第四节基本不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

第四节　基本不等式 知识清单 1.基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：________________． (2)等号成立的条件：当且仅当 ________时取等号． 剖析　a2＋b2≥2ab成立的条件与≥ 成立的条件不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a∈R，b∈R，而≥ 成立的条件是a>0，b>0． 2．算术平均数与几何平均数 正数a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的____________不小于它们的几何平均数，当两个正数相等时，两者相等． 3．利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0. (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值________(简记：积定和最小)； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值________(简记：和定积最大)． 注意　应用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正”“二定”“三相等”． 【常用结论】 如果a>0，b>0，则，当且仅当a＝b时等号成立，其中是a，b的调和平均数， 是a，b的平方平均数． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　) (2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　) (3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.(　　) (4)函数y＝sin x＋，x∈(0，)的最小值为4.(　　) 2．(人教A版必修一P46T3改编)当x＝________时，x2＋取得最小值，最小值是________． 3．(人教A版必修一P45例1改编)已知x<0，则x＋的最大值为________． 4．(人教A版必修一P48练习T3改编)做一个体积为32 m3，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为________m时，用纸最少． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　基本不等式的常见变形 例1 (2025·北京卷)已知a>0，b>0，则(　　) A．a2＋b2>2ab B． C．a＋b> D． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　[源自北师大版必修一P45T1(4)]已知a>b>0，则下列不等式成立的是(　　) A．a>>>b B．a>b>> C．a>>b> D．a>>>b 笔记：基本不等式的常见变形 (1)ab≤()2≤； (2)(a>0，b>0)． 命题点二　利用基本不等式求最值 考向1　直接法求最值 例2 已知x，y为正数，则的最小值为(　　) A．4 B．3 C．3 D．2 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：若已知条件中的变量直接满足“积为定值”或“和为定值”(或变形后为定值)，且变量均为正数，在保证等号成立的前提下，可以直接利用基本不等式求最值． 　跟踪训练　(2026·保定二模)已知x，y是非零实数，则的最小值为(　　) A．6 B．12 C．2 D．4 考向2　配凑法求最值 例3 (2026·郴州模拟)已知x<－1，则4x＋的最大值为(　　) A．－4 B．0 C．4 D．－8 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：配凑法就是将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法，配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 　跟踪训练　已知－3<x<0，则y＝x的最小值为(　　) A．－ B． C．－ D．不存在 考向3　常数代换法求最值 例4(2026·豫北多校模拟)若a>0，b>0，且a＋b＝1，则－的最大值为(　　) A．－9 B．－7 C．－5 D．－3 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，将“1”代入后再利用均值不等式求最值．一般地，形如或可化为：已知＝k(k≠0)，求ma＋nb(mn≠0)的最值；已知a＋b＝k(k≠0)，求(mn≠0)的最值，常用此法． 　跟踪训练　(2026·合肥模拟)已知正数a，b满足＝1，则a＋2b的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 考向4　换元法求最值 例5 已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：当已知的条件式中既含有和式又含有积式，求和式或积式的最值时，往往把所求的式子看作一个整体进行换元，用基本不等式转化为换元后的不等式求解即可． 　跟踪训练　已知a>0，b>0，ab＝9a＋b＋7，则ab的最小值为________． 命题点三　基本不等式的实际应用 例6 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价 20元．试求： (1)仓库面积S的取值范围是多少？ (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？ [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 笔记：利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，建立数学模型，求出目标函数的表达式，再利用基本不等式求得函数的最值． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P49T6)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元．这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？ 提示：请完成课时作业4 第四节　基本不等式 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)a＞0，b＞0　(2)a＝b 2．算术平均数 3．(1)2　(2) 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．解析：∵x2>0，∴x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝±1时取得最小值． 答案：±1　2 3．解析：∵x<0，∴－x>0，∴x＋＝－＝－2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立． 答案：－2 4．解析：设长方体的底面长为x m，则宽为(m)，所以长方体的表面积为S＝2＝32＋4≥32＋4×＝64，当且仅当x＝，即x＝4时取“＝”，此时用纸最少为64 m2，所以底面的长与宽都为4 m时用纸最少，为64 m2. 答案：4 考教衔接·活用教材 例1　解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；对于BD，取a＝，此时＝2＋4＝6<＝8＝，＝2＋4＝6>＝＝，故BD错误；对于C，由基本不等式可得a＋b≥2>，故C正确．故选C. 答案：C 真题探源　解析：∵a>b>0易知>，又∵ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2⇒>b，∴a>>>b.故选A. 答案：A 例2　解析：由x，y均为正数，则，当且仅当，即y＝x时取等号，故的最小值为2.故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：＝6，当且仅当＝的最小值为6.故选A. 答案：A 例3　解析：因为x<－1，则x＋1<0，所以－(x＋1)>0，4x＋＝4(x＋1)＋－4＝－－4≤－2－4＝－4－4＝－8，当且仅当－4(x＋1)＝时，即x＝－时，等号成立，所以4x＋的最大值为－8.故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：由于－3<x<0，则9－x2>0，故y＝＝＝，当且仅当x2＝，即x＝－时取等号，即y＝的最小值为－.故选A. 答案：A 例4　解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以＝(a＋b)＝5＋＝9，当且仅当，即a＝时等号成立，所以－的最大值为－9.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析：由题意得a＋2b＝(a＋2b)＝1＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当时，即a＝3，b＝3时，a＋2b取得最小值9.故选D. 答案：D 例5　解析：因为2xy＝x·(2y)≤2，所以8－(x＋2y)＝2xy≤，令x＋2y＝t>0，则8－t≤，即t2＋4t－32≥0，解得t≥4，所以x＋2y的最小值为4. 答案：4 跟踪训练　解析：ab－7＝9a＋b≥2，令＝t>0，则t2－7≥6t，即t2－6t－7≥0，解得t≥7，所以≥7，即ab≥49，所以ab的最小值为49. 答案：49 例6　答案：(1)设正面铁栅长度为x m，一堵砖墙长度为y m，故S＝xy， 则40x＋2×45y＋20xy＝3 200，即40x＋90y＝3 200－20xy. 由基本不等式得40x＋90y≥2＝120， 故3 200－20xy≥120，即3 200－20S≥120，当且仅当40x＝90y，即x＝15，y＝时等号成立， 故≤0. 因为＋16>0，故－10≤0，S≤100， 由于面积大于0，故0<S≤100. 答案：(2)由(1)可知，当x＝15，y＝时，S取得最大值，最大值为100 m2， 此时花费40×15＋90×＋20×100＝3 200(元)，满足要求， 故正面铁栅的长应设计为15 m． 跟踪训练　解析：设y1＝，y2＝tx， 当x＝10时，＝2，10t＝8， ∴k＝20，t＝0.8， ∴y1＝，y2＝0.8x， ∴两项费用之和为z＝y1＋y2＝＋0.8x≥2 ＝8， 当且仅当＝0.8x，即x＝5时等号成立． 即这家公司应该把仓库建在距离车站5 km处，才能使两项费用之和最小，且最小费用为8万元． 学科网（北京）股份有限公司 $