精品解析：2026年山西忻州市繁峙县繁城中学等校中考一模数学试题

数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的绝对值是（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 2. 如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的基本运算，根据合并同类项法则，积的乘方法则，单项式除以单项式法则，分式的乘方法则，对各选项分别计算即可判断． 【详解】解：对选项A，∵合并同类项时，系数相加减，字母及指数不变， ，A错误； 对选项B，∵积的乘方等于各因式乘方的积，负数的偶次幂为正数，，B错误； 对选项C，∵单项式除以单项式，系数相除，同底数幂底数不变指数相减，，C正确； 对选项D，∵负数的奇次幂为负数，分式乘方需分子分母分别乘方，，D错误． 4. 2026年1月15日，记者从国家电网公司获悉，“十五五”期间，国家电网公司固定资产投资额预计为4万亿元，较“十四五”投资额增长．数据“4万亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】∵ 1万，1亿， ∴ 4万亿元元元， 故选：C． 5. 某早餐店提供包子、油条、烧麦三种早点，以及豆浆、牛奶两种饮品．该早餐店为一家公司配送早餐套餐，每份套餐包含一种早点和一种饮品，且所有搭配可能性完全相同．员工小梁某天打包第一份套餐时，随机选择一种早点，再随机选择一种饮品，则第一份套餐恰好是包子配豆浆的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好是包子配豆浆的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 牛奶 豆浆 包子 （包子，牛奶） （包子，豆浆） 油条 （油条，牛奶） （油条，豆浆） 烧麦 （烧麦，牛奶） （烧麦，豆浆） ∵一共有6种等可能的结果，其中恰好是包子配豆浆的情况有1种， ∴P（恰好是包子配豆浆）． 6. 如图，在中，，，点是上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若，则的度数为（ ） A. 35° B. C. D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和的性质以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关性质，设，利用方程的思想来求解． 根据三角形内角和的性质可得，再由可得，设，则，由折叠的性质可得，，再根据，列方程求解即可． 【详解】解：在中，，，则， ∵， ∴，则， 设，则， 由折叠的性质可得，， 由题意可得，，即，解得， C选项符合题意． 7. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算判别式的值并判断符号，即可确定方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ∵二次项系数为，一次项系数为，常数项为 ∴根的判别式 ∵对任意实数，都有 ∴ ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 9. 硫酸钠是一种重要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂、洗衣粉，起到软化水质、增强洗涤效果的作用．硫酸钠的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的函数关系可用如图所示的图象来刻画，则下列说法正确的是（ ） A. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 B. 时，硫酸钠溶液中含硫酸钠 C. 溶解度为时，的取值范围是 D. 时，水中最多溶解硫酸钠 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象对应的横坐标和纵坐标以及图象的增减性解答即可． 【详解】解：A选项、由图象可知，当 时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，当 时，硫酸钠的溶解度随着温度的升高而减小，当达到大约时，硫酸钠的溶解度不再随着温度的变化而变化，故A选项错误； B选项、当时，硫酸钠溶液中最多含硫酸钠，故B选项错误； C选项：由图象可知，当 时，硫酸钠的溶解度已经达到，故C选项错误； D选项：由图象可知，当 时，硫酸钠的溶解度为 ，所以时，水中最多溶解硫酸钠，故D选项正确． 10. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分面积=平行四边形的面积-扇形的面积-扇形的面积．先求出平行四边形的高，计算平行四边形面积；再根据平行四边形性质求出的度数、扇形半径，分别计算两个扇形面积，进而求解阴影面积． 【详解】解：过点作于点， 在中，，， ， 平行四边形面积底高，， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， 由题意：，，， 扇形：圆心角，半径，， 扇形：圆心角 ，半径，， ． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个圆片组成，第1个图案中有白、黑圆片共2个，第2个图案中有白、黑圆片共6个，第3个图案中有白、黑圆片共12个，第4个图案中有白、黑圆片共20个，……，依此规律，第个图案中有白、黑圆片共 __________（用含的代数式表示）个． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给图案，依次求出白、黑圆片的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵第1个图案中有白、黑圆片共：个， 第2个图案中有白、黑圆片共：个， 第3个图案中有白、黑圆片共：个， 第4个图案中有白、黑圆片共：个， …， ∴第个图案中有白、黑圆片共：个． 13. 在农业生产中，常见的半矮秆小麦，株高较高且生长整齐的品种更适合大规模推广种植．为了解甲、乙、丙、丁四个品种半矮秆小麦的株高情况，科研人员从这四个品种中各随机抽取100株小麦植株，在同等条件下进行试验，统计结果如下表： 半矮秆小麦品种 甲 乙 丙 丁 平均株高/cm 72 75 75 73 方差 根据表中数据分析，最适合推广种植__________（从“甲”“乙”“丙”“丁”中选择）品种半矮秆小麦． 【答案】丙 【解析】 【分析】根据题意，需选择平均株高较高且株高更整齐的品种，利用平均数反映平均株高水平，方差反映株高的波动程度，方差越小数据越整齐，先比较平均数，再比较方差即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，最适合推广的品种需满足平均株高更高且方差更小（株高更整齐）． ∵四个品种的平均株高： ， ∴乙和丙的平均株高最高． ∵乙和丙的方差： ，方差越小，数据波动越小，株高越整齐， ∴丙品种的株高更高且更整齐． 14. 已知点A（-2，），B（1，），C（3，）都在反比例函数的图象上，则，，间的大小关系为______.（用“”连接） 【答案】a＜c＜b 【解析】 【分析】反比例函数y=(k≠0,k为常数)中当k>0时,双曲线在第一,三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小;k<0时,双曲线在第二,四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.根据这个判定则可. 【详解】解: 反比例函数,＞0, 因为＞0,点B,C同象限,y随x的增大而减小,1<3,所以0<c<b,又因为a<0,所以a＜c＜b. 故答案为: a＜c＜b. 【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征,同学们应重点掌握. 15. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，过点作，垂足为，延长，交于点，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】解：过作于，过作交直线于，由等腰三角形的性质和中点可得，，由勾股定理求出，再根据面积法求出，接着依次求出，，，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：过作于，过作交直线于， ∵，，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：方程两边同乘以，得 ． 解这个方程，得． 检验：当时， ． 原分式方程的解为 17. 如图，四边形是矩形． （1）实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求及垂线的作法作图即可； （2）由作图可知，根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，可知． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：． 理由如下：由作图可知． 四边形是矩形， ，． ， ， ． 在和中， ， ． 18. 人工智能大模型凭借高效的数据处理能力和强大的辅助学习功能，深受大众喜爱．对中学生而言，它既能答疑解惑，又能辅助日常学习．某校科技社团为了解学生最喜欢的人工智能大模型，随机抽取部分学生开展问卷调查（如图所示），所有问卷全部收回且都有效，并将收集的数据整理成如下两幅不完整的统计图表． 选项 占调查总人数的百分比 A B C D 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查抽取的学生有 名，的值为 ． （2）将条形统计图补充完整． （3）若该校有2400名学生，请你估计最喜欢“C．讯飞星火”的学生人数． （4）本次调查中，选择不同人工智能大模型的人数占调查总人数的百分比可以用扇形统计图来表示吗？若可以，请求出“其他”所占扇形的圆心角度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1）120；35 （2）见解析 （3）最喜欢“C．讯飞星火”的学生约为840名 （4）不可以，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用统计图的信息计算即可； （2）先求出最喜欢A 、D的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体的计算方法计算即可； （4）由统计表可知，，即选择不同人工智能大模型的人数占调查总人数的百分比之和大于1，因此不可行． 【小问1详解】 解：由题意得，B类的人数30人，占比为25%， 故本次问卷调查抽取的学生有（名）， ， ∴； 【小问2详解】 解：（名）， （名）， 补全的条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：最喜欢“C．