专题03一元二次方程的应用十一类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

专题03 一元二次方程的应用十一类题型 典例详解 类型一、一般销售问题 类型二、最大利润问题 类型三、增长率/下降率问题 类型四、几何面积问题 类型五、数字问题 类型六、动点问题 类型七、传播问题 类型八、工程问题 类型九、行程问题 类型十、图表信息问题 类型十一、握手问题 压轴专练 类型一、一般销售问题 例1（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 变式1-1（22-23九年级上·四川成都·期末）某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． (1)当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ (2)若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 变式1-2（21-22八年级下·江苏苏州·月考）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 变式1-4（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 类型二、最大利润问题 例2（24-25八年级下·山东淄博·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于70件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为66元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 变式2-1（22-23八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 变式2-2（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 变式2-3（24-25八年级下·山东泰安·期末）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 类型三、增长率/下降率问题 例3（22-23八年级上·上海静安·期中）上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 变式3-1（22-23八年级下·浙江宁波·期末）招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式； (3)当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 变式3-2（22-23八年级下·浙江金华·月考）随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 类型四、几何面积问题 例4（25-26八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 变式4-1（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4-2（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． (1)用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； (2)如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 变式4-3（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 类型五、数字问题 例5（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 变式5-1（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 变式5-2（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 类型六、动点问题 例6（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 变式6-1（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 变式6-2（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 变式6-3（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 类型七、传播问题 例7（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 变式7-1（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 变式7-2（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 变式7-3（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 类型八、工程问题 例8（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 变式8-1（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 变式8-2（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 类型九、行程问题 例9（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 变式9-1（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 变式9-2（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 类型十、图表信息问题 例10（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 变式10-1（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 变式10-2（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 类型十一、握手问题 例11（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 变式11-1（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 1.（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 3.（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 4.（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 5.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 6.（24-25八年级上·上海·月考）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 7.（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 8.（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 9.（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 10.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用十一类题型 典例详解 类型一、一般销售问题 类型二、最大利润问题 类型三、增长率/下降率问题 类型四、几何面积问题 类型五、数字问题 类型六、动点问题 类型七、传播问题 类型八、工程问题 类型九、行程问题 类型十、图表信息问题 类型十一、握手问题 压轴专练 类型一、一般销售问题 例1（23-24八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 平衡市场方案 该商品的网上销售价每件_________元时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等 任务3 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 【答案】（1）任务1：网上销售：4000元；实体店销售：3200元；（2）任务2：60或46；（3）任务3：58或56元 【分析】本题考查了有理数的混合运算，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键． 任务1：根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等，分别算出网上销售和实体店销售的利润，根据相等列式求解即可； 任务3：设网上销售单价下降y元/件，分别算出网上销售和实体店销售的利润再算总利润等于8160，进行求解即可． 【详解】解：任务1：网上毛利润为：（元）， 实体店毛利润为：（元）； 任务2：设网上销售单价下降x元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等， 根据题意得： ， 整理得：，解得：或， 当网上销售单价下降0元或14元时，即售价为60元/件时，或46元/件时，该公司网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润相等； 任务3：设网上销售单价下降y元/件， 则网上毛利润为：， 实体店毛利润为：； 总毛利润为：， 根据题意， 解得：，， 或56， 则每件商品的网上销售价是58或56元． 变式1-1（22-23九年级上·四川成都·期末）某大型批发商场平均每天可售出某款商品件，售出1件该款商品的利润是10元． 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出件．为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品． (1)当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为元？ (2)若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元 (2)按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元 【分析】（1）利用降价后每瓶的销售利润=原来每瓶的销售利润－降低的价格，即可得出降价后每瓶的销售利润，再用提升后的销量乘以利润等于总利润，由此列出方程求解即可； （2）由（1）所得的算式，使得总利润等于列式计算即可． 【详解】（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得， ， 即 解得：， 答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为元 （2）解：， 即 ∵，原方程无解， ∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用以及根的判别式，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，牢记“当时，方程无实数根”． 变式1-2（21-22八年级下·江苏苏州·月考）某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． (1)若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2)若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 变式1-4（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 类型二、最大利润问题 例2（24-25八年级下·山东淄博·期末）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变且销售量不低于70件，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为66元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？ 任务3 优化价格方案 当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？ 【答案】任务1：5760元，3200元；任务2：每件商品的网上销售价下降2元；任务3：网上销售价下降5元时，总毛利润最大 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． 任务1：根据题意列式求解即可； 任务2：设网上售价下降元，根据题意列出一元二次方程得到，，然后根据题意列出不等式求解即可； 任务3：首先根据题意列出不等式得到且为正整数，然后分情况求解即可． 【详解】解：任务1： 由题意，当网上售价降至66元/件时，下降幅度为：（元）， 网上总销量为（件）． 网上毛利润为：（元）． 实体店销量减少：（件）， 实体店总销量为（件）． 实体店毛利润为：（元）．； 任务2： 由题意，设网上售价下降元， 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总利润方程为： 整理得， 解得，． ， ． 每件商品的网上销售价下降2元． 任务3： 由题意，且为整数， 且为正整数． 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 当时，总利润为：（元）， 网上销售价下降5元时总毛利润最大． 变式2-1（22-23八年级下·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？ 素材1 某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件． 素材2 该商品的网上销售价定为60元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为80元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，网上销售每天平均多售出20件，实体店的销售受网上影响，平均每天销售量减少2件． 问题解决 任务1 计算所获利润 当该商品网上销售价为50 元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？ 任务2 拟定价格方案 公司要求每天的总毛利润（总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润）达到8160元，求每件商品的网上销售价是多少元？ 任务3 探究最大利润 该商品的网上销售价每件______元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大． 【答案】任务1：网上毛利润为元，实体店毛利润为元；任务2：该商品的网上销售价是每件58元或56元；任务3：57 【分析】任务1：根据毛利润=单件毛利润×销售数量求解即可； 任务2：先分别求出两种销售方式的毛利润，再根据总毛利润＝网上毛利润＋实体店毛利润求解即可； 任务3：结合任务2的结论，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）网上毛利润为：元 实体店毛利润为：元 （2）设网上销售价下降x元/件，则 网上毛利润为： 实体店毛利润为： 总毛利润为： 根据题意得， 解得，； ∴或56 答：该商品的网上销售价是每件58元或56元 （3） ∵ ∴ ∴网上销售价每件下降3元，每天销售这种小商品的总毛利润最大 此时销售价为：（元） 故答案为：57 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，列代数式，以及完全平方公式的变形求值，一元二次方程的应用，根据题意列出总毛利润的代数式是解答本题的关键． 变式2-2（24-25八年级下·浙江舟山·期中）某商店销售一种商品，每件的进价为20元．根据市场调查，当售价不低于30元/件时，这种商品销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系的部分图象如图所示． (1)求y关于x的函数解析式；（不需要写自变量取值范围） (2)若商店销售这种商品获得利润625元，则应该定价多少元？ (3)若商店要利润达到最大，则商店应定价多少？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)应该定价45元 (3)商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，配方法的意义，一元二次方程的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式和列出方程求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，据此列出方程求解即可； （3）根据题意总利润等于单件商品的利润乘以销售量，设出总利润关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为， 把图象上两点，代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得（舍去）或， 答：应该定价45元； （3）解：设商店的利润为W元， 由题意得 ， ∵， ∴，当且仅当，即时取得等号， ∴商店应定价35元时，利润最大，最大利润为1125元． 变式2-3（24-25八年级下·山东泰安·期末）研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 类型三、增长率/下降率问题 例3（22-23八年级上·上海静安·期中）上海某企业今年二月份的产值比一月份的产值增长，三月以来，生产呈现出下降趋势，四月份的产值比一月份的产值下降．若三、四月份的月平均下降率为x，则以下关系正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】设一月份的产值为a，根据题意可用a和x表示出四月份的产值为或，则，即． 【详解】解：设一月份的产值为a， 则二月份的产值为， ∴三月份的产值为， 四月份的产值为． ∵四月份的产值比一月份的产值下降， ∴四月份的产值还可表示为， ∴， 则． 故选D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 变式3-1（22-23八年级下·浙江宁波·期末）招宝山是宁波市十大风景游览区之一，也是镇海口海防遗址的重要组成部分，每到假期各地游客纷纷前来游玩．据统计，今年五一小长假第一天招宝山的游客人数为人次，第三天游客人数达到人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区附近商店推出了木质旅游扇，每把扇子的成本为元．根据销售经验，每把扇子定价为元时，平均每天可售出把．若每把扇子的售价每降低元，平均每天可多售出把．设每把扇子降价元，商店每天所获利润为元，求商店利润关于的函数关系式； (3)当每把扇子的定价为多少元时，商店每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率是，得到，求出的值即可； （2）设每把扇子降价元，则每把扇子的利润为元，扇子销售量为把，根据：利润＝（售价-进价）×销售量，可求出商店利润关于的函数关系式； （3）由，即可解决问题． 【详解】（1）解：设游客人数的平均日增长率为， 由题意得：， 解得：，（负值不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）设每把扇子降价元， 根据题意得：， ∴商店利润关于的函数关系式为； （3）∵， 又∵， ∴， ∴当时，商店每天所获利润最大，最大利润是元， 此时商品定价为：（元）， ∴当每把扇子的定价为元时，商店所获利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的应用，平方的非负性的应用．解题的关键是由题意列出关于平均日增长率的方程；商店利润关于的函数关系式． 变式3-2（22-23八年级下·浙江金华·月考）随着电商的发展，网上购物成为主流，催生了快递行业的快速发展．据调查，某市一家快递公司，今年一月份和三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件．现假定该公司一月至四月每月投递的快递总件数的增长率相同． (1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率 (2)如果平均每人每月最多可投递快递0.9万件，那么该公司现有的15名快递投递业务员能否完成今年四月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】(1)该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为 (2)不能完成，至少还需增加5名业务员． 【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据“今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为13万件和15.73万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可，注意合理取舍x的值； （2）首先求出今年四月份的快递投递任务，再求出15名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年四月份的快递投递任务，然后再求出至少需要增加业务员的人数即可． 【详解】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意得 ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为． （2）解：4月：（万件） ， ∴该公司现有的15名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务， 设共需要名业务员才能完成任务，则， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为20， ∴至少还需增加：（名）业务员． 类型四、几何面积问题 例4（25-26八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 【答案】 【分析】根据题意可得正方形休闲广场的边长为，根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴步道的宽为； 设区域丙的边长为， 由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多， ∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大， ∴， ∴， ∴塑胶跑道的总面积为． 变式4-1（25-26八年级下·安徽合肥·月考）2025年11月，世界首座千米级双层斜拉一悬索协作体系公铁大桥——安徽铜陵长江三桥正式通车．铜陵长江三桥是《长江干线过江通道布局规划（2020—2035年）》中规划的过江通道之一，是安徽省重大基础设施建设项目，如图，某摄影爱好者拍摄一张长为、宽为的大桥全景照，现要在照片四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设照片四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意得，矩形挂图的宽为，长为，根据长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：依题意得：． 变式4-2（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）如图①，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图②），得到大小两个正方形． (1)用关于的代数式表示图②中小正方形的边长为______； (2)如图②，当大正方形与小正方形的面积差为28时，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边，再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形边长； （2）由图可知，列式求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边， 较长的直角边， ∴小正方形的边长； （2）解：由图可知， ∴， 化简为， 解得：或（舍）， 则的值为2． 变式4-3（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）根据题意，即可得出边的长度，然后由矩形的面积公式，即可得出矩形的面积； （2）根据题意，即可得到方程，进一步解方程得，，再根据墙的长度为20m，舍去不符合题意的情况，即可得出的边长； （3）根据矩形的面积公式，得到方程，通过计算根的判别式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，边的长为， 矩形的面积为． （2）解：由题意得，， 整理得，， ， 解得，，． 又墙的长度为20m， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， 即的边长为． （3）解：不可以，理由如下： 若， 即， 此时，， 该方程无实数根， 故矩形的面积不可以是． 类型五、数字问题 例5（24-25八年级下·全国·课后作业）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小4，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小18，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数为53 【分析】本题主要考查了列代数式，列一元二次方程解决数字问题，解题的关键是根据题意列出代数式． 设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为，根据题意表示出两位数，然后列出方程求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为， 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴． 答：原来的两位数为53． 变式5-1（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字问题，掌握根据数字间的关系列方程，求解后结合实际意义检验根的合理性是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的十位数字为，根据十位与个位的数量关系表示出个位数字，再根据个位数字的平方等于该两位数列方程，求解后结合30岁时担任都督的实际条件检验，确定年龄． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是． 依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 变式5-2（25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知整数与的平方和可以表示为，现有两个连续的正整数． 【尝试】（1）若这两个连续的正整数中，较小的数是3，计算它们的平方和； 【建模】（2）若这两个连续的正整数的平方和是145，求这两个正整数． 【答案】（1）它们的平方和是25（2）这两个正整数分别是8和9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由较小的数是3，可得出较大的数是4，将两个数的平方相加，即可求出结论； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是，根据这两个连续正整数的平方和是145，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）较小的数是3， 较大的数是4， 它们的平方和是． 答：它们的平方和是25； （2）设较小的正整数是，则较大的正整数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ． 答：这两个正整数分别是8和9． 类型六、动点问题 例6（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则 ，， ，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 变式6-1（24-25八年级下·浙江宁波·月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 变式6-2（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 变式6-3（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果两点同时出发，几秒时，是等腰三角形？ 【答案】()秒 【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为秒，用含的代数式表示各边长度，尤其注意，所以只有这种情况，同时需检验解是否符合点的运动范围()． 【详解】解：设运动时间为秒()，则，，． ∵， ∴． ∵是等腰三角形， ∴， ， 在中，由勾股定理得． 当时，， 两边平方得，整理得， 由一元二次方程求根公式得， ， ∴舍去，保留； 答：()秒时，是等腰三角形． 类型七、传播问题 例7（25-26九年级上·山东聊城·期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与支干数目相同的小分支，主干、支干和小分支的总数是，求每个支干长出多少小分支．设每个支干长出x个小分支，那么根据题意可以列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据主干、支干、小分支的数量关系，结合总数为列方程即可． 【详解】解：∵主干的数量为1个，每个支干长出个小分支， ∴支干的数量为个，小分支的数量为个， 又∵主干、支干和小分支的总数是121， ∴可列方程为， 故选：A． 变式7-1（25-26九年级下·江苏盐城·月考）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“ 甲流 ”初期，有 1 人感染了“ 甲流病毒 ”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有 225 人感染了“ 甲流病毒 ”，则每轮传染中平均一个人传染了 ____ 人． 【答案】14 【分析】根据传染过程确定两轮传染后总感染人数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际意义的根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 根据题意，得 ， 整理得：， 解得，， 因为传染人数不能为负数，所以舍去，． ∴每轮传染中平均一个人传染了人． 变式7-2（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 变式7-3（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 类型八、工程问题 例8（25-26九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 变式8-1（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 变式8-2（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 类型九、行程问题 例9（25-26九年级上·江苏南通·期末）一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 变式9-1（25-26九年级上·福建三明·月考）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 变式9-2（25-26九年级上·全国·周测）如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 类型十、图表信息问题 例10（25-26九年级上·全国·期末）某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a度，那么这居民这个月只需缴30元电费；如果超过a度，那么这个月除了仍要缴30元的用电费以外，超过的部分还要每度按元缴费． (1)若该厂某户居民2月份用电度，超过了规定的a度，则超过的部分应缴电费多少元（用a表示）； (2)如表是这户居民3月、4月用电情况和缴费情况： 月份 用电量（度） 缴电费总数（元） 3 120 62 4 65 30 请根据如表数据，求出电厂规定的a的值． 