ，设点A到平面PBC的距离为d，则由V三棱锥P-ABC＝V三棱锥A-PBC得 PA·S△ABC＝ d·S△PBC，所以 ×2× ×2×2＝ d× ×2 ×2，解得d＝ ，所以AD到平面PBC的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 斜边为AB的Rt△ABC，PA⊥平面ABC. AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足，如图.若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l. 证明：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC. 又因为△ABC为直角三角形，所以BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平 面PAC. 又因为AF⊂平面PAC，所以BC⊥AF. 又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC. 又PB⊂平面PBC，所以AF⊥BP. 又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，所以 PB⊥平面AEF. 而l⊥平面AEF，所以PB∥l. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别 为G，H. 为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是（　　） A. EF⊥平面α B. EF⊥平面β C. PQ⊥GE D. PQ⊥FH √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，所以EG∥FH，即E，F， H，G四点共面.因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ. 若EF⊥ 平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ. 又EG∩EF＝E，所以PQ⊥平面 EFHG，因为GH⊂平面EFHG，所以PQ⊥GH. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿 AD把△ABC折起来，则（　　） A. 在折起的过程中始终有AD⊥平面DB'C B. 三棱锥A-DB'C的体积的最大值为 C. 当∠B'DC＝60°时，点A到B'C的距离为 D. 当∠B'DC＝90°时，点C到平面ADB'的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：因为AD⊥DC，AD⊥DB'，且DC∩DB'＝D，DC，DB'⊂平面DB'C，所以AD⊥平面DB'C，故A正确；当DB'⊥DC时，△DB'C的面积最大，此时三棱锥A-DB'C的体积也最大，最大值为 × × × × ＝ ，故B正确；当∠B'DC＝60°时，△DB'C是等边三角形，设B'C的中点为E，连接AE（图略），则AE⊥B'C，即AE为点A到B'C的距离，AE＝ ＝ ，故C正确；当∠B'DC＝90°时，CD⊥DB'，CD⊥AD，故CD⊥平面ADB'，则CD就是点C到平面ADB'的距离，CD＝ ，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝a，PD⊥平面ABCD，若边AB上存在点M，使得PM⊥CM，则实数a的取值范围是 ⁠. 解析：连接DM，如图，因为PD⊥平面ABCD，所以 PD⊥CM. 又PM⊥CM，且PD∩PM＝P，所以CM⊥ 平面PDM，所以CM⊥DM，所以以DC为直径的圆与 AB有交点，所以0＜a≤1. （0，1]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 如图，已知AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，点P为圆柱上底面圆O1上一点，PA⊥平面ABC，PA＝AB，过点A作AE⊥PC，交PC于点E. （1）求证：AE⊥PB； 解：证明：因为AB为圆柱OO1底面圆O的直径，C为 的中点，所以BC⊥AC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC， 又因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE， 又因为AE⊥PC，且PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， 所以AE⊥平面PBC，因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若点C到平面PAB的距离为1，求圆柱OO1的表面积. 解：因为点C到平面PAB的距离为1且C为 的中 点，所以PA＝AB＝2，所以圆柱OO1的表面积S＝ 2×π×12＋2π×1×2＝6π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝1，BC＝ ，AC＝2. （1）证明：BC⊥平面PAB； 解：证明：由题知AB＝1，BC＝ ，AC＝2. 则AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC， 又因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC， 因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）在线段PC上是否存在点D，使得AC⊥BD？若存在，求出PD的值，若不存在，请说明理由. 解：在线段PC上存在点D，当PD＝ 时，使得 AC⊥BD. 理由如下：如图，在平面ABC内，过点B作BE⊥AC， 垂足为E，在平面PAC内，过点E作DE∥PA， 交PC于点D，连接BD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以DE⊥AC，又因为DE∩BE＝E，DE，BE⊂平面DBE，所以AC⊥平面DBE， 又因为BD⊂平面DBE，所以AC⊥BD， 在△ABC中，BE＝ ＝ ， 所以AE＝ ，CE＝ ， 所以 ＝ ，所以CD＝ ，PD＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $