2025年中考数学专题训练——圆的切线的证明

2025年中考数学专题训练——圆的切线的证明 1．如图，在中，，以为直径的交于点D，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．如图，在中，，的平分线交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）． 3．如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点E，延长交于点F，连接． (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 4．如图，为的直径，为上一点，，交于，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 5．如图，中，，以为直径作交于点，过点作，垂足为． (1)求证：为的切线； (2)若半径为5，，求的长． 6．如图，四边形内接于，为直径，过点A作垂直交其延长线于点E，平分． (1)求证：是的切线： (2)若，，求的长． 7．如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且． (1)求证：为的切线； (2)连接，取的中点，连接．若，，求的长． 8． 如图， 中， ，以点为圆心，为半径作圆，交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法） ； (2)若（1）中所作的垂直平分线与边交于点，连接．求证：是的切线． 9．如图，点O为圆心，为半圆的直径，在上取一点C，延长至点D，连接，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为3，求的长． 10．如图中，，平分，交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 11．如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若半径为，，求的长． 12．如图，在中，，平分交于点，点在上，． (1)求证：是的外接圆的切线； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，，以为直径的与底边交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长．（结果保留π） 14．如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 15．如图，为的直径，点C在外，的平分线与交于点D，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若，求的长． 16．如图，在等腰中，，以为直径的与交于点，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：为的切线． (2)若的半径为，，则________． 17．如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点，过点作于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为5，则的长为________． 18．如图，是的直径，的半径为2，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求阴影部分的面积； (2)求证：与相切． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年1月25日初中数学作业》参考答案 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据是的直径，得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，，即可得出，即可证明是的切线． （2）根据勾股定理求出，在三角形中和三角形中根据勾股定理求出，即，求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 是的直径， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 于点， 又点在上， 是的切线． （2）解：，，， ， 在中，在中， ， ， 解得：， ，， 的半径为． 【点睛】此题重点考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 2．(1)直线与的位置关系是相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定定理、扇形面积、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，得出，即，即可得证； （2）设，则，由勾股定理得出，解直角三角形得出，再根据计算即可得解． 【详解】（1）解：直线与的位置关系是相切，理由如下： 如图，连接， ， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵为半径， ∴直线与相切； （2）解：设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明是的切线； （2）连接，延长交于点H，可证明四边形是矩形，由， ，，，得，，则，求得，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， 于点E， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：连接，延长交于点H， 是的直径， ， 由（1）知：， ∴四边形是矩形， ，， ∴， 是的半径，, ∴， ， ，，， ， ， ， ， 解得， ， ， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．(1)见解析； (2)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质可得，从而可证，即可得是的切线； 延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得，利用勾股定理可求，在根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：如下图所示，延长交于点， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 5．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据等边对等角的性质，推出，进而得到，即可证明得到结论； （2）证明和是等边三角形，从而得出，，再根据锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 为的切线； （2）解：半径为5， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ∴， ∴ ． 6．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，进而得出，证得，从而证得，即可证得结论； （2）过点O作，垂足为点F，从而证得四边形是矩形，得出，证明，求出，在中，求出，再证明，推出，即可求得的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：过点O作于F． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的直径， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． （1）连接，．由，，可得，由是的直径，是的中点，，进而可得，即可证明为的切线； （2）连接，过作，垂足为．利用相似三角形的性质求出，设的半径为，则．在中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，是的中点，则， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴为的切线． （2）解：如图，连接，过作，垂足为． ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，解得， 设的半径为，则． 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵为中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 8．(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆的有关性质、线段的垂直平分线的作法与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质和圆的切线的判定定理，掌握作图方法和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的基本作图的作法解答即可； （2）连接，利用线段垂直平分线的性质可得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可． 【详解】（1）作图如下：即为线段的垂直平分线． （2）证明：连接，如图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． 9．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了切线的判定，切线长定理，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，根据等边对等角得出，结合已知可得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据切线的判定和切线长定理得到，在中，根据勾股定理得到，在中，根据勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴是的切线， 又是的切线， ∴， 在中，，，， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， 解得， 即． 10．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由平分，可知，易证，所以，所以，由于，所以，从而可证直线是的切线； （2）根据含30度角的直角三角形性质可求出的长度，然后求出的度数，然后根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 直线是的切线； （2）解：由，，， 得：，，， ， ， ， ， 由，得， ． 【点睛】本题考查圆的切线的判定，涉及角平分线的性质，平行线的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，扇形面积公式等，需要学生灵活运用所学知识． 11．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）根据题意得，，结合正弦函数得出，，求出，则，根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵半径为3， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 12．(1)见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由，根据圆周角定理可得为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心，再证明，根据平行线的性质得到，于是可根据切线的判定定理判断即可求解． （2）设的半径为，根据勾股定理求得，根据平行线分线段成比例定理来求解． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图， ， ， 为的外接圆的直径，点为的外接圆的圆心． 平分， ． ， ， ， ， ， ， 是的外接圆的切线． （2）解：设的外接圆的半径为 在中， ， 即， 解得． ， ， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，也考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，圆周角定理． 13．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键． （1）首先连接，由圆周角定理得出，再由等腰三角形的性质确定，利用三角形中位线的性质及切线的判定即可证明； （2）由等腰三角形的性质求解 再利用圆周角定理得出 ，结合 由弧长公式直接求解的长即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为直径， ∴， 即， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵D点在上， ∴为的切线； （2） ． 14．(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，根据等边对等角得出，推得，根据内错角相等，两直线平行得出，根据两直线平行，同位角相等得出，即可证明； （2）设半径为r，根据勾股定理可得，据此列出方程，解方程求出r即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，    ∵点E是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又于点C， ∴于点E， ∵是的半径， ∴为的切线 （2）解：设半径为r， 在中，， ∴（， 解得： 即⊙O的半径为2.5． 15．(1)相切，见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形： （1）连接，则，等边对等角得到，角平分线得到，进而得到，推出，得到，即可得出结论； （2）直径所对的圆周角为直角，得到，易得，根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． （2）∵是的直径， ∴， ∵ ∴，     又∵在中， ， ∴． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得，连接，证为的中位线，则，从而得到，即可证明； （2）先根据等腰三角形的性质可得，由，和度所对的直角边为斜边的一半，可得，再根据勾股定理可得的值，最后由，可得的值． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴， ∵， ∴； 连接，如图， ∵，， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴为的切线； （2）解：∵，，， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴，即 解得：． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，度所对的直角边为斜边的一半，等腰三角形的性质，中位线，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接、，由是直径，可得，则，是的中位线，，由，可得，进而结论得证； （2）由题意知，，由是等腰三角形，且，可得，由勾股定理得，利用等积法，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径是5， ∴， ∵是等腰三角形，且， ∴， 由勾股定理得， ∵，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，中位线定理，切线的判定，勾股定理等知识．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 18．(1) (2)见详解 【分析】（1）根据已知条件，易证是等边三角形，继而求出的面积和扇形的面积，即可求解； （2）根据等边三角形的性质，易证，继而证明，即可证得与相切． 【详解】（1）解：M是的中点，， 为的垂直平分线， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 阴影部分的面积； （2）由（1）知是等边三角形，, ， 又， ， ， ， ， ， 是半径， 与相切． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等边三角形的性质，扇形的面积公式，平行线的判定定理和性质定理，切线的判定定理等知识点，熟练掌握并灵活应用这些性质和定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$