【答案】(1)元 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用． （1）由题意列出代数式即可得出结论； （2）由3月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，超过a度的电费为元； （2）由表格可知3月份的用电量超过a度，故：， 整理得：， 解得：， ∵4月份用电量度，交费元， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴， 答：电厂规定的a的值为． 变式10-1（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 变式10-2（21-22八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 类型十一、握手问题 例11（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 变式11-1（25-26九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 1.（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 2.（24-25八年级下·全国·课后作业）在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（    ） A．208 B．210 C．212 D．214 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用（比赛积分问题），以及数的整除性和奇偶性分析．解题的关键是先根据比赛规则推导得分总数的表达式，再依据表达式为两个连续正整数乘积的特征，判断正确数据． 【详解】解：设参赛选手有位（为正整数） ∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局 ∴比赛总场次为 ∵每局比赛无论胜负，总分增加分 ∴全部选手的得分总数为 即得分总数必为两个连续正整数的乘积 ∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积 ∴正确的数据为210． 故选B． 3.（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 4.（24-25九年级上·广东·开学考试）有一个两位数，个位数字与十位数字的和为，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大，求这个两位数． 【答案】这个两位数是68 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为，然后根据题意列出方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则其个位数字为， 根据题意，得：， 整理得， 解得，（舍去） ∴ 答：这个两位数是68． 5.（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)每台空调应降价元 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设每台空调应降价元，根据“如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台，获利30000元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，求出函数表达式为，再结合题意求出，，根据一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台空调应降价元， 由题意得：， 解得：，， ∵秉承扩大销量的原则， ∴， ∴每台空调应降价元； （2）解：设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台， 则， 由题意得：，， 解得：，， 当时，，函数随着的增大而增大，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，，函数随着的增大而减小，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台． 综上所述：当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大． 6.（24-25八年级上·上海·月考）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形．如果要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？ (1)依题意可知正中央的长方形的长宽之比为 ；正中央的长方形面积是封面面积的 ． 请依据问题1的数量关系解决问题： 解：设正中央的长方形长宽分别为 、 ．（依题意列方程求解） (2)你还有其他的方法吗？（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比．） 解：设上、下边衬的宽度是 ，则左、右边衬的宽度是 ．（依题意列方程求解．） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由封面长，宽，得正中央的长方形的长宽之比为，故设正中央的长方形长宽分别为、．列方程为，再计算即可； （2）由正中央的长方形的长宽之比为，得上、下边衬与左、右边衬的宽度比；设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是，列方程为，再计算即可． 【详解】（1）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 正中央的长方形面积是封面面积的； 设正中央的长方形长宽分别为、， 列方程为：， 解得， ∴正中央的长方形长宽分别为、， ∴上、下边衬， 左、右边衬； （2）解：依题意可知正中央的长方形的长宽之比为， 故上、下边衬与左、右边衬的宽度比， 设上、下边衬的宽度是，则左、右边衬的宽度是， 列方程为：， ∴(舍去)， ∴上、下边衬的宽度是，左、右边衬的宽度是． 7.（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的时间为 ． (1)直接填空：的长为___________； (2)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或或． 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键． (1)根据已知条件运用勾股定理计算即可； (2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：①如图1，当为底时，点在上，， ． 作垂直平分，垂足为点，交于点，连接． 由（1）得： ． ∵垂直平分， ∴． 在中，， 即， 解得：． ②如图2，当为底时，点在的延长线上，． ∵， ∴， 解得：． ③如图2，当为底时，点在的延长线上，， ． ∵，， ∴（“三线合一”）， 即， 解得：． ∴当是等腰三角形时，的值为或或． 8.（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 9.（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 10.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 【答案】(1)． (2)每件应降价36元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价36元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $