1.4 基本不等式-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

(2)A,B,C,D四名学生的年龄关系如下： A,C的年龄之和与B,D的年龄之和相同， C,D的年龄之和大于A,B的年龄之和，B 的年龄大于A,D的年龄之和，则A,B,C,D 的年龄关系是 A.B>C>A>D B.B>C>D>A C.C>B>A>D D.C>B>D>A 规律方法 利用不等式的性质求代数式的取值范围时 应注意： (1)必须严格运用不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大 变量的取值范围，解决途径是先建立所 求范围的整体与已知范围的整体的等量 关系，然后通过“一次性”不等关系的运 算求解范围. §1.4 基 ★[考试要求] 1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等 际问题中的应用. 复盘>必备知识 必备知识掌握 1.基本不等式：wab≤a十b 2 (1)基本不等式成立的条件： (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等 号成立 (3)其中叫做正数a,6的 √ab叫做正数a,b的 2.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数，如果积xy等于定值P, 那么当x=y时，和x十y有最小值 (2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值 S,那么当x=y时，积xy有最大值 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“ 正、二定、三相等” ·9 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跟踪训练 1.[多选]已知2<x<3,2<y<3,则() A.6<2x+y<9 B.2<2x-y<3 C.-1<x-y<1 D.4<xy<9 2.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的 “屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参 数，其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机 的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数 量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏 占比”和升级前比有什么变化 A.“屏占比”不变 B.“屏占比”变小 C.“屏占比”变大 D.变化不确定 C温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关3 本不等式 解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实 打通教材逐点夯实 知识拓展用活 几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R). (22+号≥2a6同号). (3)ab≤ 以上不等式等号成立的条件均为a=b. 自主诊断查验 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√” 或“X”) (1)函数y=x十1的最小值是2. 高考总复习数学 (2)ab≤ a+b)1 2 成立的条件是ab>0.() (3)“x>0且y>0”是“工+义≥2”的充要 y 条件. ( (4)若a>0,则a3+的最小值是2a ( 跃升>关键能力 题型1 利用基本不等式求最值 ●[角度1]配凑法 [例1-1] (1)函数f(x)=+3的最小值 x-1 为 (2已知0<<写，则-27的最大值 2 为 ●[角度2]常数代换法 [例1一2][多选]已知a,b为正实数，且a> 1,b>1,(a-1)(b-1)=1,则 () A.ab的最大值为4 B.2a十b的最小值为3十2√2 C.a+b的最小值为3-2√2 D。十6的最小值为2 [角度3]消元法 例1-3巴知x>2,则2的最小 值为 A.6 B.10 C.12 D.14 (2)设正实数x,y,之满足x2-3xy十4y2-之 =0,则当取得最大值时，2+1-2的最 y 大值为 A.9 B.1 c D.3 2已知>1.则x+的最小值为() A.2 B.3 C.4 D.5 3.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y的最小 值为 4.(2025·上海卷)设a,b>0,a十方-1，则6+ 的最小值为 a 核心考点分类突破 规律方法 基本不等式求最值的常用方法 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、 和为常数的形式，然后再利用基本不 等式 (3)条件最值的求解通常有三种方法：一配 凑法；二将条件灵活变形，利用常数“1” 代换的方法；三消元法： 1跟踪训练 1.[多选]设正实数a,b满足a+b=1,则 () A日+有最小值4 B历有最小值号 C.√a+√b有最大值/7 D.。+有最小值号 2.已知a>>0,则名的最小值为门 A.2 B.1+2√2 C.4 D.2+2√2 题型2利用基本不等式求参数的值或取值范围 [例2] (1)若正实数x,y满足x+y=3,且 不等式是+8>m2-2m十3恒成立，则实数 y m的取值范围是 A.{m|-3<m<1} B.{mm<-3,或m>1} C.{m|-1<m<3} D.{mm<-1,或m>3} (2)若两个正实数x,y满足4x十y=2xy,且 不等式x十义<m2一m有解，则实数m的取 4 值范围是 A.(-1,2)》 B.(-∞，-2)U(1,+∞) C.(-2,1) D.(-∞，-1)U(2,+∞) 规律方法 利用基本不等式求参数的值或取值范围的 方法 (1)根据基本不等式等号成立的条件，求参 数的值或取值范围 (2)转化为求最值问题，利用基本不等式 求解. 日跟踪训练 已知正数x、y满足(x一1)(y一2)=2，不等 式3x+2y>m恒成立.则实数m的取值范 围是 A.(-∞，4十6√2) B.(6+4√2，+∞) C.(-∞，7+4√3) D.(8+4√3，+∞) 题型3〔基本不等式的实际应用 [例3]数字经济是以数据资源为关键要素， 以现代信息网络为主要载体，通过信息通信 技术的融合应用推动全要素数字化转型的 新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计 算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新 兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制 造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有 一人工智能企业生产制造人形机器人，每月 ·11 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 的成本t(单位：万元)由两部分构成：①固定 成本1000万元：@材料成本(10x+司)万 元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少个时，平均每个 人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为(23+号)万 元，假设生产出来的每个人形机器人都能够 售出，则该企业应如何制订生产计划，才能 确保每月的利润不低于400万元？附：利润 =售价×销量一成本. [尝试解答] 高考总复习数学 规律方法 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题建立函数的解析式，再利 用基本不等式求得函数的最值 (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的 变量定义为函数， (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意 义及其取值范围. (4)在应用基本不等式求函数最值时，若等 号取不到，可利用函数的单调性求解. !跟踪训练 经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每 小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为 1 75 x2-130x+4900),x∈[50,80)， y 12-60x∈[80,120]. (1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每 小时耗油量最低？ (2)已知A,B两地相距120km,假定该型 号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度 为多少时总耗油量最少？ ·12 C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关4 [热点强化课1 1.三个正数的算术一几何平均不等式 如果a,b,c∈(0，十∞)，那么a+b+c≥ ,当且仅当 时，等号成立 2.n个正数a1,a2,…am的算术一几何平均 不等式 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平 均数 它们的几何平均数，即 a,十a2十…+an≥ n 当且仅当 时，等号成立 [典例][多选]三元均值不等式：“当a,b,c 均为正实数时，a十b十c≥ahc,即三个正数 3 的算术平均数不小于它们的几何平均数，当 且仅当a=b=c时，等号成立.”利用上面结 论，判断下列不等式成立的是 A若x>0,则+三≥3 B.若0<<1，则2(1-x)≤号 培优拓展2 1.二维形式的柯西不等式 (a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a,b,c,d∈ R,当且仅当ad=bc时，等号成立). 2.二维形式的柯西不等式的变式 (1)√a+b·√c2+d≥|ac+bd|(a,b,c,d∈ R,当且仅当ad=bc时，等号成立). (2)a+b·√e2+d≥|ac|+|bd|(a,b,c,d ∈R,当且仅当ad=bc时，等号成立). (3)(a+b)(c+d)≥(ac+√bd)2(a,b,c,d≥ 0,当且仅当ad=bc时，等号成立). 3.二维形式的柯西不等式的向量形式 |a·B≤a|B|(当且仅当B是零向量，或 存在实数k,使α=时，等号成立) [典例]已知x,y∈R,3x2+2y2≤6，求2x十 y的最值. [尝试解答] 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 ]基本不等式的拓展 C.若x>0,则2x+>3 D.若0<1，则x1-x)≤日 名师点拨 (1)利用三个正数的算术一几何平均不等式 定理求最值，可简记为“积定和最小，和 定积最大” (2)应用算术一几何平均不等式定理，要注 意三个条件即“一正二定三相等”同时具 备时，函数方可取得最值.其中定值条件 决定着平均不等式应用的可行性，获得 定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、 分离常数、平方变形等 (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时， 求函数的最值可考虑利用函数的单调性. 跟踪训练 若实数x,y满足xy>0,且xy=2,则xy十 x2的最小值是 A.1 B.2 C.3 D.4 柯西不等式 名师点拨 掌握柯西不等式及其变式的结构，常用巧拆 常数、重新安排某些项的次序、改变结构、添 项等方法。 跟踪训练 设a=(1,-2),b=(x,y),若x2+y2=16, 则a·b的最大值为 13高考总复习数学 题型2 [例2](1)[解析]因为a<b<0,cd<0,所以a十c< b十d,故选项A正确；因为-a>-b>0,一c>-d>0, 所以ac>bd,故选项B正确；因为-c>一dD0,-1>0, 所以d<C,故选项C错误；因为一a>一b>0,所以 a2>ab,ab>b,所以a2>ab>b,故选项D正确. [答案]C (2)[解析]对A,因为a>b>0,故a>ab故A正确； 对B,a>6>0,1+日<1+名，即0<1<2. a a b· “异>名B正确； b 对c,令a=1,6=是a+b+hao)=1+日+ln日- <2,C错误： 对D,易得y=x-1(x>0)为增函数，且a>b>0,故 >6合故D正鸡， aa [答案]ABD 跟踪训练 1.C[因为a,b,c,d∈R,所以 对于A,不妨令a=1,b=-1,则有a>b,但2=2>-2 =号，故A错误：对于B,令c=0,则虽有a>b,但a2 bc=0,故B错误；对于C,因为c<d,所以一c一d, 又ab,所以两式相加得a一c>b一d,故C正确； 对于D,不妨令a=c=1,b=d=-1,则有a>b,c>d, 但ac=bd=1,故D错误.] 2.BCD[对于A,取Q=4,b=2,c=2,d=1,则g=b 2,A错误；对B,由a>b>0,c>d>0,则a十c>b十d, 则有a(a十c)>b(b十d),故B正确； 对C,由a>b>0,c>d>0,则ac>bd, +1+ c 等价于9>么，等价于ac>bd,即C正确； d c 对D,由a>b>0,c>d>0,则生d=+c+d-g bc b+c =1+导 a+d=+c+d-S=1+dS,即什d<+等价于 a十c a十c a十c" b+ca十c d-c-d-c b+ca+c' 由d0即等价于>等价于a叶≥+ 即a>b,故D正确.门 题型3 [例3](1)[解析]对于A,因为ac>bc,不等式两边同 除以c(c>0),可得a>b,故A正确； 对于B,因为1b3,所以一6-2b-2,又-2a4, 所以-8<a一2b<2,故B正确； 对于C,因为Qb>0,所以0<。<方，又m<0, 所以四>安，故C不正南； a ·36 对于D,令a-2b=x(a十b)+y(b-2a)=(x-2y)a +(x十y)b, 园经每释化}以。一-a+ -(b-2a), 因为-2<a十b<4,所以-4<-（a十b)<2, 因为1<b-2a<3,所以一3<-(b-2a)<-1, 所以一7<a-2b1,故D不正确. [答案]AB (2)[解析]为简便起见，复用A,B,C,D表示A,B,C,D 四个同学的年龄，则A>0,B>0,C0,D>0. 则：A十C=B十D①，C十D>A十B②，B>A十D③. ①十②得C>B,①十③得C>2D,②十③得C>2A, 由于A>0,D0,故由③得B>A,B>D, 由①得C-B=D-A,C>B,.C-B>0,.D-A>0, .D>A. 综上C>B>D>A. 「[答案]D 跟踪训练 1.ACD[由已知得，4<2x<6,-2>-y>-3, 对于A,由4<2x6和2<y3,得到6<2x十y<9, A正确：对于B,由4<2x<6和-3<-y<-2,得到 1<2x-y<4,故B错误；对于C,由2<x<3,-3<-y <-2,得到-1<x-y<1,C正确；对于D,由2<x<3, 2<y<3,得到4<xy9,D正确. 2.C[设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,则屏占比为 (a>b),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的 a 数童为mm>0,升级后屏占北为—是“a>6小牛 a十m 五=b十am一abb伽_a一b)m>0,即该手机“屏占比"和 a a(a十m) a(a十m) 升级前比变大.] §1.4基本不等式 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)a>0,b>0(2)a=b(3)算术平均数几何平均数 212D(2)s 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.B[因为x>1,所以x-1>0, 所以，x十1 21=(x1)x1+1≥2x-1)·1 x-1 十1=3，当且仅当x二1=1时等号成立，即z=2时等 号成立， 所以，十的最小值为3.] 3.解析：xy=1,.x2+2y≥2√·2y=2V2·√xy) =22,当且仅当x=2y,xy=1时，等号成立. 答案：2√2 4.解析：a>0,b>0,a十方=10<a<1.6>1, a=1古-分>0 6+日=b名-1+6+222√D() 2=4. 当且仅当)=b1,即6=2a=合时，等号成立 答案：4 64 跃升·关键能力题型1 [例1-1门(1)[解析]画数(x)=中3的定义城为 √x-1 1,+∞)，f(x)=-1)±4=V-+4≥ V-T √x-I 2 .4=4,当且仅当可=4 -I √- 即x=5时取等号，故当x=5时，f(x)取得最小值，且最 小值为4. [答案]4 (2[解析]图为0<1<号，所以1-2>0， x-2证=9.2x·-2z≤9.2江+)-2远 2 2 2 -,当且仅当2x=1-2x2,即x=号时等号成立. 4 [答案] 4 [例1-2][解析]对于A,,(a-1)(b-1)=1, .,ab=ab, 因为ab=a十b≥2√ab,√ab≥2，ab≥4（当且仅当a=b =2时取“=”)， 所以ab的最小值为4，A错误； 对于B,由ab=a+6,得日+方-=1,2a十6=(2a十b) (日+）3+会+台≥3-2（当里仅当a=1+9。 21 b=1十√2时取“=”)，B正确： 对于Ca+6=a+创（日+号）2+台+云≥4（当里 a 仅当a=b=2时，取“=”)，C错误； 对子D.:a-1)6-1)=1.“十六≥ 2√a-6-元=2（当且仅当a=b=2时，取“=”）， D正确. [答案]BD [例1一3](1)[解析]因为x>2,令t=x一2(t>0),则 x=t+2, 所以=2)5_+4士=4+号+4≥ x-2 t t +4=10… 当且仅当1=？，即=3时，等号成立， 所以室x=十2-5时，艺>10故艺的最小位 为10. [答案]B (2)[解析]x2-3xy十4y2-=0, 之=x2-3xy十4y,又x,y,之均为正实数， ..Zy=_ 2=-3y+4y+4y-3 ≤ =1 ×-3 (当且仅当x=2y时取“=”)， (任)=1克时=20 ·36 参考答案 .x=x-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2, y 当且仅当y=1时取得“=”，满足题意. 2十兰的漾大值为1 [答案]B 跟踪训练 1.AD[对于A,正实数a,b满足a十b=1, 所以+=(a+)(日+)=2+是+≥2+ 2g=4 当且仅当a=b=之时取等号，A正确： 对于B因为V历<宁=分，当且仪当。=6=合时取 等号， 此时√历取得最大值号B错误： 对于C后+≤2X受-瓜，当且仅当a=b=号时 取等号，C错误； 对于D,a2+b≥2X (）=，当且仅当a=6= 入y 时取等号，D正确.] 2D[由a>b>0,得号>1，令号=>1， 则8--)1中2=-1+，名十 ab-6=t-1 t-1 222-0吾+2=2+20， 当且红省11=片甲1=1中时取华子， 所以十的最小值为2+2厄.] ab-b 题型2 [例2](1)[解析]因x十y=3, =6 当且仅当2型=8时取等号， x y 即当=1y=2时是十兰取得最小位6 因不等式是十号>时-23板成立，故d-2m十36. y 即m2-2m-3<0,解得-1<m<3. [答案]C (2)[解析]由两个正实教x,y满足4x十y=2xy, 得+=2 则x+￥=（任+号）(+学) =(++)≥(-停·)2 当且仅当号=岩即y=4红=4时取等号， 由不等式x十十<m-m有解，得m-m>2,解得m< -1或m>2, 所以实数m的取值范围是（一∞，一1）U(2,十∞). [答案]D 65 高考总复习数学 跟踪训练 C[因为(x-1)(y-2)=2,x0,y0, 所以xy=2x+y,即1+2=1， 所以由基本不等式可得3x十2y=(3x十2y) (仕+）+2+号≥+3区乎=+45 y 等号成立当且仅当 2y=6x x y x=1+2③ x>0,y>0 3 (x-1)(y-2)=2 (y=2+√5 综上所述，3x十2y的最小值为7十4√. 因为不等式3x十2y>m恒成立， 所以实数m的取值范围是（一∞，7十4√3）.] 题型3 [例3][解](1)设平均每个人形机器人的成本为y万 元，根据题意有y 100+10x+色_100+六+102 x 0·六+10=30， 当且仅当1000x 工=。，即x=100时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器 人的成本最低，最低为30万元： (2)设月利润为W万元，则有w=x(23十号）-1000 10x-品-6-18x-100, 由题知后+13x-100≥400，整理得2十130x 140000,解得x≥70. 所以该企业每月生产不少于70个人形机器人，才能确 保每月的利润不低于400万元. 跟踪训练 解：(1)当x∈[50,80)时，y=方(x-130x十490) 完[x一65十675]，当x=65时，y有最小值，为方× 675=9,当x∈[80,120]时，函数y=12-需单调递减， 故当x=120时，y有最小值，为10.因为910，所以该 型号汽车的速度为65km/h时，每小时耗油量最低. (2)设总耗油量为1，由题意可知1=y.120 当e[5080)时1=y…20-号(+400-130）≥ 音(2√X4-130）=16,当且仅当x=490,即 8 x=70时，1取得最小值，最小值为16；当x∈[80,120] 时，1=y·120=1440-2为减函教，故当x=120时， x x 1取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为 120km/h时，总耗油量最少. 热点强化课1基本不等式的拓展 1./abca=b=c2.不小于a1a…an a1=a2==a [典例][解析]对于A,x>0,x2+2=x2+1十1≥ 7”7 32·王=3故A正确对于B0x1, ·36 1-x>0,x2(1-x)=2x·x·(2-2x)≤ 1 2+1 于D,0<<11-z>0x1-)=含×21-） 0-≤号(11二)京故D特说. 4 3 [答案]AC 跟踪训练 1 -. 培优拓展2柯西不等式 [典例][解]方法一由柯西不等式得 2x+<[w+w[)-(后)] =8x+2(停+)山 当且仅当√x· 2 x=4① x=-4 11 11 即 时等号成立， [y= 31 3√11 11 y= 11 于是2x十y的最大值为√I,最小值为-√I. 方法二由柯西不等式得2x十y≤ √(W3x)2+(W2y)2 )+ 当且仅当√3x· 、2 31 4Π x=- 4√ x= 即 11 11 时等号成立， 3√11 11 y=-3 11 于是2x十y的最大值为√1I,最小值为-√11. 跟踪训练 解析：a=(1,-2),b=(x,y), .a·b=x-2y. 由柯西不等式的向量形式可得 [1+(-2)2](x2+y2)≥(x-2y), 即5×16≥(x-2y)2, ∴.-45≤x-2y≤4√5，(*) 当且仅当b=a, =4 x= 即 51 时，(*)式中右边等号成立， y=-85 5 = 45 5 或 时，(*)式中左边等号成立， 5 =-85时a6的最大位为4后 当x=45 5 答案：4√5 66