河北衡水中学2025-2026学年高二下学期周测数学试题（3.25)

3.25错题重做 一、单选题 1.记S,n为等差数列{an}的前n项和.若2a,-a,=4,则S,=（) A.12 B.24 C.36 D.48 2.等比数列{a}中，a4+4=20,2+4=10,记I为数列{an}的前n项积，则工的最大值是 () A.256 B.512 C.1024 D.2048 7n+2 3.两个等差数列{a}和{私}，其前n项和分别为S,T,且 n+3，则 +等于() ,+b5 A B. 37 C. 79 14 D. 149 24 4.4函数f(x)=(1-cosx)sinr在[-元，元]的图象大致为() VA B 5.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f(x)<2x,且f(5)=3,则不等式 f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是() A.（-0,3) B.(3,+∞) C.(0,3) D. nr+2-,x> 6.已知函数f(x)= e 0,若函数=从x+)上有三个零点，则实数：的取值 xe,x≤0 范围是() A B. c. D. 7.关于x的方程二-nx+x=-+ar有两个不同实根，则实数a的取值范围为() B.a-1,) c.0,1-) Inm 8.已知函数f(x)=xe,g(x)=cr(1+nx),若f(s)=g()=,>0,则的最大值为() B.1 C.2 D.e2 二、多选题 9.已知函数f()= mnr,x0(aeR),则下列结论正确的是() 1-ax,x≤0 A. 当a=2时，函数∫(x)的单调递增区间为(1，+o) B.若函数f()无最小值，则a的取值范围为(-o,0) C.对于任意实数a都存在非零实数，使得f(-)=f() D.当x>0时，若方程f(-x)=∫(x)恰有3个根，则a的取值范围为 1 0忘》 10.已知函数f(x)=e-a有三个零点x,x2,5(x1<x<),则() e2 A.a> 4 B.X2+X3<4 C.若名，x,成等差数列，则x,x号，x成等比数列 D.若x,x,3成等差数列，则x-3=4n(V2-1) 三、填空题 11.若对于x∈(0，+o),关于x的不等式nx-ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围是 12.若曲线y=e与曲线y=3有三条公切线，则a的取值范围是 四、解答题 13.已知函数f(x)=(x+2)ln(x+1)-x (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程： (2)求证：(x+1)f(x)≤x2+x+1: (3)求证： 1++0+司+司其中neN)。 14.已知函数f(x)=2nx,g(e)=，a2-2xa>0). (1)若直线y=2x+m(为自然对数的底数)与函数y=f(x),y=8(x)的图象均相切，求实数a 的值 (2)设函数h(x)=f(x)+g(x)-(a+2)x+3. (i)证明：函数h(x)有两个极值点x,; (ii)对(i)中的两个极值点x,x2,若h()+h(x)≤-a-3恒成立，求实数a的取值范围 2 答案 1.【答案】C2.【答案】C 3.【答案】D 2 (4+a21) 【详解】解：因为 凸+0=4+41= 1-7×21+2149 故选D. bi+bs+ba 214+b） 3 21+3 24 4.【答案】C 【详解】由题意，x∈[-兀，]关于原点对称，又 f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cosx)sinx=-f(x)为奇函数，可排除B选项； 又x∈[0，π]时，1-cosx≥0，sinx≥0可得f(x)=(1-cosx)sinx≥0，可排除A选项， 当x∈[0，T]时，f'(x)=sin2x+(1-cos.x)cos.x=-2cos2x+cosx+l=(2cosx+1)(-cosx+1), 当xe0,网时，-csx+1≥0，所以当0<<时，f0,当<x<x时，f<0,所 以)在 上单调递增，在 3,π上单调递减， 结合图像分析D不对，C选项正确. 5.【答案】D 【详解】设8(x)=f(x)-x2(x>0),则g'(x)=f'(x)-2x. 因为f'(x)<2x,所以'(x)-2x<0,即g'(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-12>-22,即g(2x-1)>-22.因为 f(5)=3,所以g(5)=f(5)-52=-22,所以g(2x-1)>g(5) 因为g()在(0，+)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得}<x<3. 6.【答案】C 【详解】当x>0时，f(x)=nx+2-1可以看作函数y=lnx向上平移2-】个单位， 当x≤0时，f(x)=xe,则f"(x)=e+xe=e(1+x), 因为当x∈（∞，-1），f'(x)<0,当x∈(-1,0)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-0，-1)上单调递减，在(-1,0)上单调递增， f-1)=f0)=0f0)=2-3 作出函数f(x)图象如下图， y=k(x+1) y=f(x) 令8()=x+。则（过定点-1 由图易知，当k=二时，g(x)图象与f(x)图象有4个交点， 0时，了()=子当g(9图象与了)图象相切时，设切点为，低+2- 此时y- g-月-.1-。人解a. 即此时k=1, 则k的取值范围为二<k<1,故C正确. 7.【答案】B 【详解】方程-lnx+x=ea-i+a心一e-+a心-x=eax+(←h),令函数g()=e+x, 而g'(w)=e+1,则函数g(x)在R上单调递增，又方程等价于8(ar-x)=g(hx), 因此ar-x=-lnx台a=l-nr 令函数f()=1-血x,依题意，方程f()=a有两个不同实根， 得f=h当0<<e时，fw)<0:当>e时，fx)>0 函数f()在(0，e)上单调递减，在(c,+0)上单调递增，f)m=f@=1-1， 又f日=1+e,当x>1时，恒有f)<1,则当且仅当1-<a<1时，方程f)=a有两个不同 实根，所以实数a的取值范围为a-上，). 8.详解】由题意可得f(5)=e=m,则h=lh+, 由g(s)=cs(1+lnx)=m,则hm=1+n5+ln(1+lnx), 令1+hx3=t,则nm=t+lnt,令h(x)=x+hx,可知函数h(x)在(0，+oo)上单调递增， 所以当hm=l血x1+x=t+ht有唯一解，即t=x,即l+n5=x,可得x2=e1, x+Inx Inu elnu 所以 -e,令=eu>0,则u=+n,所议se e 令p0=a>0,剥r0tn,令r创-0，即1-m=-0,解得u=e, u 当0<u<e时，p(u)>0,则p()在(0，e)上单调递增， 当u>e时，p'(u)<0,则p(I在(e,+o)上单调递减， 所以函数p(u)在u=e处取得极大值，也是最大值，为p(e)= elne=1, 所以 的最大值为1.故选：B, X1X 9.【答案】ABD -2x+1,x≤0 【详解】对于A,a=2时，f(x)= ,由函数的图象知，函数在区间(1，+∞)单 Inx,x>0 调递增，故A正确： 1-a,x≤0 对于B,f(x)= -hx,0<x<1,画出函数的图象，如图所示， Inx,x>1 >0 a=0 a<0 由题意可得，函数f(x)无最小值，则a的取值范围为(-∞，O),故B正确； 对于C,设x>0,则-x<0,f(-x)=f(x)，则+l=n, 如图，当a<0时，y=+1与y=lnx并不一定有交点，故C错误： y=Inx 2 对于D,当x>0时，若f(-x)=f(x)恰有3个根，可得ax+1=|ln(x>0)有三个不同 的根 如图，作出函数y=lx的图象，直线y=ax+1过定点(0,1) 当x>1时，设过点(0,1)的直线与曲线y=lnr的切点为(6，ln). 1 由=·得y所以，故切线方程为y6 将点(0,1)代入，得1-ln,=-1,即=e2,所以切线的斜率为 则a的取值范围是 1 ,故D正确故选：ABD 10.【答案】ACD 【详解】当a≤0时，f(x)=e-x>0,不合题意： 当a>0时，分别画出y=e*与y=ax2的图象，如图： -e 所以<0<为<3 对于A令四=c-m=0,得a=号设g()-S(>0,则g)-e2, 3 当x∈(0,2)时，g'(x)<0,即g(x)单调递减， 当x(2,+o)时，g'(x)>0,即g(x)单调递增， 所以g(2g(a-又→0，g国→o:→，ge, 要使得f(y)=e-a有两个大于0的零点，则a>。，故A正确： 4 对于B,由A,取x=1,则g)=e,又g(3)= F。<e,而g(g)在x∈(2，+∞)上单调递增，所 以存在x3>3,使得g()=,所以x2+x3>4,故B错误： 对于C,由题得 北2三2=2，折以22一三5 2.七4·即e3© 由于x,2,3成等差数列，所以2x=x+x3,所以=， 所以X,x,x成等比数列，故C正确： 对于D自f=,且<0长，则=场5=兰 2 即-6x3=了+写，所以 +6+1=0,由点<0，解得5=3-22， X 因为学-e,周以-=-23a=2训3=时2孩D正 确.故选：ACD 11.【答案】[e,+o) 12.【答案】 27,0∞ 【详解】设f(x)=e,g(x)=a3,则f'(x)=e，g'(x)=3ax2. 设公切线与曲线y=e切于点(x1,e),与曲线y=3切于点(x,), 则公切线的斜率k=c=3a心=c-a,消去e,得3am(x-6)=3a-. x-七3 因为3a=e>0,所以=13，即飞-35 2 将其代入e=3a并分离参数，得4-(s-l 27ae1 令h0=-少，则=-13-D, er e* 则h(x)在(-∞，1)上单调递减，在(L,3)上单调递增，在(3，+o)上单调递减， 则(x)的极小值为h0=0,极大值为3)=怎· 当x→+∞时，h(x)→0，当x≠1时，h(x)>0. 因为曲线y=e与曲线y=ax3有三条公切线， 所以关于x的方程4-s-少恰有3个不同的实数解， 27a e 则 e3 e0号，即ae7+o∞故答案为： 4 4 27a 27,+0∞ 13.【详解】(1)由函数f(x)=(x+2)n(x+1)-x,可得 f')=n(x+1+x+3-1=n(x+1)+1。 x+1 x+1’ 则f'(0)=1且f(0)=0,即切线的斜率为k=1,切点坐标为(0,0)， 所以曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程为y=x. 2)出1)知：-h(++,则(x+广=(+)hn(+l. 不等式(x+1)f'()≤x2+x+1,即(x+1)h(x+1)+1≤x2+x+1, 即(x+1)ln(x+1)≤x2+x=x(x+1),其中x>-1, 设t=x+1,可得x=t-1,且t>0,不等式即为lnt≤t-1,t>0, 令80=1-1+1>0，可得g0}1-, t 当0<t<1时，g(t)>0,8(t)单调递增；当t>1时，g(t)<0,8(t)单调递减， 所以t=1时，函数8()取得最大值，最大值为8(9)a✉=g)=血1-1+1=0， 所以g(t)≤g(I)=0,即lnt-t+1≤0，所以nt≤t-1,所以(x+1)f(x)≤x2+x+1. (3)由(2)知：c+f四sr+r+1,又r)-h(++ 则(x+0山(++≤++1，其中x>山，化简得血(x+≤ 1,1,1， 5Q- 由等比数列的前”项和公式，可得；计，十++子=子 1-1 所以++h-动-+n-+-} 所以++0+)-( 14【详解】(1)由fx)=21nx可得f(x)2,令f(y)=2=2c,可得x=1,所以y=-2, 所以直线y=2+m与函数yf9的图象相切于点（日习 将点怎2代入=28+m,可得m=4即切线方程为v=2-4, 将切线方程y=2x4代入g(创-ax2-2a>0)中，可得r2-(2c+2)x4=0, 令判别式△=(2c+2-4×ax4=0即得a-e.所以实数a的值为e,少 2 (2)i)h=2hx+2m2-(a+4到x+3,则()-=2+am-a+4=-a+x+2 1 考虑到ax2-(a+4)x+2=0的判别式△=(a+4)2-&a=d+16>0,以及a>0, 所以h(x)=0有两个不等实根x,x, 设5<5，且x+-a44>0,=2>0, a 所以当x∈(0，)，(x)>0;当x∈(，x)时，h(x)<0; 当x∈（化，+o)时，N(c)>0,即函数h()有两个极值点，，x2. (i)h()+h(s)-2血x+血)+与a(5+5)-(a+4(5+s)+6 =2h5500s+s-2c]-a+4+6)+6 =2h24+8a+16-8-=2h2_g-8 a 2a a 2 a 若h(s)+h(5)s-a-3恒成立，则2n2+g8+3≤0恒成立， a 2 a 记pa@=2n2+号-8+3则p(a=2+58-a-2y+12>0, a 2 a 2a2 所以p(a)在(0，+w)上递增，因为p2)=0,所以由p(a)≤0=p(2)可得0<a≤2， 所以实数a的取值范围为0<a≤2. 6