内容正文:
旺苍县2026年春九年级第二次诊断性学科质量监测数学试卷
说明:1.全卷满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共三个大题26个小题.
3.考生必须在扫描卡上答题,写在试卷上的答案无效.选择题必须使用2B铅笔填涂答案,非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题.
第Ⅰ卷 选择题 (共30分)
一、单选题(每小题给出的四个选项中,只有一个符合题意,每小题3分,共30分)
1. 如图,将2在数轴上对应的点向左平移3个单位,则此时该点对应的数是( )
A. 1 B. C. 5 D.
【答案】B
【解析】
【详解】解:根据题意得,
故此时该点对应的数是.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】需运用合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式、积的乘方的运算法则逐一判断选项即可.
【详解】解:A,,错误,不符合题意;
B,,错误,不符合题意;
C,,错误,不符合题意;
D, ,正确,符合题意.
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”,其主视图为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.看不见的棱要用虚线表示.找到从前面看所得到的图形即可.
【详解】解:卷纸的主视图应是:
,
故选:C.
4. 某社区便利店销售家用洗衣液,店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销,以便合理进货.下列关于洗衣液容量规格的统计量中,最有参考意义的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 极差
【答案】C
【解析】
【详解】解:∵店主需要了解哪种容量规格的洗衣液最畅销,核心需求是找出销量最高,也就是出现次数最多的容量规格,
又∵众数是一组数据中出现次数最多的数,中位数反映数据的中间位置水平,平均数反映数据的平均水平,极差反映数据的波动范围,只有众数符合店主需求,
∴最有参考意义的统计量是众数.
5. 如图,正五边形的边长为,点、在上,则的长是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解:正五边形,
,
,
.
6. 如图,是的直径,、是的弦.若, , 则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接,根据题意得到,利用圆周角定理求出,得到,由直径所对圆周角是直角得到,利用直角三角形的性质计算即可.
【详解】解:如图,连接,
,
,
,
,
,
是的直径,
,
.
7. 《九章算术》记载这样一道问题:现将一份文书送往距离900里处的城池,若用慢马递送,所需时间比规定时间多2天;若用快马递送,所需时间比规定时间少3天.已知快马速度是慢马的2倍,求规定的时间.设规定时间为天,根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用,根据速度路程时间,分别表示出慢马和快马的速度,再结合快马速度是慢马的2倍列方程即可.
【详解】解:∵ 规定时间为天,慢马所需时间比规定时间多天,快马所需时间比规定时间少天,
∴ 慢马走完全程的时间为天,快马走完全程的时间为天,
∵速度路程时间,总路程为里,
∴ 慢马速度为,快马速度为,
∵ 快马速度是慢马的倍,
∴.
8. 如图所示,直线,点E在上,点H在上,点F、G在直线的上方,点Q是延长线上一点,且满足,,则与的数量关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理.设,,利用已知条件表示出相关角,再通过作平行线或延长线构造三角形,利用三角形内角性质建立与的数量关系.
【详解】解:设,,
,,
,,
,
,
延长交直线于点P,延长交直线于点R,
,
,,
在中,
,
在中,,
,
即.
9. 二次函数 的图象如图所示,对称轴是,下列结论:①;②关于x的方程 有两个不相等的实数根;③; ④正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置,确定、、的符号及相关代数式的取值范围,再逐一判断四个结论的正误.
【详解】解:由抛物线开口向下,
,
对称轴为直线,
,
,
,
,
由抛物线与轴交于正半轴,
,
,
故结论①正确.
由图象可知,抛物线与轴有两个不同的交点,
方程有两个不相等的实数根,
故结论②正确.
当时,,此时函数取得最大值,
由图象可知,顶点在轴上方,
,
又,
,
故结论③错误.
当时,,
由图象可知,抛物线右侧与轴正半轴的交点在和之间,
当时,,
即,
,
,
故结论④正确.
综上所述,正确的结论有①②④,共个.
10. 如图①,在中, ,E、F分别是边,上的动点,且, D是的中点,连接,,,设,的面积为y,图②是y关于x的函数图象,则下列说法不正确的是( )
A. 是等腰直角三角形 B.
C. 的周长可以等于12 D. 四边形的面积为4
【答案】C
【解析】
【分析】通过函数图象的顶点坐标确定等腰直角三角形的直角边长,再利用全等三角形证明的形状,进而判断各选项的正误.
【详解】解:由题意,,为等腰直角三角形,,,
,
,
,
,
,
,
该二次函数图象的对称轴为直线,
由图②可知,对称轴为,
,
解得:,
,
当时,,
故选项B正确.
连接,
是的中点,,,
,,,,
在和中,
,
,
,,
,
是等腰直角三角形,
故选项正确.
,
,
,
,
四边形的面积为,
故选项正确.
由知,
作于点,
,
为等腰直角三角形,
,
,
,
,
在中,
,
,
,
,
,
,
当时,,,
当或时,,,
,
为等腰直角三角形,,
,
的周长,
周长的最小值为,
周长的最大值为,
,
的周长不可能等于12,
故选项不正确.
第Ⅱ卷 非选择题 (共120分)
二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上,每小题4分,共24分)
11. 的算术平方根是___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根.根据算术平方根的定义即可得.
【详解】解:,
的算术平方根是,
故答案为:.
12. 千年米仓道,一品旺苍茶.我县年预计茶叶总产量突破万吨,综合产值亿元,特色优势持续彰显.数据亿元用科学记数法表示为_______元.
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为,其中,为整数,据此解答即可.
【详解】解:亿.
13. 某文具店举行抽奖活动,盒子中装有5支完全相同的中性笔,笔杆上分别刻有数字:.顾客随机抽取一支,记笔上的数字为a,求使得:以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限,且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据正比例函数经过第一、三象限求出a的取值范围,再根据一元二次方程有实数解求出a的取值范围,找出同时满足两个条件的a值,最后利用概率公式求解.
【详解】解: 正比例函数经过第一、三象限,
,
,
一元二次方程有实数解,
且,
,
,
且,
笔上的数字为,
符合条件的a值只有,
所求概率为.
14. 在中,若,满足 则的度数为________.
【答案】##90度
【解析】
【详解】解:∵ ,
,
∴,
∴,
∴,
∴
15. 如图,点是反比例函数(为常数)的图象上一点,轴于点,点在上,,点是轴上一点,连接,若,则的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】设点坐标为,利用三角形的面积列出方程求解.
【详解】解:设点坐标为,
∵,
∴,
∴,
∴,
解得.
16. 如图,在四边形中,,,若,,则四边形的面积_______.
【答案】
【解析】
【分析】由,推出、、、四点共圆,设圆心为,连接,根据勾股定理求出,过点作于点,连接,利用等腰三角形性质(“三线合一”)及垂径定理的推论证得,推出、、共线,通过勾股定理求得、、,最后根据求得结果.
【详解】解:在四边形中,,
、、、四点共圆,
设圆心为,则点是的中点
如图,连接,则为的直径,
在中,,,
,
过点作于点,
,
,
连接,则,
、、共线,
,
,
,
,
,
.
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分)
17. 计算∶
【答案】
【解析】
【详解】解:原式
18. 先化简,再求值∶ ,其中满足
【答案】;
【解析】
【详解】解:
;
解方程
或;
,,,
,
,
原式.
19. 如图,在四边形中,为对角线,.
(1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点,连接,使得 (保留作图痕迹,不写作法);
(2)若,点是的中点.求证:四边形是菱形.
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】()作线段的垂直平分线,交于点,连接,由线段垂直平分线的性质可得,故点即为所求;
()先证明,再证明,进而证明,得到四边形是平行四边形,最后证明即可求证;
本题考查了线段垂直平分线的作法和性质,平行四边形的判定,菱形的判定等,熟练掌握知识点是解题的关键.
【小问1详解】
解:如图所示,点即为所求;
【小问2详解】
证明:∵,
∴,
∴ ,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴ ,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∵点是的中点,
∴,
∴,
∴四边形是菱形.
20. 某中学为了解九年级学生的体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,,,四个等级.请根据两幅统计图(不完整)中的信息回答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了_____名学生,并补全条形统计图;
(2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____;
(3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生,作为重点帮扶对象,请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
【答案】(1),图见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】(1)根据A等级的人数和所占的百分比即可求出抽样调查的总人数,再求出C等级学生人数,再补全条形统计图即可;
(2)用乘以B等级所占的比例即可解答;
(3)先画出树状图确定所有等可能结果数以及两人恰好都是男生的情况数,再运用概率公式求解即可.
【小问1详解】
解:(名).
C等级学生人数为:(人).
补全条形图如图:
故答案为:50.
【小问2详解】
解:测试结果为等级的学生数为20名,
.
故答案为:.
【小问3详解】
解:画出树状图如下:
共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2.
所以抽取的两人恰好都是男生的概率为.
【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求概率、条形统计图和扇形统计图、画条形统计图、求扇形统计图圆心角等知识点,从统计图中获取所需信息是解题关键.
21. 如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,一次函数 与反比例函数 的图象交于两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象回答,当 时,求x的取值范围;
(3)y轴上有一点 P,当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时,求点 P 的坐标.
【答案】(1),;
(2)或;
(3)点的坐标为或
【解析】
【分析】(1)由B的坐标,求出反比例函数解析式,再求出A点坐标,最后待定系数法求出一次函数解析式;
(2)根据函数图象即可得到不等式的解集;
(3)先求出M,N的坐标,再分和,表示出四边形面积,计算即可.
【小问1详解】
解:把代入得,
,
反比例函数的解析式为,
把代入得,
,
把,代入得:,
解得:,
一次函数的解析式为;
【小问2详解】
由图象得,当时,即时,x的取值范围为或;
【小问3详解】
解:设,
由得,当时,,当时,,
,
当时, ,
,
,
,
点的坐标为,
如下图,
当时,,
,
,
点的坐标为,
综上所述:点的坐标为或.
22. 如图,农户家有两面垂直的院墙,墙角内侧N处有一棵果树,距两侧院墙的距离分别为10米和5米.现计划借助这两面院墙(足够长),用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆只围、两边),果树在围成的区域内,设为x米.
(1)菜园的面积能否为119平方米?若能,求出x的值;若不能,请说明理由;
(2)求面积S与x的函数解析式,写出x的取值范围,并求出当x为何值时,菜园面积最大?
【答案】(1)菜园面积能为119平方米,此时
(2),当时,菜园面积最大
【解析】
【分析】(1)设为x米,则米,根据矩形的面积公式列出方程求解;
()根据矩形的面积公式列出与的函数解析式,再根据题意求出的取值范围,进而根据二次函数的性质解答即可求解.
【小问1详解】
解:设为x米,则米,
由题意得,,
即,
解得,,
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意,舍去;
∴,
答:菜园面积能为119平方米,此时;
【小问2详解】
解:,
∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米,
∴,
解得,
∴,
∵二次项系数,
∴抛物线的开口向下,
∴当时,菜园面积S的值最大.
23. 如图,在某机场的地面雷达观测站O处,观测到空中点A处的一架飞机的仰角为,飞机沿水平线方向飞行到达点B处,此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处,此时观测到飞机的仰角为 已知AB为 千米,(A、B、C、O、M、N在同一平面内).
(1)求O、B两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟,求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟? 结果精确到0.01)
【答案】(1)24千米
(2)2.45
【解析】
【分析】(1)由题意知飞机从A到B沿水平线飞行,故A、B两点高度相同.设此高度为h,利用仰角的正切值分别表示A、B两点到观测站O的水平距离,根据长度建立关于的方程,求出后再利用三角函数求.
(2)由题意知B、C两点的仰角均为,且飞机从B到C沿与水平线成角的方向爬升,结合图形可知B、C两点分别位于O点两侧.利用三角函数建立方程求出C点高度,再用勾股定理求长度,最后根据速度公式求飞行时间.
【小问1详解】
解:分别过点A,B作
于点D,于点E,
设,
在点A处观测飞机的仰角为,
,
在点B处观测飞机的仰角为,
,
飞机沿水平线方向从A飞行到B,
,
∴
,
【小问2详解】
解:延长交于点M,过点B作于点M,
由题意,B、C两点的仰角均为,且BC与水平线成角,
∴,
,,
∴
在中,
,
在中,
,
飞机从点B飞行到点 C所用的时间是:
分钟
24. 如图,A是中的中点,以A、B、C三点作平行四边形,延长交于点E,连接.
(1)证明:是的切线;
(2)若的半径为13,,求平行四边形的周长.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
【分析】(1)连接,交于点F,根据垂径定理可得,再利用平行四边形的性质证明即可;
(2)连接,根据等弧对等弦可得,再利用勾股定理求出,进而求解即可.
【小问1详解】
证明:连接,交于点F,
∵A是中的中点,
∴,
∴,
∴,
∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∵为半径,
∴是的切线;
【小问2详解】
解:连接,
∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
设,
∵,
∴,
∵,
∴,即,
解得,即,
∴,
∵,
∴,
∴平行四边形的周长.
25. 在四边形中,是线段上一点,连接,为射线上一点(不与射线端点重合),且.
(1)如图①,若四边形为正方形,点在线段上,探究与之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若四边形为矩形,点在的延长线上,且,.探究线段与之间位置关系和数量关系,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,过点作交于点,延长交边于点,当时,直接写出的长.
【答案】(1),;理由见解析;
(2),;理由见解析;
(3)
【解析】
【分析】(1),;理由如下:过点作于点,作于点,证明即可推出结论;
(2),;理由如下:过点作于点,作于点,证明,根据角的关系证垂直,利用线段比例关系求线段与之间的关系即可;
(3)当时,勾股定理可求的长,进而求出,证明,利用对应线段成比例得,则可求出,利用勾股定理求出.
【小问1详解】
解:,;理由如下:
如图,过点作于点,作于点,
四边形为正方形,
,,
,
四边形是正方形,
,
在和中,,
,
,,
,
;
【小问2详解】
解:,;理由如下:
如图,过点作于点,作于点,
四边形为矩形,
,
四边形是矩形,
,,
,,
,
,,
,
,
,
,
,即,
,
;
【小问3详解】
解:当时,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
26. 如图,抛物线 与x轴交于,两点,与轴交于点 ,点是抛物线上一动点,点是线段的中点,连接,以和为一组邻边作.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在直线上方的抛物线上时,求面积的最大值及此时点D的坐标;
(3)当的点G落在x轴上时,求出D的坐标.
【答案】(1)
(2)当时,有最大值4,此时
(3)或
【解析】
【分析】(1)根据待定系数法求抛物线解析式即可;
(2)根据(1)中抛物线解析式求得点,点的坐标,待定系数法求直线的解析式;连接,过点作于点,交于点,设点的坐标,根据面积公式列面积的表达式,配方求得面积的最大值,即可求解;
(3)根据平行四边形的性质和全等三角形的性质,即可求得.
【小问1详解】
∵抛物线与轴交于,两点
∴
解得
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
∵抛物线的解析式为
∴
∵点是线段的中点
∴
设直线的解析式为
∵,
∴
解得
∴直线的解析式为
如图,连接,过点作于点,交于点
设,则点
∴
∴
∴
∵
∴当时,有最大值4,此时
【小问3详解】
当在轴上的时候,如图
∵,
∴
∴
∴
∵
即点到轴的距离为1
将代入抛物线解析式
解得,
∴点的坐标为或
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旺苍县2026年春九年级第二次诊断性学科质量监测数学试卷
说明:1.全卷满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共三个大题26个小题.
3.考生必须在扫描卡上答题,写在试卷上的答案无效.选择题必须使用2B铅笔填涂答案,非选择题必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔答题.
第Ⅰ卷 选择题 (共30分)
一、单选题(每小题给出的四个选项中,只有一个符合题意,每小题3分,共30分)
1. 如图,将2在数轴上对应的点向左平移3个单位,则此时该点对应的数是( )
A. 1 B. C. 5 D.
2. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”,其主视图为( )
A. B. C. D.
4. 某社区便利店销售家用洗衣液,店主想了解哪种容量规格的洗衣液最畅销,以便合理进货.下列关于洗衣液容量规格的统计量中,最有参考意义的是( )
A. 中位数 B. 平均数 C. 众数 D. 极差
5. 如图,正五边形的边长为,点、在上,则的长是( )
A. B. C. D.
6. 如图,是的直径,、是的弦.若, , 则的度数为( )
A. B. C. D.
7. 《九章算术》记载这样一道问题:现将一份文书送往距离900里处的城池,若用慢马递送,所需时间比规定时间多2天;若用快马递送,所需时间比规定时间少3天.已知快马速度是慢马的2倍,求规定的时间.设规定时间为天,根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
8. 如图所示,直线,点E在上,点H在上,点F、G在直线的上方,点Q是延长线上一点,且满足,,则与的数量关系是( )
A. B. C. D.
9. 二次函数 的图象如图所示,对称轴是,下列结论:①;②关于x的方程 有两个不相等的实数根;③; ④正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图①,在中, ,E、F分别是边,上的动点,且, D是的中点,连接,,,设,的面积为y,图②是y关于x的函数图象,则下列说法不正确的是( )
A. 是等腰直角三角形 B.
C. 的周长可以等于12 D. 四边形的面积为4
第Ⅱ卷 非选择题 (共120分)
二、填空题(把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上,每小题4分,共24分)
11. 的算术平方根是___________.
12. 千年米仓道,一品旺苍茶.我县年预计茶叶总产量突破万吨,综合产值亿元,特色优势持续彰显.数据亿元用科学记数法表示为_______元.
13. 某文具店举行抽奖活动,盒子中装有5支完全相同的中性笔,笔杆上分别刻有数字:.顾客随机抽取一支,记笔上的数字为a,求使得:以x为自变量的正比例函数经过第一、三象限,且关于x的一元二次方程有实数解的概率是_______.
14. 在中,若,满足 则的度数为________.
15. 如图,点是反比例函数(为常数)的图象上一点,轴于点,点在上,,点是轴上一点,连接,若,则的值为___________.
16. 如图,在四边形中,,,若,,则四边形的面积_______.
三、解答题(要求写出必要的解答步骤或证明过程.共96分)
17. 计算∶
18. 先化简,再求值∶ ,其中满足
19. 如图,在四边形中,为对角线,.
(1)用无刻度的直尺和圆规在线段上求作一点,连接,使得 (保留作图痕迹,不写作法);
(2)若,点是的中点.求证:四边形是菱形.
20. 某中学为了解九年级学生的体能状况,从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,,,四个等级.请根据两幅统计图(不完整)中的信息回答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了_____名学生,并补全条形统计图;
(2)“B等级”在扇形图中的圆心角度数为_____;
(3)若从体能测试结果为等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生,作为重点帮扶对象,请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
21. 如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,一次函数 与反比例函数 的图象交于两点.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式;
(2)根据图象回答,当 时,求x的取值范围;
(3)y轴上有一点 P,当以点O、P、A、B为顶点的四边形的面积为5时,求点 P 的坐标.
22. 如图,农户家有两面垂直的院墙,墙角内侧N处有一棵果树,距两侧院墙的距离分别为10米和5米.现计划借助这两面院墙(足够长),用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园(篱笆只围、两边),果树在围成的区域内,设为x米.
(1)菜园的面积能否为119平方米?若能,求出x的值;若不能,请说明理由;
(2)求面积S与x的函数解析式,写出x的取值范围,并求出当x为何值时,菜园面积最大?
23. 如图,在某机场的地面雷达观测站O处,观测到空中点A处的一架飞机的仰角为,飞机沿水平线方向飞行到达点B处,此时观测到飞机的仰角为 飞机继续沿与水平线成15°角的方向爬升到点C处,此时观测到飞机的仰角为 已知AB为 千米,(A、B、C、O、M、N在同一平面内).
(1)求O、B两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟,求飞机从点B飞行到点 C所用的时间是多少分钟? 结果精确到0.01)
24. 如图,A是中的中点,以A、B、C三点作平行四边形,延长交于点E,连接.
(1)证明:是的切线;
(2)若的半径为13,,求平行四边形的周长.
25. 在四边形中,是线段上一点,连接,为射线上一点(不与射线端点重合),且.
(1)如图①,若四边形为正方形,点在线段上,探究与之间的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图②,若四边形为矩形,点在的延长线上,且,.探究线段与之间位置关系和数量关系,并说明理由;
(3)如图③,在(2)的条件下,过点作交于点,延长交边于点,当时,直接写出的长.
26. 如图,抛物线 与x轴交于,两点,与轴交于点 ,点是抛物线上一动点,点是线段的中点,连接,以和为一组邻边作.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点在直线上方的抛物线上时,求面积的最大值及此时点D的坐标;
(3)当的点G落在x轴上时,求出D的坐标.
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