2026年内蒙古自治区赤峰市九年级下册数学中考模拟试题

**基本信息** 2026年内蒙古赤峰市中考数学模拟卷，以原创题（如第3题数轴与实数关系）和现实情境题（如第14题流感治疗费用统计）为亮点，覆盖七至九年级核心知识，注重抽象能力、推理意识与数据意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|三视图、实数运算、概率、函数图像|结合几何直观（第1题三视图）、统计推断（第5题频率稳定性）| |填空题|4/12|一元二次方程、反比例函数、解直角三角形、几何综合|动态几何（第12题等边三角形旋转）、面积计算（第10题反比例函数）| |解答题|6/64|计算、统计、函数应用、圆的证明、二次函数综合|现实问题解决（第14题统计与概率）、逻辑推理（第16题圆的切线证明）、综合探究（第18题二次函数与几何结合）|

Sheet1 2026年内蒙古自治区赤峰市九年级下册数学中考模拟试题 双向细目表 题号 分值 知识板块 考点 课标要求 难度预估 记忆 理解 应用 分析 综合 评价 1 3 图形与几何 三视图的面积关系判断 √ 0.94 2 3 数与代数 代数运算的正确性判断（幂运算、合并同类项） √ 0.85 3 3 数与代数 实数在数轴上的性质与不等式判断 √ 0.85 4 3 图形与几何 平行线与角度计算 √ 0.85 5 3 统计与概率 频率与概率的关系分析 √ 0.85 6 3 数与代数 函数图象的实际应用（行程问题） √ O.94 7 3 图形与几何 扇形面积与几何变换 √ 0.75 8 3 数与代数 二次函数性质与几何综合（顶点、三角函数） √ 0.7 9 3 数与代数 一元二次方程根的判别式 √ 0.85 10 3 数与代数 反比例函数与几何面积关系 √ 0.85 11 3 图形与几何 三角函数实际应用（高度计算） √ 0.65 12 3 图形与几何 几何综合问题（旋转、等边三角形性质） √ 0.4 13 10 数与代数 实数运算与分式化简求值 √ 0.8 14 10 统计与概率 数据统计分析与概率计算（树状图或列表法） √ 0.7 15 8 数与代数 分段函数实际应用（水费问题） √ 0.65 16 11 图形与几何 圆的切线判定、相似三角形与线段长度计算 √ 0.5 17 12 图形与几何 几何变换与全等三角形、平行四边形判定 √ 0.4 18 13 数与代数 二次函数解析式、几何最值与平行四边形判定 √ 0.45 $ 2026年内蒙古自治区赤峰市九年级下册数学中考模拟试题 （考试时间：90分钟，满分：100分，考察范围：七年级上册—九年级下册） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1、由5个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，该几何体的三视图中面积相等的是（ ） A. 左视图与俯视图 B. 主视图与左视图 C. 主视图与俯视图 D. 主视图、左视图与俯视图 （第1题图） （第3题图） （第4题图） 2、下列计算正确是（ ） A. B. C. D. （原创）3、实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 4、一副三角板如图所示摆放，若直线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5、下图显示了用计算器模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面有三个推断： ①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616； ②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618； ③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620； 其中合理的是（ ） A. ① B. ② C. ①② D. ②③ 6、甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据图像信息，以上说法正确的是（ ） A. 甲和乙两人同时到达目的地； B. 甲在途中停留了0.5h; C. 相遇后，甲的速度小于乙的速度； D. 他们都骑了20km 7、如图，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧与弧所在圆的圆心都为点O，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8、在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c(c>0)与x轴交于A(x1，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，若BC=，则tan∠DAB的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9、若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________． 10、如图，为反比例函数图象上一点，过点作轴，垂足为，反比例函数图象交线段于点．若的面积为3，则的值为________． （第10题图） （第11题图） （第12题图） 11、如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡角为的山坡300米到达B点，再从B点爬坡角为的山坡200米到达山顶的C点（点B，C和直线AM在同一铅垂平面上），已知，求这座山高度 ． 12、如图，等边三角形ABC的边长为4， 点O是的中心， ∠FOG = 120°， 绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、 E两点，连接DE，给出下列四个结论:①OD= OE;②;③四边形ODBE的面积始终等于;④周长的最小值为6.上述结论中正确的有_________(写出序号) 三、解答题（共64分） （原创）13、（10分）计算：（1）． (2)先化简，再求值：，请从中选择一个合适的的值代入求值． 14、（10分）今年2﹣4月某市医院出现了100名流感患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗.图1是该医院轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图2是这三类患者的人均治疗费用统计图.请回答下列问题. （1）表示重症的扇形的圆心角的度数为 　 　； （2）所有患者的平均治疗费用是多少万元？ （3）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的A、B、C、D、E五位轻症重症危重症类型患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中B、D两位患者的概率. 15、（8分）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a元收费，超过10吨的部分，按每吨b元（b>a)收费．设一户居民月用水x吨，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）求a的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ （2）求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？ 16、（11分）已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求的长． 17、（12分）在和中，，，，与相交于点． （1）如图1，若，延长交于点，试判断否成立，并说明理由； （2）如图2，若，连接． ①求证：； ②延长交于点，连接．若，求证：． 18、（13分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，点的坐标为，，连接． （1）求该抛物线的解析式． （2）如图1，为线段上一点，连接，．当时，求点的坐标； （3）如图2，若点、在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的平行线交线段于点，过点作轴的平行线交线段于点，连接．当四边形的面积最大时，求证：四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区赤峰市九年级下册数学中考模拟试题 答案与解析 （考试时间：90分钟，满分：100分，考察范围：七年级上册—九年级下册） 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D B B D C D 1．A 【分析】本题考查简单几何体的三视图，熟知三视图的特点是解答的关键．根据简单几何体的三视图解答即可． 【详解】解：该几何体的三视图如图所示：    由三视图可知，面积一样的是左视图与俯视图， 故选：A． 2．C 【分析】根据合并同类项法则，负整数指数幂定义，积的乘方计算法则分别计算解答并判断． 【详解】解：A、2a与b不是同类项，不能合并，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算正确； D、，故原计算错误； 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，负整数指数幂定义，积的乘方计算法则是解题的关键． 3．D 【分析】先由数轴上a，b两点的位置确定a，b的取值范围，再逐一验证即可求解． 【详解】由数轴上a，b两点的位置可知-2＜a＜-1，0<b＜1， 所以a<b，a-1<b-1，故A选项错误； ab<0，故B选项错误； ，，所以 a+b<0，a-b<0，，故D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较、实数的运算等，根据数轴的特点判断两个数的取值范围是解题的关键. 4．B 【分析】根据平行公理及平行线的性质即可得答案． 【详解】过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵直角三角形，， ∴， ∴， 故选：B．    【点睛】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理． 5．B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键．根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误． 故选：B． 6．D 【分析】首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得乙出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用1.6小时到达离出发地20千米的目的地；甲比乙早到0.6小时出发，用1.5小时到达离出发地20千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断． 【详解】A选项：从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误； B选项：乙在出发0.5小时后，路程不增加，而时间在增加，故乙在途中停留了1-0.5=0.5h，故原说法错误； C选项：相遇后，甲直线上升得快，故甲的速度大于乙的速度，故原说法错误； D选项：根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了20km，故原说法正确； 故选D． 【点睛】考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 7．C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积和扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．根据图形得出、、都是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，再分别求出扇形，扇形，扇形和的面积即可． 【详解】解：，， ， 同理，， 由勾股定理得：， 阴影部分的面积 ， 故选：C． 8．D 【分析】利用勾股定理先求得点C的坐标为（0，2），再利用待定系数法求得抛物线的解析式，在Rt△ADH中，即可求得tan∠DAB的值． 【详解】解：连接BC， 在Rt△OBC中，OC=， ∴点C的坐标为（0，2）． 把B(1，0)，C（0，2）代入y=−x2+bx+c中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为y=−x2x+2， 令y=0，则−x2x+2=0， 解得：x1=-3，x2=1， ∴点A的坐标为（-3，0）． 则对称轴为直线x=-=-1，y=， ∴顶点D的坐标为（-1，）． 设对称轴与x轴交于点H， ∴AH=3-1=2， 在Rt△ADH中，tan∠DAB=tan∠DAH=， 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解直角三角形，解本题的关键是确定函数解析式． 二、填空题（每小题3分，共12分） 9．k＜1且k≠0． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（-2）2+4k>0，然后再求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝00有两个不相等的实数根 ∴k≠0且△=（-2）2+4k>0 解得：k＜1且k≠0． 故答案为：k＜1且k≠0． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根：当△<0，方程没有实数根． 10．2 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，根据即可求出k的值． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知： 的面积为：， ∵的面积为3， ∴的面积为：， 即：， 解得：， 故答案为：2． 11． 米 【分析】过点B作BD⊥AM于一点D，根据，设BD=x，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可；过点C作CE⊥BE于点E，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出CE的长，利用CE与BD的和得出山的高度即可． 【详解】解：过点B作BD⊥AM于一点D， ， ， ∴设BD=x，则， 米， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点B到直线AM的距离为米． 过点C作CE⊥BE于点E， ， ，米， 米， 这座山的高度米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义，作出辅助线是解题的关键． 12．①③④ 【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC=，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断． 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵点O是△ABC的中心， ∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30° ∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°， 而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°， ∴∠BOD=∠COE， 在△BOD和△COE中 ∴△BOD≌△COE， ∴BD=CE，OD=OE，所以①正确； ∴S△BOD=S△COE， ∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC==,所以③正确； 作OH⊥DE，如图，则DH=EH， ∵∠DOE=120°， ∴∠ODE=∠OEH=30°， ∴OH=OE，HE=OH=OE， ∴DE=OE， ∴S△ODE=•OE•OE=OE2， 即S△ODE随OE的变化而变化， 而四边形ODBE的面积为定值， ∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误； ∵BD=CE， ∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE， 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE= ， ∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确． 故答案为①③④ 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质． 三、解答题（共64分） 13．（10分）（1）； （2）， 【分析】（1）本题考查特殊三角函数值，负指数幂，0指数幂，绝对值的运算，根据，，及绝对值性质求解即可得到答案； （2）本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从, 中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）． 解：原式 …(2分) ． …(2分) （2） 解：原式 = = = …(1分) 或时，原分式无意义， ， …(2分) 当时，原式． …(1分) 14．(10分)（1）54° （2）2.15 （3）列表见解析， 【分析】（1）用360°乘以重症对应百分比即可； （2）先求出轻症患者、重症患者的人数和危重症患者的人数，再用加权平均数公式求出各种患者的平均费用即可； （3）根据题意列出表格，由表格求得所有等可能的结果与恰好选中B、D患者概率的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 （1）解：表示重症的扇形的圆心角的度数为360°×15%＝54°， 故答案为：54°； …(2分) （2）解：轻症患者的人数为100×80%＝80（人），重症患者的人数为：100×15%＝15（人），危重症患者的人数为：100﹣80﹣15＝5（人）， ∴所有患者的平均治疗费用＝＝2.15（万元）． …(3分) （3）解：列表得： A B C D E A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） …(3分) 由列表格可知：共有20种等可能的结果，恰好选中B、D患者的有2种情况， ∴P（恰好选中B、D）＝． …(2分) 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图、扇形统计图的应用．树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比． 15．（8分）(1)a=1.5,12元;(2)b=2,y=2x-5;(3) 居民上月甲用水16吨，居民乙上月用水12吨. 【分析】（1）由图中可知，10吨水出了15元，那么a=15÷10=1.5元，用水8吨，应收水费1.5×8元； （2）由图中可知当x＞10时，有y=b（x-10）+15．把（20，35）代入一次函数解析式即可． （3）应先判断出两家水费量的范围． 【详解】（1）a=15÷10=1.5． 用8吨水应收水费8×1.5=12（元）． …(2分) （2）当x＞10时，有y=b（x-10）+15． 将x=20，y=35代入，得35=10b+15．b=2． 故当x＞10时，y=2x-5． …(2分) （3）∵假设甲乙用水量均不超过10吨，水费不超过46元，不符合题意； 假设乙用水10吨，则甲用水14吨， ∴水费是：1.5×10+1.5×10+2×4＜46，不符合题意； ∴甲、乙两家上月用水均超过10吨． …(1分) 设甲、乙两家上月用水分别为x吨，y吨，则甲用水的水费是（2x-5）元，乙用水的水费是（2y-5）元， 则 解得： …(2分) 故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨． …(1分) 【点睛】本题主要考查了一次函数与图形的结合，应注意分段函数的计算方法． 16．（11分）(1)见解析 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线； （2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论； （3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=12，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可． 【详解】（1），， ， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 是的切线； …(3分) （2）连接AC，如图所示， ∵OF⊥BC， ∴， ∴∠CAE=∠ECB， ∵∠CEA=∠HEC， ∴△CEH∽△AEC， ∴， ∴CE2=EH•EA； …(3分) （3）连接BE，如图所示， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵⊙O的半径为10，cosA=， ∴AB=20，EA=AB•cosA=20×=16， ∴， ∵， ∴BE=CE=12， ∵CE2=EH•EA， ∴， 在Rt△BEH中，． …(5分) 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果． 17．（12分）(1)成立，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据等边对等角得出，进而可得三角形内角和定理得出，即可得出结论； （2）①过点作，交的延长线于点．根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； ②设，根据得出，证明，进而可得，根据相似三角形的性质得出，进而得出为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，成立， 理由如下：， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ． …(3分) （2）①证明：如图，过点作，交的延长线于点． ， 在中，， ， ， ． …(4分) ②证明：如图， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ， ． ， ∴为等边三角形， ， ， ， ． …(5分) 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正切的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（13分）(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图象及性质，二次函数最值问题． （1）根据题意求出，再将，代入中计算即可求得本题答案； （2）根据题意求出，再证明，继而得到，即可得到本题答案； （3）先求出直线BC的解析式，再设，继而表示出，再利用二次函数图象和性质及最值即可得到本题答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． 将，代入， 得解得， 该抛物线的解析式为； …(4分) （2）解：当时，． 解得，， ， ． ， ， ， ， 在和中， ， ． ， 点P的坐标为； …(4分) （3）证明：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， ∵点M的横坐标为m， ，， ∵点N的横坐标为， ，， ，， ， ， ， ． ， 当时，四边形的面积最大， 此时， ， ∵与都与y轴平行， ， 四边形是平行四边形． …(5分) 答案第16页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $