精品解析：广东梅州市梅县区嘉应中学2025-2026学年八年级数学期中试卷

八年级第二学期中段质量监测（数学） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A、，令，则，故不成立，不符合题意； B、，根据不等式的性质1得，故不成立，不符合题意； C、，根据不等式的性质2得，故不成立，不符合题意； D、，根据不等式的性质3得，故成立，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质；解题关键是熟练掌握不等式的性质，性质1：不等式两边同加或同减同一个数或式子，不等号的方向不变；性质2：不等式两边同乘或同除以同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变． 3. 直角三角形的两条直角边的比为，斜边长为cm，则较长的直角边的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设直角三角形的两条直角边分别为，则斜边长为：，可得，即可求解； 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为， 则斜边长为：， ∴ 解得：， ∴较长的直角边的长 cm， 故选：D 4. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了逆命题以及其正确性，先写出每个命题的逆命题，再判断其正确性． 【详解】解：A．原命题：“两直线平行，同位角相等”，逆命题为“同位角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，逆命题正确． B．原命题：“若，则”，逆命题为“若，则”．显然时平方必相等，逆命题正确． C．原命题：“对顶角相等”，逆命题为“相等的角是对顶角”．存在相等的角不是对顶角的情况（如等腰三角形的底角），逆命题错误． D．原命题：“等腰三角形的两个底角相等”，逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”．根据等角对等边可知是等腰三角形，逆命题正确． 故选：C． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解： 由得， 由得， 该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： ． 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边对等角及三角形内角和定理，计算出，由垂直平分线的性质得，由等边对等角得，进而即可求解． 【详解】解：，， ， 垂直平分， ， ， ． 7. 每年的3月14日是国际数学日，某校开展了丰富多彩的数学文化活动．初二级数学竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，设小锋答对了x题，则根据题意可列出不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际运用，能够正确分析题目中的数量关系是解题的关键． 先根据总题数得到答错或不答的题数，再结合得分扣分规则和“得分超过85分才能获一等奖”的条件列出不等式． 【详解】解：设答对题数为，答错或不答的题数为. 答对1题得5分，答错或不答1题扣2分，则总得分可表示为， 由于小锋获得一等奖，则小锋得分超过85分， 则． 8. 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，假设三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 【答案】C 【解析】 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题结论的反面成立，据此分析判断即可． 【详解】解：∵原命题结论为“三角形中必有一个内角小于或等于”， ∴应假设“三角形中每一个内角都大于”． 9. 五一假期到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 7折 B. 折 C. 8折 D. 折 【答案】B 【解析】 【分析】根据利润不低于的要求，结合售价、进价、利润率的关系，列出一元一次不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该商品打折销售， 利润不低于，即实际售价不低于进价的， 则 化简得 解得 则最多可打折． 10. 如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设运动的时间为秒，则有，，从而可求，由，列方程，即可求解． 【详解】解：设运动的时间为秒，则有 ，， ， 是以为底的等腰三角形， ， ， 解得：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：将点向下平移个单位长度，平移后点的横坐标不变，仍为，纵坐标为； 因此得到的点的坐标为． 12. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 【答案】4cm 【解析】 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6， ∵4+6>6， ∴能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm． 故答案为：4cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 13. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 14. 若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 15. 如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据和都是等边三角形，得出，可判断①②，根据和边上的高相等，可判断④． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ，故①正确； ， ， 又， ， 即，故②正确； 没有理由能证明，故③错误； ， 和边上的高相等，即点B到和边的距离相等， 平分，故④正确； 综上可知，正确的结论是①②④． 三、解答题（一）（第16小题10分，第17小题7分，第18小题7分，共23分） 16. 求解不等式 （1） （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），图见详解 【解析】 【小问1详解】 解：去括号得， 移项合并得； 【小问2详解】 解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 系数化为1得； 17. 求解不等式组的解集，并写出所有的整数解． 【答案】解集为，其中整数解是，， 【解析】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为，其中整数解为，，． 18. 如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由得，从而得，由此得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明 ，得到角相等，从而证明平分，核心为全等判定； （2）由角平分线的性质得点到的距离等于，再利用三角形面积分割法，求解． 【小问1详解】 解：在和中， ， ， ，即平分． 【小问2详解】 解：过点作于， 平分，，， ， ， ， 代入已知条件：， 解得． 20. 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． （1）求m的值与直线的函数解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 【答案】（1）， （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； 【小问2详解】 解：由（1）得，， 有图象可知，当时，； 【小问3详解】 解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 21. 综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】（1）奖品的单价是元，奖品的单价是元； （2），最少费用w的值是1125元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【小问1详解】 解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； 【小问2详解】 解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题12分，共24分） 22. 阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1），理由见详解 （2），理由见详解 （3）不成立， 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角公式，“等角对等边”等知识，能够根据题目掌握“截长补短”是解题的关键． （1）根据题意可推出，根据，推得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，同（1）即可求解； （3）在上截取，连接，证明，同理可证明． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,, ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； 【小问2详解】 解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ， 则， 故； 【小问3详解】 解：不成立，，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ∴， 则， 故． 23. 我们规定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； （2）若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； （3）若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 【答案】（1）3；，0，1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1； 【小问2详解】 解：， 由不等式， 当时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当时，， 不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的值为； 【小问3详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级第二学期中段质量监测（数学） 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 直角三角形的两条直角边的比为，斜边长为cm，则较长的直角边的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 4. 下列命题的逆命题不正确的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 若，则 C. 对顶角相等 D. 等腰三角形的两个底角相等 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交于点D，E，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 每年的3月14日是国际数学日，某校开展了丰富多彩的数学文化活动．初二级数学竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错一道题或不答扣2分，得分超过85分可以获一等奖．小锋在本次竞赛中获得了一等奖，设小锋答对了x题，则根据题意可列出不等式为（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时，假设三角形中（ ） A. 有一个内角大于 B. 有一个内角小于 C. 每一个内角都大于 D. 每一个内角都小于 9. 五一假期到来之际，百货商场进行促销活动，某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不低于，则最多可打（ ） A. 7折 B. 折 C. 8折 D. 折 10. 如图，在中，，，点P从点B出发以的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当是以为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是______． 12. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 13. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14. 若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是______． 15. 如图，在直线AB的同一侧作和，和都是等边三角形，连接、交于点H，下列选项正确的序号是______． ①；②；③；④连接，则平分； 三、解答题（一）（第16小题10分，第17小题7分，第18小题7分，共23分） 16. 求解不等式 （1） （2），并把它的解集表示在数轴上． 17. 求解不等式组的解集，并写出所有的整数解． 18. 如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． （2）如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 20. 如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． （1）求m的值与直线的函数解析式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）求四边形的面积． 21. 综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． （1）求A、B两种奖品的单价各是多少？ （2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 五、解答题（三）（第22小题12分，第23小题12分，共24分） 22. 阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 23. 我们规定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为．根据该规定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”d＝______；“整点”为______； （2）若关于x的不等式组的“长度”，求a的值； （3）若关于x的不等式组恰有3个“整点”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $