第六章 平行四边形 单元练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 本单元卷聚焦平行四边形的定义、性质与判定，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配初中数学单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行四边形判定、性质应用、坐标系中的平行四边形|结合图形辨析，强化概念理解| |填空题|6/18|中位线周长、面积计算、中点轨迹与最值|性质与计算结合，渗透空间观念| |解答题|8/72|尺规作图与证明、实际测量应用（综合与实践）、旋转与平行四边形证明|突出综合应用，如21题测量实践培养应用意识，22题旋转证明发展推理能力|

第6章 平行四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2、如图，是□ABCD边上一点，，连接并延长交的延长线于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3、如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 4、下列说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 5、如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 6、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7、如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 8、如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9、如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 10、如图，△ABC中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 12、在□ABCD中，若，则__________． 13、如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 14、如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 15、如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F，连接，若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的是______________． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16、如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 18、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE＋EO＝4，求□ABCD的周长． 19、已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 20、如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 21、【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是△ABC的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是____________； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         22、如图，是等边△ABC内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 23、已知：如图，E、F是对角线上的两点． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 24、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 平行四边形 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 2、如图，是□ABCD边上一点，，连接并延长交的延长线于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∠B=∠D， ∴∠1=∠F=70°． ∵AB=BE， ∴∠1=∠3=70°， ∴∠B=40°， ∴∠D=40°． 3、如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知，，，则的周长为　　 A. 13 B. 17 C. 20 D. 26 【答案】B 【详解】四边形ABCD是平行四边形， ，，， 的周长． 4、下列说法中错误的是（　　） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解答】解： A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，正确，故本选项不符合题意； B、 根据∠A+∠D＝180°和∠B+∠C＝180°只能推出AB∥CD，不一定是平行四边形， 故本选项符合题意； C、∵四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项符合题意； D、∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠C+∠D＝180°， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项不符合题意； 5、如图，在平行四边形中，，．按下列步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点； ②分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点； ③连接并延长交于点．则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得，是的平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 6、如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限， 7、如图，在四边形中，已知，对角线，相交于点，若增加下列条件，则可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： A. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B. 由，可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； D. 由，，不能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； 8、如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 9、如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴ 若，则 ∴ ∴ 即： ∴ ∴四边形为平行四边形，故甲的方案正确； 当或，不能推出四边形为平行四边形，故乙、丙的方案错误； 10、如图，△ABC中，，，，，，则的值为（   ） A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是△BCF的中位线， ， ， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】 【详解】∵BD＝6cm，根据题意，当时， ∴ ， ∴ ， ∵AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为： 12、在□ABCD中，若，则__________． 【答案】 【详解】解：如图， 在□ABCD中，，，， ∴，， ∴， 故答案为： 13、如图，在周长为2的三角形中，，，分别是，，的中点，则的周长是 ． 【答案】1 【详解】解：∵点分别为三边的中点， 是周长为2的三角形， ， 的周长， 故答案为1． 14、如图，的对角线相交于点O，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，若的面积为20，则阴影区域的面积为 ． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，的面积为20， ∴， 故答案为：5． 15、如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F，连接，若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的是______________． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】①②③④ 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴四边形是平行四边形；故④正确； ∴， ∴即：；故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； 故答案为：①②③④ 16、如图，在中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，， ∴, 如图：过作，连接， ∴， ∴， ∴, ∴的最小值为， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在中，平分，交于点． (1)实践与操作：过点A作的垂线，分别交，于点，；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：，证明如下： 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 18、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE＋EO＝4，求□ABCD的周长． 【答案】周长为16 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形ABCD的周长． 19、已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【小问1详解】 证明：连接、，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ， 【小问2详解】 ，， ， 四边形是平行四边形． 20、如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与△CDF中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 21、【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是△ABC的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是____________； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是△ABC的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，    ， ． 22、如图，是等边△ABC内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵ 绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， 同理：是等边三角形， ， ， ， ． ，， ． ． （2）证明：， ， ，， ． ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 23、已知：如图，E、F是对角线上的两点．      (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，垂足分别为E、F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接交于O，      ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在△ADE和△CBF中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴． 24、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F． （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【小问1详解】 证明：如图， ∵平行四边形ABCD中，ADBC， ∴AFBE， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， 又∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°， ∴∠BAC＝∠AOF， ∴ABEF， ∴四边形ABEF是平行四边形． 【小问2详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，ADBC， ∴∠OAF＝∠OCE， ∵∠AOF＝∠COE， ∴△AOF≌△COE（ASA）． ∴AF＝CE． ∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $