精品解析：山东烟台市烟台经济技术开发区2026年九年级数学模拟试题

山东烟台市烟台经济技术开发区2026年九年级数学模拟试题 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本式卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上音的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在给定的四个实数中，最小的是（ ） A. B. 0.03 C. 0 D. 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结果计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（ ） A. 7分 B. 7.5分 C. 8分 D. 10分 6. 如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 9. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 使在实数范围内有意义的x应满足的条件是________． 12. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是__________． 13. 若，是方程的两个根，则________． 14. 如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 15. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中第六行第一个数为__________． 三、解答题（本题共8个题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”的成绩，并绘制了如下两幅不完整的频数直方图和扇形图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求抽样的人数以及扇形图中的值； （2）抽样中D组有多少人？并补全频数直方图； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校4200名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 19. 为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球． （1）请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题） （2）若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 20. 如图，数学活动小组欲测量山坡上一棵笔直的大树的高度，在平地处测得大树底端的仰角为，沿水平地面前进30米到达山坡的起点处，在处测得大树顶端的仰角，测得山坡坡比为（图中各点均在同一平面内），求这棵大树的高度．（结果取整数，参考数据：） 21. 如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． （1）、与的数量关系为_______； （2）在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； （3）在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 22. 如图，为的外接圆，且为的直径，为的中点，连接交于点，连接，，过点作交其延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的切线． 23. 综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师提出如下问题：将图中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 当点落在线段上时， 连接交于点， 连接，，． （1）【特例探究】请直接写出线段、与之间的数量关系 ； （2）【探索发现】如图，当点落在对角线上时，连接交于点，小明发现垂直平分，请你证明这个结论； （3）【拓展延伸】在矩形旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，连接，线段 与线段 所在的直线相交于点．若，，请直接写出此时的长． 24. 已知抛物线经过三点，直线交抛物线于A，D两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方拋物线上的一点，作轴，垂足为，交于点，且点将线段分为的两部分．求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的任意一点，连接，当取最小值时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东烟台市烟台经济技术开发区2026年九年级数学模拟试题 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本式卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上音的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 6．写在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 在给定的四个实数中，最小的是（ ） A. B. 0.03 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较规则，求解即可，解题的关键是掌握实数大小比较规则，“负数小于0，0小于正数”． 【详解】解：根据题意可得，，，， 则最小的数为， 故选：A 2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 3. 下列结果计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘法、单项式乘多项式、积的乘方、同底数幂除法的运算法则. 逐一计算各选项并判断正误即可． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是理解俯视图是从物体上面看所得到的图形，注意看得见的棱画实线． 【详解】解：刍甍的俯视图为． 5. 嘉嘉参加五次共青团知识测试的成绩如图所示．现再测试一次，则六次测试成绩的众数为7分，则六次测试成绩的中位数是（ ） A. 7分 B. 7.5分 C. 8分 D. 10分 【答案】B 【解析】 【分析】先根据条形统计图得出前5次的成绩，再根据众数的定义确定第6次的成绩，最后根据中位数的定义计算即可． 【详解】解：由图可知，前5次测试成绩分别为8，10，7，8，7， ∵六次测试成绩的众数为7， ∴第6次测试成绩必须为7， 六次测试成绩从小到大排列为：7，7，7，8，8，10， 中位数为． 6. 如图，先将直角放置在平面直角坐标系中，其中为坐标原点，点在轴正半轴上，，，再将绕点顺时针旋转，得到，此时点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，推导出， 是等边三角形，求出，， ，进而证明，，则点的坐标为，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为． 7. 在电压一定的条件下，电流与电阻成反比例关系，电流与电阻之间的函数关系如图所示．当时，I的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出电流与电阻之间的函数关系式为，然后分别求出当和时的值，由图象可知，在第一象限内，随的增大而减小，进而确定I的值即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数关系式为， 把代入得，， ， 电流与电阻之间的函数关系式为， 当时，， 当时，， 由图象可知，在第一象限内，随的增大而减小， 当时，， 当时，I的值可以是． 8. 如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，长为半径画圆．若图中阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高是（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质求出扇形的圆心角和半径，利用弧长公式求出扇形弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，从而求出圆锥底面半径，最后利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：多边形是正六边形， ，， 阴影扇形的弧长，阴影部分恰好是一个圆锥的侧面展开图， 圆锥底面圆的周长为，设圆锥底面半径为，则， 解得； 圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥的高 9. 如图，在中，，点是斜边的中点，交于点，以为边作正方形．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明三角形相似，然后根据是的中点得出点为的中点，进而求出的长度，根据求出，再结合勾股定理求出，最后用三角形面积公式计算结果． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 点为中点， ， ，即点为中点， ， ， ， ， ， ． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④（为实数）．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向、对称轴位置及与y轴交点位置判断a、b、c的符号，进而判断①；由抛物线与x轴交点个数判断判别式符号，进而判断②；利用对称性比较与时的函数值，进而判断③；利用二次函数最小值性质判断④． 【详解】解：①抛物线开口向上，， 对称轴为直线，，， 抛物线与y轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②抛物线与x轴有两个不同交点，， ，故②正确； ③对称轴为直线，与关于对称轴对称， 与时，y值相等，当时，， 当时，，故③错误； ④抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数取得最小值，即， 对任意实数m，都有，即， 故④正确． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 使在实数范围内有意义的x应满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，即可得到x的取值范围． 【详解】解：根据题意得且， ∴且， ∴． 12. 有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人物画像的卡片，卡片正面人物如下图．现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先区分卡片所属名著：《西游记》有孙悟空、猪八戒（共2张），《三国演义》有诸葛亮、关羽、张飞（共3张）．通过列表法列出所有可能的抽取结果，再统计两张卡片属于同一部名著的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：列表如下： 小明\小亮 孙悟空 诸葛亮 关羽 猪八戒 张飞 孙悟空 — （孙，诸） （孙，关） （孙，猪） （孙，张） 诸葛亮 （诸，孙） — （诸，关） （诸，猪） （诸，张） 关羽 （关，孙） （关，诸） — （关，猪） （关，张） 猪八戒 （猪，孙） （猪，诸） （猪，关） — （猪，张） 张飞 （张，孙） （张，诸） （张，关） （张，猪） — 总结果数为种，其中同一部名著的结果数共8种， ∴． 13. 若，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，对所求代数式因式分解，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 14. 如图，直线，相交于点O，平分，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，设未知数，利用对顶角相等和邻补角定义表示出和，结合角平分线定义表示出，根据列出方程求解，最后计算的度数． 【详解】解：，设，则， ， ， ， 平分， ， ， ， 解得：， ， ， ． 15. 如图，和是的两条弦，，，点P为上一点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题关键． 连接，根据圆周角定理得出为的直径，确定，，，再由圆周角定理得出，确定，再由弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵直角，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长为：． 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》书中辑录了一个三角形数表，称之为“开方作法本源”图，即是著名的“杨辉三角形”．以下数表的构造思路源于“杨辉三角形”： 该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于“其肩上”两数之和，表中第六行第一个数为__________． 【答案】112 【解析】 【分析】观察数表中每一行第一个数的数值变化规律，归纳出第行第一个数的通项公式，将代入计算即可． 【详解】观察每一行第一个数的规律： 第一行的第一个数为， 第二行的第一个数为， 第三行的第一个数为， 第四行的第一个数为， …… 第行的第一个数为， 当时，． 三、解答题（本题共8个题，满分72分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先对分式的括号内进行通分计算，再将除法转化为乘法，结合因式分解进行约分，化简后代入的值计算结果． 【详解】解： ， 当 时，原式． 18. 某校加强了1分钟定时跳绳的训练后，抽样调查部分学生的“1分钟跳绳”的成绩，并绘制了如下两幅不完整的频数直方图和扇形图． 根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）求抽样的人数以及扇形图中的值； （2）抽样中D组有多少人？并补全频数直方图； （3）如果“1分钟跳绳”成绩大于等于140次为优秀，那么该校4200名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？ 【答案】（1）60，84 （2）16人，见解析 （3）该校4200名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有人 【解析】 【分析】（1）根据A组的占比及频数即可求得抽样的总人数；由B组的占比可求得扇形统计图中B组对应的扇形的圆心角； （2）根据（1）求得的抽样总人数即可求得D组的人数，补全统计图即可； （3）用样本估计总体的思想方法可求得该校4200名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约人数． 【小问1详解】 解：抽样总人数为：（人）； B组对应的扇形的圆心角为： ∴； 【小问2详解】 解：抽样中D组人数为：（人）， 补全图形如下： 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校4200名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有人． 19. 为了促进学生的身心健康全面发展，本学期学校的课间活动时间从10分钟增加到15分钟，让学生身上有汗，眼里有光．体育组老师们准备购买一批足球，足球的价格主要集中在类和类两种，且类比类的单价贵10元，已知用450元购买的类足球数与用350元购买的类足球数相等，现准备同时购买、两类足球． （1）请问类、类足球单价各多少元？（用方程解决问题） （2）若准备同时购进两类足球共计20个（两类足球都要买），总费用不超过720元，请问有哪些购买方案？ 【答案】（1）类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； （2）购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 【解析】 【分析】（1）设类足球的单价是元，则类足球的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设购进类足球个，则购进类足球个，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设类足球的单价是元，则类足球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：类足球的单价是45元，类足球的单价是35元； 【小问2详解】 解：设购进类足球个，则购进类足球个， 由题意得：， 解得：， 为正整数， ， 有2种购买方案： ①购进类足球1个，类足球19个； ②购进类足球2个，类足球18个． 答：购进类足球1个，类足球19个或购进类足球2个，类足球18个． 20. 如图，数学活动小组欲测量山坡上一棵笔直的大树的高度，在平地处测得大树底端的仰角为，沿水平地面前进30米到达山坡的起点处，在处测得大树顶端的仰角，测得山坡坡比为（图中各点均在同一平面内），求这棵大树的高度．（结果取整数，参考数据：） 【答案】20米 【解析】 【分析】过点作交，延长线于点，先可证明米，然后解直角三角形即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， 由题意得，，，米， ∵山坡坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴在中，（米），（米）， ∴在中，（米）， ∴（米）． 答：这棵大树的高度约为20米． 21. 如图1，在中，，，点D、E分别为边上的点．将沿折叠，点C的对应点记为点F． （1）、与的数量关系为_______； （2）在图2中，用无刻度的直尺和圆规作出四边形，使点F落在边上且四边形是菱形； （3）在图2中连接与交于点O，求线段的取值范围． 【答案】（1）； （2）见详解； （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得，结合三角形内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）作的平分线交于点F，作的垂直平分线交于点D、E，顺次连接起来，即可 （3）由，可得菱形的边长，取的中点G，结合三角形三边长关系，即可得到答案 【小问1详解】 解：∵将沿折叠，点C的对应点记为点F， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示： 由作图可知，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：取的中点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ 设，则， ∴，解得， ∴， ∵的中点G， ∴，， ∴，即 22. 如图，为的外接圆，且为的直径，为的中点，连接交于点，连接，，过点作交其延长线于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的切线． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可得。在中，已知 ，可求出的度数． （2）连接，根据弧中点的性质，可得．因为，所以，进而推出，所以． 因为，所以，根据切线的判定定理，可证为的切线． 【小问1详解】 ∵为的直径， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【小问2详解】 连接， ∵为的中点， ∴． 又∵， ∴ ， ∴ ． ∴． ∵ ，即 ， ∴ ． 又∵是的半径， ∴为的切线． 23. 综合与探究 【问题情境】 数学活动课上，老师提出如下问题：将图中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 当点落在线段上时， 连接交于点， 连接，，． （1）【特例探究】请直接写出线段、与之间的数量关系 ； （2）【探索发现】如图，当点落在对角线上时，连接交于点，小明发现垂直平分，请你证明这个结论； （3）【拓展延伸】在矩形旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，连接，线段 与线段 所在的直线相交于点．若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或15 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质证明、是等腰直角三角形，得到，在和在中，利用勾股定理分别表示出，，最后根据等量代换即可得证； （2）由旋转的性质证明，得到，进而由，根据等边对等角等量代换证明，得到，通过等角的余角相等得到，即可得到，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得出结论； （3）分两种情况：当点在、之间时，当点在、之间时，分别通过证明，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由旋转可得，，，， 是等腰直角三角形， ， 在矩形中，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， 即； 【小问2详解】 证明：由旋转可得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， 即垂直平分； 【小问3详解】 解：由旋转可得：，， 在矩形中，，， ，，三点在同一条直线上， ， ， 当点在、之间时，如图所示， ∵，，三点在同一条直线上， ， ， ， 设，则， ，解得； 当点在、之间时，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ，解得； 综上，的长为或． 24. 已知抛物线经过三点，直线交抛物线于A，D两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方拋物线上的一点，作轴，垂足为，交于点，且点将线段分为的两部分．求点的坐标； （3）点是抛物线对称轴上的任意一点，连接，当取最小值时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，可得，，再分两种情况：当时，则，当时，则，分别建立方程求解即可； （3）连接，由对称性可得，则当B、Q、G三点共线时，有最小值；求出直线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，再求出当时，函数的函数值即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线交抛物线于A，D两点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 设，则， ∴，， ∵点将线段分为的两部分， ∴当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵点Q是抛物线的对称轴上的一点， ∴由对称性可得， ∴， ∴当B、Q、G三点共线时，有最小值； 在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 在中，当时，， ∴当最小时，点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $