精品解析：2026年四川成都市青羊区九年级下期质量监测 数 学

九年级下期质量监测数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分：考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在各题卡相应位置． 3．第I卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答：第II卷为非选择题，用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在各题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草模纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分．共32分） 1. 2的相反数是（ ） A. －2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个的相反数,故选A. 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知：“斗”的俯视图是 ． 3. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的标准形式为，满足，为整数，只需按要求确定和的值即可． 【详解】解：将的小数点向左移动位可得到符合要求的， ∴， ∴． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵，∴B正确； ∵，∴C错误； ∵，∴D错误． 5. 已知在中，是上一点，的周长是周长的一半，且，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，的周长为，周长为，根据的周长是周长的一半可以得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 根据题意可得，的周长为，周长为， 根据的周长是周长的一半可得， 可得， 又∵， ∴． 6. 某校国旗中队在新学期中招收新队员，初选入20人，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 4 6 7 3 则这批队员身高数据的中位数为（ ） A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的求解，解题的关键是掌握中位数的求解方法． 根据中位数的定义求解，先确定数据总个数为，是偶数，再找出排序后中间位置的两个数据，计算其平均数即可得到中位数． 【详解】解：由题意可得，数据总个数为 ，是偶数， 中位数为从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数， 从小到大排列，则第10个数据为174，第11个数据为175， 则中位数为 ． 7. 如图，是的内接三角形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出 ，然后，根据三角形的内角和定理得出 ，最后根据圆周角定理得出 ． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，则，对称轴为直线，则有，与y轴交于负半轴，则，与x轴有两个交点，所以， ∴，当时，随的增大而增大，故A、B正确，C错误； 根据二次函数的对称性可知：抛物线与x轴的另一个交点横坐标为， ∴当时，则有，故D正确． 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为：． 10. 如图，点在直线上，过点作射线，若，则_____度． 【答案】120 【解析】 【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 11. 若点，在函数的图象上，则_____，（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象的性质知图象分布在第一、三象限，再结合点A和点B的横坐标知a和b的正负性，从而判断大小． 【详解】反比例函数的比例系数，图象分布在第一、三象限， 点横坐标，因此， 点横坐标，因此， ∴． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵和是以原点为位似中心的位似图形，且，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． 13. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点，；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点： ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点． 根据以上作图，若，，则________度． 【答案】22 【解析】 【分析】由题意易得平分，垂直平分，则有，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：由作图可知：平分，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据零次幂、算术平方根、正弦值、负次幂进行计算即可； （2）先解每一个不等式，然后再找它们解集的公共部分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：解不等式①得； 解不等式②得， 则不等式组解集为． 15. 某校为了解本校学生对国家安全相关知识的了解情况，随机抽取了部分学生，进行问卷调查，调查结果分为以下四个等级：：非常了解；：比较了解；：基本了解；：不了解．并将统计结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）这次调查抽取的学生共有__________人，估计该校名学生中对国家安全相关知识不了解的学生人数约为__________人； （2）请补全条形统计图，并写出圆心角为__________度； （3）学校准备从“”等级的名学生（两男两女）中，随机抽取名学生参加安全知识宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 【答案】（1）； （2）补全条形统计图见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用A等级所占人数除以其所占百分比，即可得到抽取总人数；利用名学生乘以对国家安全相关知识不了解的学生人数的占比，即可解题； （2）利用总人数算出C等级人数，补全条形统计图即可；再利用乘以B等级所占比，即可得到圆心角； （3）画树状图得出共有种等可能的结果数，其中恰好抽到名男生和名女生的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解： （人）， （人）， ∴这次调查抽取的学生共有人，估计该校名学生中对国家安全相关知识不了解的学生人数约为人； 【小问2详解】 解： （人）， 补全条形统计图如下： 圆心角为 ； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的结果数，恰好抽到名男生和名女生的结果有种， ∴恰好抽到名男生和名女生的概率为． 16. 某校九年级某班开展“数学综合与实践”活动，要求利用所学三角函数知识去测量一栋建筑物的高度．李明同学用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪（如图1所示），如图2，他站在自家阳台处，利用测角仪先测得对面楼房的顶部点的仰角为，再测得这栋楼底部点的俯角为．已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】这栋楼的高度约为 【解析】 【分析】过点作于点，先得出四边形是矩形，则可得，再解直角三角形分别求出的长，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 答：这栋楼的高度约为． 17. 在中，，点在上，且为的外接圆，直径交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值和直径的长． 【答案】（1）见解析； （2）， 【解析】 【分析】本题是圆的综合问题，考查了圆切线的判定，锐角三角函数的求解，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关基础知识，根据题意，作出合适的辅助线． （1）根据等腰三角形的性质以及圆的有关性质，得到，，即可求证； （2）作，由等腰三角形的性质和勾股定理可得，，，再利用相似三角形的性质，求得，，，即可求得，； 【小问1详解】 证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 又∵为半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：作，如图， 由题意可得，， 由勾股定理可得，， ∵为的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， 在中，，∴， ∵， ∴， ∴，即，解得， 由题意可得，，， ∴， ∴，即，解得 直径的长为． 18. 已知如图，点与点关于点对称，过点的反比例函数的图象与直线的另一交点为点，且直线交轴于点，连接交反比例函数图象于点，连接． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）为轴正半轴上一动点，当以为顶点的三角形与相似时，求点坐标． （3）如图，过点的直线与反比例函数图象在第三象限与第一象限分别交于点与点（在左侧），直线与直线交于点．当时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题是考查反比例函数，一次函数和几何图形结合的综合题，结合了相似三角形的判定和性质，以及利用方程的思想解决问题． （1）根据点与点关于点对称，得到，继而利用待定系数法得到反比例函数的表达式，通过证明，得到，继而得到，再次利用待定系数法得到直线的表达式，继而得到点． （2）首先证明，设，根据当时和当时，分两种情况讨论，得到点的坐标． （3）设，设直线的表达式为，根据一元二次方程根与系数的关系得到①，通过待定系数法得到直线的表达式，继而得到点，在利用待定系数法得到直线和直线的表达式，联立得到②，过点作轴，过点作交于，过点作交于，根据平行线分线段成比例得到③，将①、③代入②中，得到关于的一元二次方程，解得，即可得到点以及点的坐标． 【小问1详解】 解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 当时，解得或， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设（）， ∵， ∴，， 如图，当时，， ∴，解得， ∴， 如图，当时，， ∴，解得， ∴； 综上所述，点坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 设直线的表达式为， 当时，即， ∴， ∴①， ∵点，点， ∴设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴直线与反比例函数的交点为，解得，， ∴， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， ∴当时，②， 如图，过点作轴，过点作交于，过点作交于， ∴， ∴， ∴， ∴③， 将①、③代入②中，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴直线的表达式为，， ∴， ∴． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用完全平方公式的变形进行计算，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，再由 完全平方公式的变形可得，代入进行计算即可，熟练掌握关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，是解此题的关键． 【详解】解：、是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：． 20. 若，则_______． 【答案】64 【解析】 【分析】原式转化为 ，因为算术平方根和平方数都是非负数，且两个非负数的和为0，那么每一项都为0，所以可分别列出关于、的方程，求解得到、的值．再将化为以2为底数的幂，再根据同底数幂的除法法则计算． 【详解】解：，即 ， ∴，， 解得 ，， ∵， ∴， 代入 得  ． 21. 如图，以正方形边长为直径在正方形内画半圆，形成阴影部分．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则阴影部分可看作是以正方形边长为直径的两个圆的面积减去正方形的面积， ∴阴影部分的面积，正方形的面积为4， ∴随机向该正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 22. 西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如： 因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 ①. 2 ②. 90 【解析】 【分析】根据题意，先明确记号中各部分的定义，第一个数为所求无理数的整数部分，再仿照题目给出的的变形过程归纳规律，计算得到结果． 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ； 因此，故； 对于因为 ，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 23. 如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知，，，则的长__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，得到为等腰直角三角形，由此可得，再利用正切值以及勾股定理可求解与的长度，再由等腰可得 ，由此可得，再由三角形三边的关系，设，再利用角的关系得到 ，结合三角形面积得到边的比例，可解得，利用勾股定理求解x的值，由此可解． 【详解】解：过点A作的延长线于点H，过点B作，过点C作，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即 ， ∵ ， ∴，则， 在中，， 即 ，且， 在中，， 即，解得， 则， ∴， ∴ ， ∵是的平分线， ∴ ， 在中，， 在中，则， 设，则 ， 在中， ， ∵ ， 在中， ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴为的角分线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得， ∵ ， 在中，， 则， 即 ，可得 ， 解得（负值舍掉）， 故 ． 二、解答题（共30分） 24. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲，乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）请问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买25个甲，乙两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的，请问共有哪几种购买方案？ 【答案】（1）甲型充电桩单价为万元，乙型充电桩单价为万元 （2）共有3种购买方案，分别为：方案1：购买14个甲型充电桩，11个乙型充电桩；方案2：购买15个甲型充电桩，10个乙型充电桩；方案3：购买16个甲型充电桩，9个乙型充电桩． 【解析】 【分析】（1）设甲型充电桩的单价是万元，则乙型充电桩的单价是万元，利用数量总价单价，结合用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即甲型充电桩的单价），再将其代入中，即可求出乙型充电桩的单价； （2）设购买个甲型充电桩，则购买个乙型充电桩，根据“购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型充电桩的单价是万元，则乙型充电桩的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：甲型充电桩的单价是0.9万元，乙型充电桩的单价是1.2万元； 【小问2详解】 解：设购买个甲型充电桩，则购买个乙型充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为14，15，16， 共有3种购买方案， 方案1：购买14个甲型充电桩，11个乙型充电桩； 方案2：购买15个甲型充电桩，10个乙型充电桩； 方案3：购买16个甲型充电桩，9个乙型充电桩． 25. 数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片与大三角形纸片中的小三角形重合放置，如图2，固定顶点，然后将纸片绕顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知和中，，直线与直线交于点． （1）如图2，当旋转角小于时，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请求出的度数； （2）在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积； （3）在纸片绕点旋转过程中，连接，当线段的长度最小时，求的值． 【答案】（1）不变，，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的综合问题，涉及等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，综合性比较强，难度比较大，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，结合题意，作出合适的辅助线． （1）根据旋转的性质可得，，，再根据三角形外角的性质得到，推出，即可求解； （2）作，设，通过勾股定理得到，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据确定出点的轨迹，从而得到当三点共线时，最小，再构造直角三角形，求得对应线段的长度，求解即可． 【小问1详解】 解：不变，，理由如下： 由题意可得，，， 由旋转的性质可得，，，， ∴， 由三角形外角的性质可得，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中，，，， 作，如下图： 设，由题意可得，， 则， 由勾股定理可得，，解得， 则； 【小问3详解】 解：由（1）得，可以确定出点的轨迹是以为弦的圆弧上，且所对的圆心角为，如图， 点为的中点，，连接，可得为等腰直角三角形，即， 由勾股定理可得，， 则点在以为圆心，以为半径的圆上， 从而得到当三点共线时，最小，作，连接，如下图： 由题意可得，，， ∴，即， 解得，， ， 则． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线的图象交射线于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，若，求的取值范围； （3）如图3，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，点是直线上一动点，过点作直线，，且与抛物线的图像有唯一公共点，与抛物线的图像有唯一公共点（，是不重合的两个点）．请问：过，两点的直线是否过平面内一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）直线经过定点 【解析】 【分析】（1）令，得出，，根据求出，，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）根据，抛物线向左平移的距离与向右平移的距离相等，得出平移后的解析式为 ，可得求出直线的解析式为，设，，联立直线与抛物线的解析式得出，，可得，根据 求出的取值范围即可； （3）设，可得过点的直线的解析式为，根据抛物线的顶点在原点得出的解析式为，与过点的直线的解析式联立得，根据、与抛物线有唯一公共点得出，可得，，，进而求出直线的解析式为，即可求出直线过定点． 【小问1详解】 解：∵抛物线图象与轴交于，两点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线， ∴抛物线向左平移的距离与向右平移的距离相等， 设平移距离为，则， 解得：， ∴抛物线向左平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为 ， ∴当时， ， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，， 联立直线与抛物线的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵、的横坐标分别为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ，即 ， 整理得，， 解得：． 【小问3详解】 解：∵直线的解析式为，点在直线上， ∴设，设过点的直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴过点的直线的解析式为， ∵抛物线的顶点为坐标原点， ∴抛物线的解析式为， 联立抛物线和过点的直线的解析式得，， ∴， 整理得，， ∵与抛物线的图像有唯一公共点，与抛物线的图像有唯一公共点， ∴， ∴， 设直线、的解析式中的比例系数分别为、， ∴， ∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 由可得， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴当，即时，， ∴直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下期质量监测数学 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分：考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考号和座位号，无误后将本人姓名、考号和座位号填写在各题卡相应位置． 3．第I卷为选择题，用2B铅笔在答题卡上填涂作答：第II卷为非选择题，用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在各题卡各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草模纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分．共32分） 1. 2的相反数是（ ） A. －2 B. 2 C. D. 2. 如图1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具．图2是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 今年三月，我国在“十五五”规划纲要中指出，未来五年，铁路建设紧扣国家发展大局，聚焦“八纵八横”高铁主通道贯通与西部战略通道补强．到2030年，全国铁路营业里程达到公里左右，其中高铁公里左右．将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知在中，是上一点，的周长是周长的一半，且，则的长为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 6 6. 某校国旗中队在新学期中招收新队员，初选入20人，这20名队员的身高如下表： 身高（） 173 174 175 176 人数（人） 4 6 7 3 则这批队员身高数据的中位数为（ ） A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176 7. 如图，是的内接三角形，若 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴是直线，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. 当时，随的增大而增大 D. 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：________． 10. 如图，点在直线上，过点作射线，若，则_____度． 11. 若点，在函数的图象上，则_____，（填“”“”或“”） 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，和是以原点为位似中心的位似图形．若，则点的坐标为_____． 13. 如图，在中，按以下步骤作图： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交和于点，；再分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点： ②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交延长线于点． 根据以上作图，若，，则________度． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1）； （2）． 15. 某校为了解本校学生对国家安全相关知识的了解情况，随机抽取了部分学生，进行问卷调查，调查结果分为以下四个等级：：非常了解；：比较了解；：基本了解；：不了解．并将统计结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： （1）这次调查抽取的学生共有__________人，估计该校名学生中对国家安全相关知识不了解的学生人数约为__________人； （2）请补全条形统计图，并写出圆心角为__________度； （3）学校准备从“”等级的名学生（两男两女）中，随机抽取名学生参加安全知识宣讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到名男生和名女生的概率． 16. 某校九年级某班开展“数学综合与实践”活动，要求利用所学三角函数知识去测量一栋建筑物的高度．李明同学用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪（如图1所示），如图2，他站在自家阳台处，利用测角仪先测得对面楼房的顶部点的仰角为，再测得这栋楼底部点的俯角为．已知两楼之间的水平距离为，求这栋楼的高度．（结果保留整数，参考数据：） 17. 在中，，点在上，且为的外接圆，直径交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值和直径的长． 18. 已知如图，点与点关于点对称，过点的反比例函数的图象与直线的另一交点为点，且直线交轴于点，连接交反比例函数图象于点，连接． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标． （2）为轴正半轴上一动点，当以为顶点的三角形与相似时，求点坐标． （3）如图，过点的直线与反比例函数图象在第三象限与第一象限分别交于点与点（在左侧），直线与直线交于点．当时，求点的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 20. 若，则_______． 21. 如图，以正方形边长为直径在正方形内画半圆，形成阴影部分．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为_____． 22. 西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如： 因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 23. 如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知 ，，，则的长__________． 二、解答题（共30分） 24. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲，乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）请问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？ （2）该停车场计划共购买25个甲，乙两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的，请问共有哪几种购买方案？ 25. 数学活动课上，如图1，同学们将小三角形纸片与大三角形纸片中的小三角形重合放置，如图2，固定顶点，然后将纸片绕顶点逆时针旋转，来探究图形旋转的性质．已知和中，，直线与直线交于点． （1）如图2，当旋转角小于时，的度数会发生改变吗？若改变，请说明理由；若不变，请求出的度数； （2）在纸片绕点旋转过程中，当时，求的面积； （3）在纸片绕点旋转过程中，连接，当线段的长度最小时，求的值． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线，抛物线的图象交射线于，两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，若，求的取值范围； （3）如图3，将抛物线平移得到抛物线，抛物线的顶点为坐标原点，点是直线上一动点，过点作直线，，且与抛物线的图像有唯一公共点，与抛物线的图像有唯一公共点（，是不重合的两个点）．请问：过，两点的直线是否过平面内一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $