河北衡水中学2025-2026学年高二下学期周测数学试题（3.17)

3.17错题重做 一、单选题 1.折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年， 民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺，是我们中 华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承在一次数学实践课上某同学将一张腰 长为1的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰 直角三角形斜边长为() A.② 8 B. C.2 8 D 4 2.已知等比数列{a}的首项为2，公比为3，则S=() A.162 B.486 C.242 3.朱世杰(1249年-1314年)，字汉卿，号松庭，元代数学家、教育家，毕生从事数学教育， 有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉，他的一部名著《算学启蒙》是中国最早的科普著作.该 书中有名的是“堆垛问题”，其中有一道问题如下：今有三角锥垛果子每面底子四十四个，问 共积几何？含义如下：把一样大小的果子堆垛成正三棱锥形（如图所示，给出了5层三角锥垛 俯视示意图)，底面每边44个果子，顶部仅一个果子，从顶层向下数，每三角锥垛层的果子数 分别为1,3,6,10,15,21，...共有44层.问全垛共有多少个果子？则该三角锥垛从顶层向 下数前40层的果子总数为()（参考公式：1+2+32++n2=2nn+1)(2n+1) 6 三角锥垛 A.12341 B.11480 C.10280 D.8436 4.设函数f(x)=e--e-x+sin(x-1),则关于x的不等式f(x2-x-2)+f(-2x)≥0的解集为 () A.[-1,4] B.(-∞，-1]4，+∞）) c.[-2,1] D.(-0,-2][1,+0) 5.已知实数1，x3满足x31=9,6(l0g35-2)=81,则x为3=（) A.27 B.32 C.64 D.81 6.己知宽为α的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另外一 条走廊的宽度至少是() A.2a B.(4v2-1a C.23a D.35a 7.已知a=号n2,b=二n5,c=,则ab,c的大小关系正确的是() e A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 二、多选题 8.对函数f(x),g(x)公共定义域内的任意x,若存在常数MER,使得f(x)-g(x≤M恒 成立，则称∫(x)和8(x)是M-伴侣函数，则下列说法正确的是() 5 A.存在常数M∈R,使得f()=1og,(5x)与8()=lo;是M-伴侣函数 B.存在常数M∈R,使得f(x)=3+H与g(x)=3-是M-伴侣函数 C.f(x)=lhx与g(x)=x+2是1-伴侣函数 D.若f(x)=g（x),则存在常数M∈R,使得f(x)与8(x)是M-伴侣函数 9.已知函数f(x)= sin2 2x+a (a≠0)，则() sin2x A.f()的最小正周期为2 B.f(x)的图象关于直线x=对称 2 C.a>0时，f(x)在区间 单调递增 D.a<O时，f(x)在区间(0，π)既有极大值点也有极小值点 10.记数列{a}的前n项和为S,S=An+B,A、B为常数.下列选项正确的是() A.若A+B=1,则4=1 B.若A=2,则a=2 C.存在常数A、B,使数列{a}是等比数列D.对任意常数A、B,数列{a}都是等差数 列 三、填空题 1.已知数列a,}的前n项和为S,若S.=-1,则a 3 12.将正整数排成如图所示的数阵，其中第k行有2个数，如果2023是表中第m行的第n个数， 则n= 12 3456 7891011121314 四、解答题 13.已知数列{a}满足4=1，a= l0g2a,n为奇数 2,n为偶数 (1)证明：求4,4的值，并证明数列{am-1}为等比数列； (2②)设b=凸，求数列亿，}的前n项和工： (a4,求证：G+6+G++c,<n+1-1 8 (3)设Cn= n+1 14.己知函数f(x)=nx-Wx+1+4. (1)当a=√3时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个零点 (i)求a的取值范围： 2 (ii)证明：f(x)< Va2+1-1 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B B D D D AD BC ABC 1.A 【分析】利用等比数列的定义，抽象出等比数列的模型，进行求解， 【详解】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为5，公比为 2 2 故对折6次后，得到腰长为 的等腰直角三角形，斜边长为×2-V5 故答案选A. 2.C 【分析】根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】依题意，知等比数列{a}的首项为2，公比为3， 所以S 2×0-3）-3-1=242 1-3 故选：C 3.B 【分析】根据三角锥垛层的果子数可以观察得数列的通项公式，求和即可 【详解】因为三角锥垛层的果子数分别为1,3,6,10,15,21，…构成数列{a}, 观察得数列{a,}的通项公式为a,=0+少 2 设其前n项和为Sn,则 8=0++2(2+33+,444++” 2 2 2 2 _1+2+3+4+n0+02+22+32++n2)） 2 n(n+1).1 =261 +n(n+l)(2n+l) 1 n(nH)(n+2)1 2 6 所以S0=5×40×41×42=11480. 6 故选：B 4.B 【分析】令g(x)=f(x+1)=e-e+sinx,定义域为R,得到g(x)为奇函数，即 f(-x+1)=-f(x+1),求导，得到8(x)在R上单调递增，变形得到8(x2-x-3)≥g(2x+1), 从而x2-x-3≥2x+1,求出解集 【详解】令g(x)=f(x+l)=e-e+sinr,定义域为R, g(-x)=e*-e*+sin(-x)=e*-e*-sinx=-g(x), 故8(x)为奇函数，即f(-x+1)=-f(x+1), g'(x)=e*+e*+cosx22ve*.e*+cosx=2+cosx>0, 故g(x)在R上单调递增， f(x2-x-2)+f(-2x)≥0曰f(x2-x-2)≥-f(-2x), 故f(x2-x-3)+1≥-f[(2x-1+1]=f[r+11], 即g(x2-x-3)≥g(2x+1), 所以x2-x-3≥2x+1,x2-3x-4≥0， 解得x≥4或x≤-1. 故选：B 5.D 【分析】由已知条件将两个等式转化为统一的结构形式，令log33-2=t,为2=32，得t3=9, 研究∫(x)=x·3(化>O)的单调性，求出x,t的关系，即可求解 【详解】由题意得，>0,2>0 令log3水3-2=t,则x2=32,32t=81,得t.3=9, ,t是方程x.3x=9的根 令f(x)=x·3(x>0),则f'(x)=3+x.3n3>0,f(x)在(0，+o)上单调递增， =t,即10g3-2=5,5=(l0g35-2)x2=81 故选：D. 6.D 【分析】根据题意，画出图形，构造函数，利用函数导数解决即可. 【详解】由唇意如图，设细杆与另外一条走廊一边的夹角为(0<日<马 D 8a B 设另一走廊的宽度为y,则AB=a cose a BC=AC-AB=8a- cose' 所以y(0)=BC sin6=&asin0- asine 0<0< cosθ 2 所以y(0)=8acos0-4sin'6+acos2 =&ac0s0- cos20 c0s20 令y'(8)>0→&acos6- cos2 0 >0→c0S0> 又0<<受所以(o)在0到 上单调递增， 令y'(0)<0→0<cos0< 且0<8<子 所以()在 32 上单调递减， asin 所以y(O)m=y =&a sin 3=8ax v3 2=3 3 2 1 3 2 故另外一条走廊的宽度至少是35a 故选：D 7.D 【分析】由于c=上-血e,所以枸造函数f)=血：>0)，然后利用导数判断函数的单调性， 再利用单调性比较大小即可 【详解】a-坚， b=h5,c=1-me 5，c ee 令f)=c>0),则f)=1-血x 2 当0<x<e时，f'(x)>0,当x>e时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0，e)上递增，在(e,+o)上递减， 因为2<e<5, 所以f(2)<f(e),f(e)>f(5), 因为f0②-f⑤2_5-5n2-2n5-n32=h250, 25 10 10 所以f(2)>f(5), 所以b<a<c 故选：D 8.AD 【分析】根据伴侣函数的定义，由对数的运算法则判断A,根据指数型函数的单调性以及值域 可判断B,求导，判断h(x)=hx-x-2的单调性进而可判断C,根据常函数的性质可判断D. 【详解】A选项：由题意得 L()()o o, 1g225+2log25, 故存在M≥2log25,使得f(x)-8(x≤M恒成立，故A正确： B选项：由题意得f()-8(x=3H-3=8×31, 由于y=8×3-1为单调递增函数，且值域为(0，+w), 10 因此不存在M∈R,使得8×3-1≤M恒成立，故B错误： c选项：由题意得f(x)-g(x=nx-x-2, 令函数h)-hx--2,则()是1-生 易知h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 所以h(x)≤h(1)=-3,所以h(x)≥3，不满足mx-x-2≤1，故C错误； D选项：令(x)=f(x)-8(x),则t(x)=f(x)-8'(x)=0, 所以(x)为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数） 不妨令t(x)=a,故存在M≥a,使得f(x)-g(x≤M恒成立，故D正确 故选：AD 9.BC 【分折】龄证可知/+习6)，了π)=f,由此可得AB正误：利用三角恒等变换 公式可化简得到f()= 2a 。一-2(1-cos2xH4,令t=1-cos2x,结合复合函数单调性的判 1-cos 2x 定可知C正确；令=1-cos2.x,结合导数可求得当a≤-4时，h(u)的单调性，结合复合函数 单调性可确定f(x)单调性，由极值点定义可知D错误， sin2(2x+π)+a 【详解】对于A,“fx+ sim22x+a+f飞）， sin2 +2 ,工不是f(d)的周期，A错误： 对于B,f(-对-sim（2-2)）+a_m2x+a=, sin2(π-x） sin2x “f(x)的图象关于直线x=对称，B正确： 对于C, f(x)= sin2 2x+a 1-cos2 2x+a 2(1-cos 2x)+2a sin2x 1-cos 2x 1-cos 2x y 2a =2(1+c0s2x)+ 2a。24-cos2x4: 1-cos 2x 1-cos2.x 当e（0时，2xe(60,co2e(1),1-as2xe02, 令1=1-c0s2x,则t∈(0,2)，g0)=22-2r+4a>0): .y= 22(a>0)与y=-21在(0,2)上均单调递减，∴g①在(0,2)上单调递减。 又t=1-cos2x在 上单调递减， 由复合函数单调性可知：)在(0上单调递增，c正确 2a 对于D,由C知：f()=1-c0s2x 2(1-cos2xH4; 当x∈(0，π)时，2x∈(0,2)，.cos2x∈[-1,1)，.1-cos2x∈(0,2]： 令1-cms2,则u=Qh)-是+3(a<0: h四=20-2=-20-2平，当a≤-4时，N四≥0在(0,2]上恒成立， u .h(u)在(0,21上单调递增， 又=1-cos2在0上单调通增，在（不上单调递减， 由复合函数单调性可知：f(y)在0，习)上单调递增，在2上单调递减， 则当a≤-4时，f()在(0，四上有极大值点x=,无极小值点，D错误 故选：BC 10.ABC 【分析】根据a与Sn的关系求得4=S=A+B可判断A;由a=S,-S可判断B;取B=O,A≠0 可得{a}是公比为1的等比数列，可判断C;当B≠0时，根据等差数列定义验证，可判断D. 【详解】对于A,若A+B=1,则4=S=A+B=1,A正确； 1 对于B,若A=2,则4=S,-S=(2A+B)-(A+B)=A=2,B正确： 对于C,由Sn=An+B得4=S=A+B, 当n≥2时，4.=Sn-Sn-1=(An+B)-「A(n-1)+B=A, 所以，当B=0,A≠0时，数列{an}是公比为1的等比数列，C正确： 对于D,由上知，当n≥2时a=A,若B≠0，则a-4=A-（A+B)=-B≠4-a=0, 此时，数列{an}不是等差数列，D错误. 故选：ABC 【分析】由46=S6-S,可直接求得结果 【详解】4=8S6-46月5452 2 25 故答案为： 12.1001 【分析】根据题中的条件，及等比数列前项和的公式可求得2023所在行数，再根据第k行有2 个数即可算出n, 【详解】有题可知，第k行有2个数，由等比数列的求和公式，前k行总个数为 3=2+2+2+…+2*-20-2）2+-2, 1-2 令S,n=2023,则k=1og22025-1, 10<log22025<11 .9<k<10 “.S。=1022,S0=2046且第10行有210=1024个数，根据数的排列规律可得，2023是表中第 10行，第1024-(2046-2023)=1001个数，即n=1001 故答案为：1001. 13.【答案】(1)a=0,4=4,证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据递推公式及等比数列的定义证明即可； (2)由(1)求出4-，即可求出a,从而得到b,=(-1)4”，利用错位相减法计算可得： 2 (3)由数列的通项公式可得Cm (0+1)2 利用放缩法即可得到C,<1+ n(n+1)' 再利用裂 项相消法即可证明. 【详解】(1)当n=1时，可得马=log241=log21=0, 当n=2时，可得a=2+2=22=4, 因为am1=292=21oB2=22a1=4a21,(n≥1)，q=1, 所以2=4.0m≥1)， C42m-1 所以数列{凸m-}为首项为1，公比为4的等比数列. (2)由(1)得am1=4,(n21), 则am=log24m1=log24"1=2n-2,(n≥1)， 所以五-凸a4(21-2）-0u-14, 2 2 所以Tn=0×4+1×42++(n-1)×4, 则4Tn=0x42+1×43++(n-1)×4*, 所以-3江=4+4++--14_4车】a-)19n-)4 1-4 33 12 即-(,9 令f'(x)<0,xe(2,+o),(x)在(2，+w)上单调递减： (3)因为cn=1+ 8 2 2 2 1 于是f(x)的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，+∞)： 1+ (+1) n(n+1) n(n+1)n+) (2)(①)解法1由于f(x)=1-，a=2+1-m--a2+4+4 (x>0) x 2x+1 2xx+1 2x/x+1.(2vx+1+ax) 1 1 11 =1+ n(n+1) n(n+1） 若a≤0,2√x+1-m>0,f'(x)>0,于是f(x)在(0，+w)上单调递增，至多与x轴只有一个交 所以*6***1}1后}-目l长) 点，矛盾； 于是a>0,令f'(x)=0,则等价于dx2-4x-4=0, ，即命题得证 1 =n+1- 【答案】(1)单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2，+∞)： 易得△=16+16d>0,因为x>0,则x= 21+V1+a2) >0: a (2)(i)a∈(0,2√2)：(ii)证明见解析 20+1+a, 则f(x)在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减， 【分析】(1)求导，即可根据导数的正负确定函数的单调性， a (2))方法一：求导，对a进行讨论，结合函数单调性可求解f).。=n5-2+2,即可构 则f(x)mx=f()=h-a。+1+4, 2 造函数h(x)=hx-二+2(x>0),求导，结合零点存在性定理即可求解，方法二：求导，对a进 因为5-40.气，a-2 行时论，换元1=m,1,g0=d+2+a则了0=9 21(-1,可求解 所以fa=n5-2+2, [fxx=∫()=h-a。+1+4,即可结合解法一求解，解法三：求导，对a进行讨论，结 显然/(G)≤0不符合题意，故fG)>0,即血52+2>0， +7,构造函数y=血r+4 合零点存在性定理即可求解，解法四：分离常数得a=血x+4, +7,利用导 令()=hx-2+20>0),N(y)=+2>0, xx 数求解函数的单调性，即可结合函数图像求解，(i)根据(i)的求解可求解函数f(x)的最大值， 则h(x)在(0，+n)上单调递增，且h①)=0， 进而构造函数m)=nx-2-x+2>),利用导数求解单调性，即可得证 由于)=ng-22>0,所以名>1， 【详解11①)由于)=上，5266>0 由于“1t,令1∈0,0，y=+t在0，D上单调递增，则ae0,2W② x 2vx+1 2xvx+1 令f(x)=0,则x=2, 9合6 令f'(x)>0,xe(0,2),f(x)在(0,2)上单调递增： 由零点存在定理，存在x∈ 使得(s)=0, 当x>0时，易证nx≤x-1,则lnx≤x-1即lnx≤4x-4, 由于f(w)=nx-aWx+1+4<nx-aW+4≤4-aWE=c(4-a, 收6(5+，且马>.则f)大0， 由零点存在定理，存在∈(，x)使得∫(s)=0, 所以当a∈(0,2W2)时，f(x)在(0，+w)上有两个零点. 味24于o)30 若a≤0,2√x+1->0,f'(x)>0,于是f(x)在(0，+w)上单调递增，至多与x轴只有一个 点，矛盾： 于是a>0,令1,1>1,0=-am+2y+a,则J@2103 令80=0，则t=1±1+a 由于1+后01上1，令4-+合，名=店-1， a a a 当t∈(1，t2)时，g(t)>0,即'(t)>0,于是f(x)在(0)上单调递增， 当t∈(t2,+∞)时，g)<0,即f'(t)<0,于是f(x)在(，+o)上单调递减， 于是[f(x】x=f(体)=h-a+1+4, 若f()≤0，即ln-a+1+4≤0， 由f'()=0,则a=2+ ,可得血 2+2≤0，同解法1： (i)根据(i)可知，f(x)m=lh- 2 +2, 21+匠+1， 2+a切 2 d a V2+1-1 2 下证：hx- 2+2<飞化>1)即证：血6- 二-+2<0 股)=h+2>)m+子-1++2x+2+功 x2 令1(x)=0,x=2,于是m)在(1,2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 则(x)≤m(2)=ln2-1<0,即证. 交 14