重难点专题02 一元二次方程求参问题4大题型（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

重难点专题 一元二次方程求参问题 重难点一 利用一元二次方程的定义求参数 1）定义：形如 （）的方程是一元二次方程； 2）核心条件：二次项系数a≠0，且未知数最高次数为2； 3）列不等式（组）：令二次项系数≠0，结合次数条件，求解参数范围； 4）验根：若参数影响方程有意义，需额外验证被开方数、分母等条件（若有）。 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·上海·月考）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为，且二次项系数不为，列方程求解． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 3．（25-26八年级下·山东东营·月考）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】5 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，据此列式方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且，解得：且， ∴m的值为5． 4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是关于的一元二次方程，求的值． 【答案】的值为2或3或4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义的应用，能理解一元二次方程的定义是解此题的关键． 分三种情况讨论，求出的值即可． 【详解】解：分以下三种情况讨论： ①当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ②当时，方程是一元二次方程，解得；此时方程化为，二次项系数为，符合题意； ③当时，即，此时方程的二次项系数为，符合题意． 综上所述，的值为或或． 6．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 重难点二 已知一元二次方程的解求参数 1）直接代入法：将已知的解（x的值）代入原方程，得到关于参数的一元一次（或二次）方程； 2）求解参数：解关于参数的方程，得出参数的初步值； 3）验证取舍：若原方程是一元二次方程，需验证参数满足 ；若有多个解，需确保所有解均满足原方程。 7．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）已知关于x的一元二次方程有一根为1，则m的值为（   ） A． B．或0 C．0 D．1 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程的定义和方程根的概念求解，先将已知根x=1代入方程求m的可能值，再根据一元二次方程二次项系数不为0舍去不符合条件的值即可. 【详解】∵原方程是关于x的一元二次方程 ∴二次项系数，即. ∵x=1是原方程的一个根 ∴将x=1代入原方程得 整理得，即 解得或. 又∵ ∴舍去，得. 8．（25-26九年级上·重庆·月考）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．2020 B．2022 C．2021 D．2024 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，注意整体思想的运用． 将 代入方程，求出 的值，再整体代入所求表达式计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． ． 故选： B． 9．（25-26九年级下·江苏常州·月考）若是方程的根，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后整体代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则a的值为__________. 【答案】 【分析】根据题意得到且，即可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴且， 解得． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知t是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】根据方程根的定义得出，然后化简求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式． 重难点三 已知根的情况求参数或取值范围 1）化为标准式：将原方程化为 （）； 2）算判别式：（牢记公式，带符号计算）； 3）列不等式（组）：根据根的情况确定Δ的取值：有两个不相等实数根 → ；有两个相等实数根 → ；无实数根 →；有实数根 → 。 4）求解参数：解不等式（组），结合 ，取公共部分。 12．（2026·甘肃陇南·模拟预测）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据两个不相等的实数根得到判别式大于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 又∵原方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 解得：， 综上，的取值范围是且． 13．（2026·甘肃平凉·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 14．（2026·江苏南京·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为正整数，则的值为______． 【答案】或 【分析】由一元二次方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根，则，再结合为正整数求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得，又为正整数， 或． 15．（2026·山东滨州·一模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 16．（2026·广东佛山·一模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”列出关于的不等式，解之即可得出的取值范围，然后在的范围内取值即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值可以是． 17．（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵p是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：， 变形得， 将其代入得：， 解得：，， ∵， ∴． 18．（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 19．（25-26九年级上·山西临汾·月考）已知关于的一元二次方程，其中分别为三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； 【答案】为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，一元二次方程根的判别式． 根据方程有两个相等的实数根得到，然后化简得到，即可证明． 【详解】答：为直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根 ． 为直角三角形 20．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）若一元二次方程右边被污染，其中“”表示一个常数． (1)若“”表示，求的值； (2)若这个方程有两个实数根，求“”的最小值． 【答案】(1)，； (2)． 【详解】（1）解：∵“”表示，， ∴，即， 解得：，； （2）∵令“”表示的数为， ∴，整理得：， ∵方程有两个实数根， ∴， ∴，解得：， ∴的最小值为， ∴“”的最小值为． 重难点四 已知根的判别式情况求参数 1）先判断方程类型：确保是一元二次方程（），若不确定，需分“一元一次”“一元二次”讨论； 2）结合根的特征：（如正根、负根、两根之和/积、整数根等），灵活运用判别式、根与系数的关系（韦达定理）； 3）列关系式：根据根的情况，列出Δ的不等式+根的特征关系式（如两根之和>0、两根之积>0）； 4）求解验证：解不等式（组），代入原方程验证，舍去不符合条件的参数值。 21．（2026·安徽合肥·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况． 【详解】解：中， ， 令，解得或， 时，有两个相等的实数根； 当时，，没有实数根； 当时，，有两个不相等的实数根． 综上可得，无法判断根的情况． 22．（2026·河南周口·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义将给定方程转化为标准一元二次方程，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义运算得， 整理为一元二次方程标准形式：， ， ∴方程无实数根． 23．（25-26九年级上·广东阳江·期末）关于的一元二次方程的根的情况是_________． 【答案】 有实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，解题的关键是正确计算判别式并判断其符号．先确定一元二次方程的系数a，b，c；再代入根的判别式公式进行计算；最后根据的符号判断根的情况． 【详解】解：对于方程， ，，， ， ． 故该一元二次方程有实数根． 故答案为：有实数根． 24．（25-26八年级下·浙江温州·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）把代入原方程中得到关于k的方程，解方程即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有一个根是2， ∴把代入得， 解得； （2）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根． 25．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知的一条边的长为3，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)，周长为7 ，周长为8 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质分两种情况讨论得出答案． 【详解】（1）解： ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解方程得：，； 是等腰三角形， 或 ①若；则； ，三边为2,2,3,满足三角形三边关系，此时周长为； ②若；则； ，三边为3,3,2，满足三角形三边关系，此时周长为． 26．（2026七年级下·山西太原·专题练习）已知方程是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程只有非负整数根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）计算，并判断即可； （2）先解方程，然后根据方程只有非负整数根，得出或或，再分别解方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：解方程， ， 或， ∴，， ∵方程只有非负整数根， ∴或或， 解得或或，经检验，都符合题意． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题一元二次方程求参问题 定义型求参 重难点一：利用一元二次方程的定义求参数 元二次方程求参问题 重难点一：已知一元二次方程的解求参数 已知方程解的情况求参 重难点二：已知根的情况求参数或取值范围 重难点三：已知根的判别式情况求参数 重点化 重难点一利用一元二次方程的定义求参数 煤方法 1)定义：形如ax2+bx十c=0(a≠0)的方程是一元二次方程； 2)核心条件：二次项系数a≠0，且未知数最高次数为2； 3)列不等式（组）：令二次项系数≠0，结合次数条件，求解参数范围； 4)验根：若参数影响方程有意义，需额外验证被开方数、分母等条件（若有）。 1.(25-26九年级上·湖南张家界·期末)关于x的方程(m-2)x22-5x-1=0是一元二次方程，那么 m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.±3 2.（25-26八年级上·上海月考)己知关于x的方程(k一2)x州+x+1=0是一元二次方程，则k的值应为 () A.±2 B.-2 C.2 D.不能确定 3.(25-26八年级下山东东营月考)关于x的方程(m+2)xm23-8+x+1=0是一元二次方程，则m 的值为一。 4,(25-26九年级上广东深圳期末)若关于x的一元二次方程(x+2)2=m(2x+1)中不含x的一次项， 则m的值是 5.(25-26八年级下.全国·课后作业)若方程(k-3)x-2+x2+kx+1=0是关于x的一元二次方程，求 k的值。 6.(25-26九年级上湖南邵阳·月考)方程(m-3)x27+(m-2)x+5=0,m为何值时，方程是一元 二次方程. 1/4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 重难点二已知一元二次方程的解求参数 嫦方法 1)直接代入法：将已知的解(x的值)代入原方程，得到关于参数的一元一次（或二次）方程； 2)求解参数：解关于参数的方程，得出参数的初步值； 3)验证取舍：若原方程是一元二次方程，需验证参数满足a≠0；若有多个解，需确保所有解均满足原方 程。 7.(2026九年级·黑龙江齐齐哈尔.专题练习)已知关于x的一元二次方程(m+1)x2-x+m2=0有一根 为1，则m的值为() A.-1 B.-1或0 C.0 D.1 8.(25-26九年级上·重庆月考)若x=2是关于x的方程ax2-bx=2的解，则2023-2a十b的值是() A.2020 B.2022 C.2021 D.2024 9.(25-26九年级下江苏常州月考)若m是方程x2-3x-1=0的根，则2m2-6m的值为 10.(2026四川宜宾.一模)已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0,则 a的值为 11.(25-26八年级下.安微合肥月考)已知t是方程x2-4x=2的一个根，求代数式 (t+3(t-3)+(t-4)的值， 重难点三己知根的情况求参数或取值范围 啸方法 1)化为标准式：将原方程化为ax2+bx十c=0(a≠0)： 2)算判别式：△=b2-4ac(牢记公式，带符号计算)： 3)列不等式（组）：根据根的情况确定△的取值：有两个不相等实数根一△>0；有两个相等实数根一 △=0；无实数根一△<0；有实数根一△≥0。 4)求解参数：解不等式（组），结合a≠0，取公共部分。 12.(2026甘肃陇南模拟预测)如果关于x的一元二次方程kx2一4x+1=0有两个不相等的实数根，那么 k的取值范围是() A.k<4且k≠0 B.k≤4且k≠0 C.k<4 D.k≥4 13.(2026甘肃平凉.一模)若关于x的方程x2一2kx一4k+1=0有两个相等的实数根，则代数式 2/4 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2026-2k2-4k的值为() A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 14.(2026江苏南京模拟预测)若关于x的一元二次方程x2一3x+k=0有两个不相等的实数根，且k为 正整数，则k的值为 15.(2026·山东滨州.一模)若关于x的一元二次方程ax2一2x一3=0有两个不相等的实数根，则实数a的 取值范围为 16.(2026广东佛山一模)关于x的一元二次方程(x+5)2-m+2=0有两个不相等的实数根，m的值 可以是 (写出一个即可)： 17.(25-26八年级上·安徽六安月考)己知关于x的一元二次方程2x2+3x-m+2=0有两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)设p是方程的一个实数根，且满足(2p2+3p-1)(m-2)=6,求m的值. 18.(25-26九年级下.北京·月考)已知关于x的一元二次方程mx2-(m+2)x+(4-2m)=0. (1)求证：此方程总有两个实数根： (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数m的值. 19.(25-26九年级上山西临汾·月考)已知关于x的一元二次方程(c+b)x2+2ax+(c一b)=0,其中 a、b、c分别为△ABC三边的长.如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； 20.(25-26九年级上河北邯郸期末)若一元二次方程x2一4x=■右边被污染，其中“■”表示一个常数， (1)若“■"表示-3，求x的值； (2)若这个方程有两个实数根，求“■”的最小值. 重难点四己知根的判别式情况求参数 端方法 1)先判断方程类型：确保是一元二次方程（a≠0)，若不确定，需分“一元一次”“一元二次”讨论； 2)结合根的特征：（如正根、负根、两根之和/积、整数根等），灵活运用判别式、根与系数的关系（韦达 定理)： 3)列关系式：根据根的情况，列出△的不等式+根的特征关系式（如两根之和>0、两根之积>0)： 4)求解验证：解不等式（组），代入原方程验证，舍去不符合条件的参数值。 21.(2026安徽合肥.一模)关于x的一元二次方程x2一bx-2b=0(b>-2的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 3/4 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 22.(2026河南周口.一模)定义运算：a※b=a2-2ab+1.例如：43=42-2×4×3+1=-7.则 方程3x※（一1）=一2的根的情况为() A,有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 23.(25-26九年级上广东阳江·期末)关于x的一元二次方程x2+（m-1)x-m=0的根的情况是 24.(25-26八年级下.浙江温州月考)己知关于x的一元二次方程x2-(k+2)x+k-1=0. (1)如果方程的一个根是2，求k的值 (2)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根： 25.(25-26八年级下·安微阜阳·月考)已知△ABC的一条边BC的长为3，另两边AB、AC的长是关于x 的一元二次方程x2-(m一2)x+2m-8=0的两个实数根. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根： (2)当m为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长 26.(2026七年级下.山西太原.专题练习)已知方程mx2-2(m+1)x+m+2=0(m≠0)是一元二次 方程. (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根： (2)若方程只有非负整数根，求m的值. 4/4