讯飞星火”的学生约为840名； 【小问4详解】 解：不可以．理由如下： 由统计表可知，， 即选择不同人工智能大模型的人数占调查总人数的百分比之和大于1．（理由不唯一） 19. 某专业农业合作社种植纯有机肥番茄和普通化肥番茄．2025年，纯有机肥番茄的种植面积为30亩，普通化肥番茄的种植面积为50亩，两类番茄总产量为84万斤．已知普通化肥番茄的平均亩产量比纯有机肥番茄的平均亩产量高0.4万斤． （1）求该农业合作社纯有机肥番茄和普通化肥番茄的平均亩产量分别为多少． （2）结合市场经验，纯有机肥番茄的经济价值更高．在种植总面积和各类番茄平均亩产量保持不变的前提下，2026年该农业合作社计划扩大纯有机肥番茄的种植面积，同时，2026年该合作社两类番茄总产量不得低于76万斤．求2026年该农业合作社纯有机肥番茄的最大种植面积． 【答案】（1）纯有机肥番茄的平均亩产量为0.8万斤，普通化肥番茄的平均亩产量为1.2万斤 （2）2026年该农业合作社纯有机肥番茄的最大种植面积为50亩 【解析】 【分析】（1）设纯有机肥番茄的平均亩产量为万斤，则普通化肥番茄的平均亩产量为万斤．根据两类番茄总产量为84万斤列方程求解即可； （2）设2026年纯有机肥番茄的种植面积为亩，则普通化肥番茄的种植面积为亩．根据两类番茄总产量不得低于76万斤列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设纯有机肥番茄的平均亩产量为万斤，则普通化肥番茄的平均亩产量为万斤． 根据题意，得． 解得． ． 答：纯有机肥番茄的平均亩产量为0.8万斤，普通化肥番茄的平均亩产量为1.2万斤． 【小问2详解】 解：设2026年纯有机肥番茄的种植面积为亩，则普通化肥番茄的种植面积为亩． 根据题意，得． 解得． 答：2026年该农业合作社纯有机肥番茄的最大种植面积为50亩． 20. 综合与实践 避雷针能够主动将空中雷电引向自身，防止雷电直接击中建筑物，避免引发火灾或损坏电器，从而保障建筑和人员的安全．如图是综合与实践小组的同学利用测角仪和卷尺测量某建筑顶部避雷针长度的示意图．其中，表示避雷针，所在直线垂直于地面于点，在与墙面的水平距离为的点处，利用测角仪测得避雷针底部的仰角，面向建筑前进到达点，测得避雷针顶部的仰角，且测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上．请根据以上信息求避雷针的长度（结果精确到．参考数据：）． 【答案】避雷针的长度约为 【解析】 【分析】连接并延长，交于点，则四边形和四边形都是矩形，在中，求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如答图，连接并延长，交于点． 根据题意，得四边形和四边形都是矩形， ． ． 在中，， ， ． 在中，， ． ． ． 答：避雷针的长度约为 21. 阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 弦切角 【概念理解】 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）． 如图1，的边与相切于点是的一条弦，则是弦切角． 【问题解决】 如图2，锐角是的弦切角，与相切于点，点是优弧上的任意一点，连接，则． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ．．．．．． 任务： （1）【问题解决】中证明过程中的“依据”是指___________． （2）补全【问题解决】中的证明过程． （3）拓展：如图3，内接于．过点作的切线，与的延长线交于点．若，，直接写出的长． 【答案】（1）圆的切线垂直于过切点的半径 （2）见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）根据前后逻辑关系可以发现【问题解决】中证明过程中的“依据”是指切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径． （2）由得到，再由为直径，得到，则，由圆周角定理可得，即可证明； （3）锐角是的弦切角，同理根据【问题解决】中结论得到，证明，得到，把，，代入解得，最后根据求解即可 【小问1详解】 中证明过程中的“依据”是指切线的性质，即圆的切线垂直于过切点的半径． 【小问2详解】 解： 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理可得， ∴； 【小问3详解】 解锐角是的弦切角，同理根据【问题解决】中结论得到， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． （1）建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． （2）问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ （3）由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． 【答案】（1）一次； （2）当售价定为30元时，日利润最大，最大日利润为4000元，见详解 （3）2 【解析】 【分析】（1）观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，因此可以确定每日销量和售价满足一次函数关系，然后用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出日利润关于售价的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先列出进价上涨后，日利润关于售价的函数关系式，然后结合已知条件和二次函数的性质确定日利润最大时对应的售价，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：一次；． 提示：观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，所以每日销量是售价的一次函数． 设一次函数为，将，代入得 解得 所以关于的函数表达式为 ； 【小问2详解】 解：设日利润为w元，根据题意得 ． 因为，抛物线开口向下；对称轴为，且 ， 所以当时，取得最大值，最大值为4000元，即售价定为30元时，日利润最大，最大日利润是4000元； 【小问3详解】 解：． 进价上涨元后，每瓶利润为元，则日利润为． 整理，得 ． 因为对称轴，， 所以对称轴仍满足在范围内， 所以当时，取得最大值． 把代入原式得， 解得，（不合题意，舍去）． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在实际问题中的应用．准确理解函数关系式中变量的实际意义、熟练运用二次函数的性质、选择恰当的计算策略是解题的关键． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师给了两个全等的三角形纸片，，其中与按如图1的方式放置，是的中点．将绕点顺时针旋转． （1）猜想证明：如图2，当点在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）独立思考：如图3，当时，过点作于点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在绕点顺时针旋转的过程中，当直线时，所在直线与所在直线交于点，连接．若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2），理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得出四边形是平行四边形，根据得出平行四边形是菱形； （2）根据已知先得出，根据证明根据相似三角形的性质，即可求解； （3）根据已知先证明，，求出，再分类讨论，当在的左侧时，设交于点，根据求得，进而勾股定理求得，当在的右侧时，过点作，交于点，先证明四边形是平行四边形，求得，证明得出，则，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，理由如下， ，． 是的中点， 是的中点， ． ． ． ， ． ． ． ． ∴四边形是平行四边形． 又， 平行四边形是菱形． 【小问2详解】 ，理由如下 是的中点， ， ， ， ， 在中，， 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 是的中点， ， 如图，当在的左侧时，设交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴，解得： 在中，； 如图，当在的右侧时，过点作，交于点， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 在中， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的绝对值是（　　） A. 3 B. C. D. 2. 如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年1月15日，记者从国家电网公司获悉，“十五五”期间，国家电网公司固定资产投资额预计为4万亿元，较“十四五”投资额增长．数据“4万亿元”用科学记数法表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 5. 某早餐店提供包子、油条、烧麦三种早点，以及豆浆、牛奶两种饮品．该早餐店为一家公司配送早餐套餐，每份套餐包含一种早点和一种饮品，且所有搭配可能性完全相同．员工小梁某天打包第一份套餐时，随机选择一种早点，再随机选择一种饮品，则第一份套餐恰好是包子配豆浆的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点是上一点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若，则的度数为（ ） A. 35° B. C. D. 20° 7. 关于的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 有两个相等的实数根 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 硫酸钠是一种重要的日用化工原料，主要用于制造洗涤剂、洗衣粉，起到软化水质、增强洗涤效果的作用．硫酸钠的溶解度（单位：）与温度（单位：）之间的函数关系可用如图所示的图象来刻画，则下列说法正确的是（ ） A. 硫酸钠的溶解度随着温度的升高而增大 B. 时，硫酸钠溶液中含硫酸钠 C. 溶解度为时，的取值范围是 D. 时，水中最多溶解硫酸钠 10. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是________． 12. 如图是一组有规律的图案，它由若干个圆片组成，第1个图案中有白、黑圆片共2个，第2个图案中有白、黑圆片共6个，第3个图案中有白、黑圆片共12个，第4个图案中有白、黑圆片共20个，……，依此规律，第个图案中有白、黑圆片共 __________（用含的代数式表示）个． 13. 在农业生产中，常见的半矮秆小麦，株高较高且生长整齐的品种更适合大规模推广种植．为了解甲、乙、丙、丁四个品种半矮秆小麦的株高情况，科研人员从这四个品种中各随机抽取100株小麦植株，在同等条件下进行试验，统计结果如下表： 半矮秆小麦品种 甲 乙 丙 丁 平均株高/cm 72 75 75 73 方差 根据表中数据分析，最适合推广种植__________（从“甲”“乙”“丙”“丁”中选择）品种半矮秆小麦． 14. 已知点A（-2，），B（1，），C（3，）都在反比例函数的图象上，则，，间的大小关系为______.（用“”连接） 15. 如图，在中，，，点是边的中点，连接，过点作，垂足为，延长，交于点，则的长为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答： （1）计算：． （2）解方程：． 17. 如图，四边形是矩形． （1）实践与操作：①以点为圆心，的长为半径作弧交于点，连接；②过点作的垂线，垂足为（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （2）猜想与证明：在（1）的基础上，猜想与的数量关系，并说明理由． 18. 人工智能大模型凭借高效的数据处理能力和强大的辅助学习功能，深受大众喜爱．对中学生而言，它既能答疑解惑，又能辅助日常学习．某校科技社团为了解学生最喜欢的人工智能大模型，随机抽取部分学生开展问卷调查（如图所示），所有问卷全部收回且都有效，并将收集的数据整理成如下两幅不完整的统计图表． 选项 占调查总人数的百分比 A B C D 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查抽取的学生有 名，的值为 ． （2）将条形统计图补充完整． （3）若该校有2400名学生，请你估计最喜欢“C．讯飞星火”的学生人数． （4）本次调查中，选择不同人工智能大模型的人数占调查总人数的百分比可以用扇形统计图来表示吗？若可以，请求出“其他”所占扇形的圆心角度数；若不可以，请说明理由． 19. 某专业农业合作社种植纯有机肥番茄和普通化肥番茄．2025年，纯有机肥番茄的种植面积为30亩，普通化肥番茄的种植面积为50亩，两类番茄总产量为84万斤．已知普通化肥番茄的平均亩产量比纯有机肥番茄的平均亩产量高0.4万斤． （1）求该农业合作社纯有机肥番茄和普通化肥番茄的平均亩产量分别为多少． （2）结合市场经验，纯有机肥番茄的经济价值更高．在种植总面积和各类番茄平均亩产量保持不变的前提下，2026年该农业合作社计划扩大纯有机肥番茄的种植面积，同时，2026年该合作社两类番茄总产量不得低于76万斤．求2026年该农业合作社纯有机肥番茄的最大种植面积． 20. 综合与实践 避雷针能够主动将空中雷电引向自身，防止雷电直接击中建筑物，避免引发火灾或损坏电器，从而保障建筑和人员的安全．如图是综合与实践小组的同学利用测角仪和卷尺测量某建筑顶部避雷针长度的示意图．其中，表示避雷针，所在直线垂直于地面于点，在与墙面的水平距离为的点处，利用测角仪测得避雷针底部的仰角，面向建筑前进到达点，测得避雷针顶部的仰角，且测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上．请根据以上信息求避雷针的长度（结果精确到．参考数据：）． 21. 阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 弦切角 【概念理解】 我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫作弦切角（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）． 如图1，的边与相切于点是的一条弦，则是弦切角． 【问题解决】 如图2，锐角是的弦切角，与相切于点，点是优弧上的任意一点，连接，则． 证明：如图2，连接并延长，交于点，连接． 与相切于点，是的半径， （依据）． ． ．．．．．． 任务： （1）【问题解决】中证明过程中的“依据”是指___________． （2）补全【问题解决】中的证明过程． （3）拓展：如图3，内接于．过点作的切线，与的延长线交于点．若，，直接写出的长． 22. 项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． （1）建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． （2）问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ （3）由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． 23. 综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师给了两个全等的三角形纸片，，其中与按如图1的方式放置，是的中点．将绕点顺时针旋转． （1）猜想证明：如图2，当点在线段上时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． （2）独立思考：如图3，当时，过点作于点，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在绕点顺时针旋转的过程中，当直线时，所在直线与所在直线交于点，连接．若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $