精品解析：山西临汾市洪洞县2026年中考模拟监测(一) 数 学

中考模拟监测（一）数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 的相反数是． 2. 2026年4月20日至26日，我们将迎来首个“全民阅读活动周”．为鼓励同学们积极阅读，学校举办了“阅读周”设计大赛，以下参赛作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项法则，完全平方公式逐一判断选项正误. 【详解】解：∵ ， ∴ A错误； ∵ ， ∴ B正确； 对于选项C，∵ 与不是同类项，不能合并， ∴ C错误； ∵ ， ∴ D错误. 4. 现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 在中，． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出各个不等式的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 将解集表示在数轴上如图所示： 6. 如图，的对角线相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，然后求出，再根据三角形的中位线定理求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与边相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴． 7. 山西四大梆子分别为蒲剧、晋剧、北路梆子、上党梆子．现有完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个剧种的图案，将卡片背面向上洗匀放好，从中随机抽取2张，恰好是“晋剧”和“蒲剧”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图列举出所有可能的情况和恰好是“晋剧”和“蒲剧”的情况，然后利用概率公式求解． 【详解】解：记4张卡片分别为：A（蒲剧），B（晋剧），C（北路梆子），D（上党梆子）． 画树状图如下： ∴共有12种等可能的情况，其中恰好是“晋剧”和“蒲剧”的情况有2种， ∴恰好是“晋剧”和“蒲剧”的概率是． 8. 如图，都是的半径，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，则可求出的度数，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（ ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A. 电阻的初始阻值为 B. 当的阻值为时，报警器会报警 C. 传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D. 定值电阻的阻值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据时的取值可判断选项A；根据图象的变化形式可判断选项B、C，根据的电路数据，通过计算可得出此时的阻值，即可判断选项D． 【详解】解：由图象可得，当时，，故电阻的初始阻值不为，故选项A错误，不符合题意； 由图象可得，当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，当的阻值为，故选项B错误，不符合题意； 由图象可得，随着的减小，的阻值也在逐渐减小，故选项C错误，不符合题意； 当时，，，故，即定值电阻的阻值为，故选项D正确，符合题意． 10. 如图，在边长为4的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点； ②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点； ③过点作于点． 根据以上作图步骤，线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图步骤可知是线段的垂直平分线，平分，因此由正方形的性质可得四边形是矩形，利用勾股定理求得，然后在上截取，连接、，根据角平分线的定义，利用可证，推出，，然后设，在和中，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为4， ∴，， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 又∵， ， ，， ， 设，则，，， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得， ． 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式3x,然后再应用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题的关键． 12. 将甲、乙两组各个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7．设甲、乙两组数据的方差分别为，，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越大，数据波动越大，进行判断即可． 【详解】解：由图可得，甲的波动比乙的波动更小，所以甲更稳定，故． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及三角形面积公式，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形三线合一是解题的关键． 利用勾股定理求，通过定理证三角形全等，再结合等腰三角形三线合一和面积法求解． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∵勾股定理， ∴， ∵由旋转性质得，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 14. 以特色农产品助力乡村振兴．某特产超市销售的苹果礼盒售价为20元/盒，冬枣礼盒售价为30元/盒，2026年春节期间，该超市在网上售出苹果礼盒a盒，冬枣礼盒b盒，总收入为_____元．（用含、的代数式表示） 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，总收入为元． 15. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，若，，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，再根据求出，然后证明，得，即，，即可得出，设正方形的边长为，在中，，，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：四边形为正方形， ， 如图，把逆时针旋转得到， ，．，， ， 、、在同一条直线上 ， ， ． 在和中， ， ， ，即， ． 设正方形的边长为， 在中，， 解得： ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 当时，原式． 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）将点分别代入，求出，的值即可得出答案； （2）确定得，再根据计算即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图像上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在一次函数的图像上， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图像交轴于点， 当时，得， ∴， ∴， ∵，点的横坐标为， ∴点到轴的距离为，点到轴的距离为， ∴， 即的面积为． 18. 青少年视力健康是中国当前高度重视的公共卫生问题之一，关系到国家未来和民族素质．某校为了解学生对视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生、调查结果分为：“非常重视” “重视”“比较重视”和“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 视力情况 人数 4.2 6 4.3 5 4.4 4 4.5 1 根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，“比较重视”所在扇形的圆心角度数为_____，并补全条形统计图； （2）学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分5.0），结果如表所示，计算该组别同学视力情况的平均值； （3）已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的男生有2人，女生有2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1），见解析 （2）4.3 （3） 【解析】 【分析】（1）先计算参与调查的总人数，在计算“比较重视”所在扇形的圆心角度数； （2）求该组别同学视力情况的平均值，用全部学生的视力情况总人数即可求解； （3）画出树状图，利用概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：因为“不重视”的有16人，占总人数的， 所以总人数（人）， “比较重视”的有36人，“比较重视”所在扇形的圆心角度数； 重视的人数为， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：． 答：该组别同学视力情况的平均值为4.3； 【小问3详解】 解：画树状图如下， 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8种， P（恰好抽到1名男生和1名女生）． 19. 中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米． （1）桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ （2）经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 【答案】（1）桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米 （2）该公司完成隧道施工的时间是天 【解析】 【分析】（1）设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米，根据平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天，利用工作效率工作总量工作时间，结合每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，可列出关于的分式方程，解方程检验后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设隧道施工的里程是千米，则桥梁施工的里程是千米， ∵平地施工、隧道施工和桥梁施工的里程之和是千米， ∴， 解得：， ∴（千米）， 答：桥梁施工里程是千米，隧道施工里程是千米． 【小问2详解】 解：设该公司完成隧道施工的时间是天，则该公司完成桥梁施工的时间是天， ∵每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． 答：该公司完成隧道施工的时间是天． 20. 新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则四边形是矩形．解和分别求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，由题意可知 四边形是矩形． 米． 在中，， （米）． （米）． 在中，， （米）． 答：池塘的宽度的长约为米． 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为， 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 22. 综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 （1）在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 【答案】（1） （2）这辆货车可以完全停进遮阳棚内，见解析 （3）钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数关系式、勾股定理等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）由题可得：抛物线的顶点A的坐标为，设与的函数关系式为，将点代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意：设点的坐标为，将代入解析式可得，然后加6与8比较即可； （2）先求得的函数关系式为，设点的坐标为，将解一元二次方程即可解答． 【小问1详解】 解：由题可得：抛物线的顶点A的坐标为， 设与的函数关系式为， 抛物线的函数关系式为 点的坐标为， 将点代入函数关系式中，得：，解得：． 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意：设点的坐标为， 将代入中，得：， 解得：（舍去），． ， 这辆货车可以完全停进遮阳棚内． 【小问3详解】 解：设线段的函数关系式为， 将点代入中得：， 的函数关系式为． 抛物线的一般式为， 且点是抛物线上的点， ∴设点的坐标为， 轴，点的横坐标为，点在上， 点的坐标为． ． 将代入得：． 解得：（不符合题意，舍去）． 答：钢架安装在水平方向到立柱的距离2米远的位置． 23. 综合与探究 【问题情境】 （1）如图1，在等腰中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系，并说明理由． 解析：如图2，在上截取，连接． 在等腰中，， ． …… 请完成本小题的证明过程； 【类比分析】 （2）如图3，在等腰中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交边于点．求证：； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，，点，分别在边，上，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则．进一步即可证明结论； （2）在上截取，连接．证明，则，，得到，根据，即可得到结论； （3）在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，，证明，得到，进一步即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图2，在上截取，连接， 在等腰中，，， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：在上截取，连接． ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 在上截取，连接，在上截取，连接，作于点H，在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴． ∵，，，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考模拟监测（一）数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷和第II卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 第I卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 年是农历丙午马年，的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年4月20日至26日，我们将迎来首个“全民阅读活动周”．为鼓励同学们积极阅读，学校举办了“阅读周”设计大赛，以下参赛作品中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 现有一个可调节角度的平板支架放在桌面上，如图所示，其支撑臂长度固定，当点A到桌面的高度时，；当压低支撑臂到的位置时，点到桌面高度，则此时的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点．若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 山西四大梆子分别为蒲剧、晋剧、北路梆子、上党梆子．现有完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个剧种的图案，将卡片背面向上洗匀放好，从中随机抽取2张，恰好是“晋剧”和“蒲剧”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，都是的半径，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 图①为汽车倒车雷达中的距离报警器简化电路图，电源电压恒为，为定值电阻，为距离传感器的核心部件，其阻值随传感器到障碍物的距离s（单位：）变化的关系图象如图②所示．当传感器到障碍物的距离为时，报警器开始报警，此时电路中电流表的示数为．下列说法正确的是（ ）（温馨提示：电流表电阻忽略不计，在此串联电路中，电压（电阻电阻）×电流I） A. 电阻的初始阻值为 B. 当的阻值为时，报警器会报警 C. 传感器到障碍物的距离越近，的阻值越大 D. 定值电阻的阻值为 10. 如图，在边长为4的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点； ②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点； ③过点作于点． 根据以上作图步骤，线段的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：________ 12. 将甲、乙两组各个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是7．设甲、乙两组数据的方差分别为，，则_____．（填“”“”或“”） 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与边相交于点，连接．若，，则线段的长为______． 14. 以特色农产品助力乡村振兴．某特产超市销售的苹果礼盒售价为20元/盒，冬枣礼盒售价为30元/盒，2026年春节期间，该超市在网上售出苹果礼盒a盒，冬枣礼盒b盒，总收入为_____元．（用含、的代数式表示） 15. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，且，连接，若，，则的面积为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）已知点的横坐标为，求的面积． 18. 青少年视力健康是中国当前高度重视的公共卫生问题之一，关系到国家未来和民族素质．某校为了解学生对视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生、调查结果分为：“非常重视” “重视”“比较重视”和“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 视力情况 人数 4.2 6 4.3 5 4.4 4 4.5 1 根据图中信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中，“比较重视”所在扇形的圆心角度数为_____，并补全条形统计图； （2）学校安排专业人员检测了样本数据中“不重视”组别全部学生的视力情况（满分5.0），结果如表所示，计算该组别同学视力情况的平均值； （3）已知该校参与调查的学生中，“非常重视”视力保护的男生有2人，女生有2人．从这4名“非常重视”的学生中随机抽取2人参加视力保护宣传活动，用树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 中国基础建设快速发展，各地修建了许多高速公路，带动了当地的经济发展．某公司主营高速公路建设施工，高速公路施工包括平地施工、隧道施工和桥梁施工．近期，该公司承接了一条长千米的高速公路施工，已知该高速公路施工中有千米是平地施工，桥梁施工里程比隧道施工里程的倍少千米． （1）桥梁施工和隧道施工的里程分别是多少千米？ （2）经测算，该公司完成桥梁施工的时间比完成隧道施工的时间少，每天完成的桥梁施工里程比隧道施工里程多千米，求该公司完成隧道施工的时间． 20. 新考法·项目式学习探究 某数学兴趣小组在“测量池塘的宽度”的实践活动中，设计并实施了以下方案： 课题 测量池塘的宽度 测量方案示意图 测得数据 已知，点，，，都是池塘岸边上的点，点位于点正南方向，点位于点南偏西方向，点，在点的正东方向，点位于点南偏东方向，已知是草坪休息区域，．测得米，米． 说明 点，，，，位于同一平面内． 参考数据 ，． 问：池塘的宽度的长约为多少？ 21. （1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 22. 综合与实践 弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点到地面的距离为米，且点A和点的水平距离为8米． 数学建模 （1）在图1中，以地面为轴，以过点垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱的水平距离为，该处离地面的高度为，求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点离地面高约米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内； （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点与点A，然后在棚顶上某处取点，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架．当第二段钢架长度为米时，请通过计算说明应将钢架安装在水平方向距离立柱多远的位置． 23. 综合与探究 【问题情境】 （1）如图1，在等腰中，，，点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．试探究线段与，之间的数量关系，并说明理由． 解析：如图2，在上截取，连接． 在等腰中，， ． …… 请完成本小题的证明过程； 【类比分析】 （2）如图3，在等腰中，，，点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交边于点．求证：； 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，，点，分别在边，上，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $