专题13三角形的中位线和反证法（7知识点+7题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题13三角形的中位线和反证法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 3 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 3 【题型3 三角形中位线的实际应用】 4 【题型4 三角形中位线压轴题】 6 【题型5 反证法证明中的假设】 8 【题型6 用反证法证明命题】 8 【题型7 网格中的多边形面积】 9 1.理解三角形中位线的定义，能准确识别三角形的中位线，区分三角形中位线与三角形中线的不同。 2.掌握三角形中位线定理的推导过程，熟记定理内容（平行于第三边且等于第三边的一半），能运用定理进行规范的几何推理和计算。 3.能运用三角形中位线定理，解决线段长度、角度求解，以及相关证明、实际应用和综合压轴题型，提升几何综合应用能力。 4.经历反证法的推导过程，体会“正难则反”的思想方法，学会从反面思考问题，提升逆向思维能力。 5.通过练习、归纳，掌握反证法的适用条件（直接证明困难、命题的否定易推导矛盾），能灵活选择证明方法。03 知识•梳理 知识点1：三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 关键提醒：① 三角形的中位线有3条，分别连接每两边的中点；② 区分中位线与中线：中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段（不经过顶点）；③ 中位线一定在三角形内部。 知识点2：三角形中位线定理 文字表述：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 符号表示：若在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点（即DE是△ABC的中位线），则DE∥BC，且DE=½BC。 推导思路：通过延长中位线DE至点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，进而证明四边形DBCF是平行四边形，再结合平行四边形的性质推导定理。 知识点3：三角形中位线定理的推论 1. 三角形的三条中位线围成的三角形（中位线三角形），与原三角形相似，相似比为1:2，周长比为1:2，面积比为1:4。 2. 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（可作为辅助线添加的依据）。 知识点4：反证法的定义 反证法是一种间接证明的方法，它是先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过推理，得出矛盾的结果，从而证明原命题成立的证明方法。 核心思想：正难则反（当直接证明一个命题困难时，可采用反证法）。 知识点5：反证法的基本步骤 1. 假设：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（注意：假设要全面，若结论的反面有多种情况，需逐一假设）； 2. 推理：从假设出发，结合已知条件、公理、定理等，进行严谨的逻辑推理，推出与已知条件、公理、定理或自身矛盾的结果； 3. 结论：由矛盾的结果，说明假设不成立，从而证明原命题的结论成立。 简单记为：假设→推理→矛盾→结论。 知识点6：反证法的适用场景 1. 直接证明困难的命题（如“证明两条直线平行”“证明一个三角形是等腰三角形”等，直接推导困难时）； 2. 命题的结论涉及“否定词”（如“不相等”“不平行”“不存在”“至少”“至多”等），这类命题用反证法更简便； 3. 几何中涉及“唯一性”的命题（如“证明过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）。 知识点7：反证法中“假设”的技巧 假设的关键是“否定原命题的结论”，常见结论与假设的对应关系： 1. 原结论：a=b → 假设：a≠b； 2. 原结论：a∥b → 假设：a与b不平行（即a与b相交）； 3. 原结论：三角形是等腰三角形 → 假设：三角形不是等腰三角形（即三角形的三边都不相等）； 4. 原结论：至少有一个 → 假设：一个也没有； 5. 原结论：至多有一个 → 假设：至少有两个。 易错提醒：假设时，不能只否定结论的一部分，要全面否定（如原结论“a∥b且a=b”，假设应为“a不平行于b或a≠b”）。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 解题思路： 核心：熟练运用三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），结合已知条件，求解线段长度、角度、周长、面积等；解题时先识别三角形的中位线，再根据定理转化线段和角的关系，必要时添加辅助线构造中位线。 【典例1】．的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 跟随训练1-1．如图，在中，，，平分，于点D，的延长线交于点F，E为的中点，求的长（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 解题思路： 核心：运用三角形中位线定理的“平行”和“一半”两个结论，结合平行四边形的判定与性质、全等三角形等知识，证明线段平行、线段相等、角相等；证明时先确定中位线，再通过定理转化关系，必要时构造平行四边形辅助证明。 【典例2】．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 跟随训练2-1．如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 跟随训练2-2．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【题型3 三角形中位线的实际应用】 解题思路： 核心：将实际问题转化为三角形中位线模型，利用中位线定理“平行且等于第三边的一半”，简化测量或计算；常见场景：无法直接测量的距离（如池塘两岸、建筑物两端），通过构造三角形，取中点连接中位线，间接求解。 【典例3】．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 跟随训练3-2．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【题型4 三角形中位线压轴题】 解题思路： 综合考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形、全等三角形等知识点；解题时分步突破：① 识别中位线，利用定理转化线段关系；② 构造辅助线（延长中位线、连接中点），构造平行四边形或全等三角形；③ 结合勾股定理、面积公式等，求解最终问题；注意分类讨论和数形结合思想的运用。 【典例4】．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 跟随训练4-1．已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 跟随训练4-2．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【题型5 反证法证明中的假设】 解题思路： 核心：找准原命题的结论，假设结论的反面成立，注意假设要全面、准确，不遗漏结论反面的任何一种情况；重点区分“结论”与“已知条件”，避免假设时否定已知条件。 【典例5】．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 跟随训练5-1．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 【题型6 用反证法证明命题】 解题思路： 严格按照反证法的三步（假设→推理→结论）进行，① 假设原命题结论不成立；② 从假设出发，结合已知条件、公理、定理，推出矛盾；③ 由矛盾说明假设不成立，从而证明原命题成立；注意推理过程严谨，矛盾类型明确，步骤完整。 【典例6】．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 跟随训练6-1．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 跟随训练6-2．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【题型7 网格中的多边形面积】 解题思路 核心：结合网格的特点（每个小方格为正方形，边长为1），运用“割补法”“格点面积公式”（皮克定理）或“分割成三角形、平行四边形”，计算多边形的面积；优先选择简便方法，割补法适用于不规则多边形，皮克定理适用于格点多边形。 【典例7】．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 跟随训练7-1．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 跟随训练7-2．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”．    (1)作出四边形关于直线对称的四边形； (2)四边形的面积为_________； 05 过关•检测 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 4．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 5．如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 6．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，应先假设 （    ） A．三角形中至多有一个内角不小于 B．三角形中三个内角都小于 C．三角形中至少有一个内角小于 D．三角形中三个内角都大于 8．如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 9．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 10．如图，在中，平分，于点E，交于点F，点G是的中点，若，，则的长____． 11．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 13．如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 14．如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 15．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 16．如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 17．学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 18．在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一点，连接，且． (1)如图1，若平分，，求的度数． (2)如图2，若N为中点，且，连接、，求证：． 19．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 20．提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13三角形的中位线和反证法 （7知识点+7题型+过关检测） 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 2 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 4 【题型3 三角形中位线的实际应用】 7 【题型4 三角形中位线压轴题】 11 【题型5 反证法证明中的假设】 17 【题型6 用反证法证明命题】 18 【题型7 网格中的多边形面积】 19 1.理解三角形中位线的定义，能准确识别三角形的中位线，区分三角形中位线与三角形中线的不同。 2.掌握三角形中位线定理的推导过程，熟记定理内容（平行于第三边且等于第三边的一半），能运用定理进行规范的几何推理和计算。 3.能运用三角形中位线定理，解决线段长度、角度求解，以及相关证明、实际应用和综合压轴题型，提升几何综合应用能力。 4.经历反证法的推导过程，体会“正难则反”的思想方法，学会从反面思考问题，提升逆向思维能力。 5.通过练习、归纳，掌握反证法的适用条件（直接证明困难、命题的否定易推导矛盾），能灵活选择证明方法。03 知识•梳理 知识点1：三角形中位线的定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 关键提醒：① 三角形的中位线有3条，分别连接每两边的中点；② 区分中位线与中线：中线是连接三角形一个顶点与对边中点的线段，而中位线是连接两边中点的线段（不经过顶点）；③ 中位线一定在三角形内部。 知识点2：三角形中位线定理 文字表述：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 符号表示：若在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点（即DE是△ABC的中位线），则DE∥BC，且DE=½BC。 推导思路：通过延长中位线DE至点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，进而证明四边形DBCF是平行四边形，再结合平行四边形的性质推导定理。 知识点3：三角形中位线定理的推论 1. 三角形的三条中位线围成的三角形（中位线三角形），与原三角形相似，相似比为1:2，周长比为1:2，面积比为1:4。 2. 过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边（可作为辅助线添加的依据）。 知识点4：反证法的定义 反证法是一种间接证明的方法，它是先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过推理，得出矛盾的结果，从而证明原命题成立的证明方法。 核心思想：正难则反（当直接证明一个命题困难时，可采用反证法）。 知识点5：反证法的基本步骤 1. 假设：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（注意：假设要全面，若结论的反面有多种情况，需逐一假设）； 2. 推理：从假设出发，结合已知条件、公理、定理等，进行严谨的逻辑推理，推出与已知条件、公理、定理或自身矛盾的结果； 3. 结论：由矛盾的结果，说明假设不成立，从而证明原命题的结论成立。 简单记为：假设→推理→矛盾→结论。 知识点6：反证法的适用场景 1. 直接证明困难的命题（如“证明两条直线平行”“证明一个三角形是等腰三角形”等，直接推导困难时）； 2. 命题的结论涉及“否定词”（如“不相等”“不平行”“不存在”“至少”“至多”等），这类命题用反证法更简便； 3. 几何中涉及“唯一性”的命题（如“证明过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）。 知识点7：反证法中“假设”的技巧 假设的关键是“否定原命题的结论”，常见结论与假设的对应关系： 1. 原结论：a=b → 假设：a≠b； 2. 原结论：a∥b → 假设：a与b不平行（即a与b相交）； 3. 原结论：三角形是等腰三角形 → 假设：三角形不是等腰三角形（即三角形的三边都不相等）； 4. 原结论：至少有一个 → 假设：一个也没有； 5. 原结论：至多有一个 → 假设：至少有两个。 易错提醒：假设时，不能只否定结论的一部分，要全面否定（如原结论“a∥b且a=b”，假设应为“a不平行于b或a≠b”）。 04 题型•汇总 【题型1 与三角形中位线有关的求解问题】 解题思路： 核心：熟练运用三角形中位线定理（平行于第三边且等于第三边的一半），结合已知条件，求解线段长度、角度、周长、面积等；解题时先识别三角形的中位线，再根据定理转化线段和角的关系，必要时添加辅助线构造中位线。 【典例1】．的周长是，一条中位线，另一条中位线，则第三条中位线的长是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据中位线的性质计算三角形两边长，从而得到第三条边长，进而根据中位线性质即可得到答案． 【详解】解：一条中位线，另一条中位线， 故对应的边长分别为和， 的周长是， 第三条边长为， 第三条中位线的长是， 故选： C． 跟随训练1-1．如图，在中，，，平分，于点D，的延长线交于点F，E为的中点，求的长（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，得出，，求出，再结合三角形中位线定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴． 跟随训练1-2．如图，点E为的对角线上一点，，，连接并延长至点F，使得，连接，则为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质和三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴． 【题型2 与三角形中位线有关的证明】 解题思路： 核心：运用三角形中位线定理的“平行”和“一半”两个结论，结合平行四边形的判定与性质、全等三角形等知识，证明线段平行、线段相等、角相等；证明时先确定中位线，再通过定理转化关系，必要时构造平行四边形辅助证明。 【典例2】．如图，在平行四边形中，，对角线交于点，点是的中点，连接，点是的中点，连接，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由平行四边形性质可得，即为中点，又是的中点，所以是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握平行四边形的性质，三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即为中点， ∵是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵，点P是的中点， ∴，即． 跟随训练2-1．如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 【答案】1 【分析】先求出，再证是的中位线，得出，，再根据角平分线与平行线，证得，从而得，即可由求解． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 跟随训练2-2．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 【题型3 三角形中位线的实际应用】 解题思路： 核心：将实际问题转化为三角形中位线模型，利用中位线定理“平行且等于第三边的一半”，简化测量或计算；常见场景：无法直接测量的距离（如池塘两岸、建筑物两端），通过构造三角形，取中点连接中位线，间接求解。 【典例3】．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，， 故选项A正确； ∵是边上的中线， ∴点E是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项B正确； ∵是边上的中线，点D是的中点， ∴，， ∴， 故选项D正确； 当时，，否则不成立， 故选项C错误． 故选：C． 跟随训练3-1．如图，在中，，点E，F分别是，的中点，以为斜边作． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】三角形中位线的性质定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）利用三角形中位线性质定理和直角三角形斜边中线定理即可得出； （2）根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴为的中位线． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）知，为的中位线， ∴． ∴． ∵点F是的中点，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 跟随训练3-2．某县城有一人工湖，湖面较宽不方便直接测量．某数学学习小组的同学想知道湖面最大宽度的具体数据，设计了三种方案． 课题 测量人工湖的长度 测量工具 皮尺：直接测量可到达的两点间的距离． 测角仪：测量角的大小 方案一 测量数据：， ， 续表 方案二 测量数据：，， 方案三 测量数据：，， (1)方案一：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的_____． ， _____． (2)方案一求得长度的依据是__________． (3)请你从剩下两种方案中，选择一种求出人工湖的长度． 【答案】(1)中位线，160 (2)三角形的中位线定理 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了中位线定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； （1）根据已知思路写出需要填补的空缺； （2）根据方案一的思路判断依据； （3）从方案二或方案三选择一种方案求出AB长． 【详解】（1）解：，， 是线段的中点，是线段的中点， 是的中位线． ， 160． （2）解：三角形的中位线定理 （3）解：选择方案二：， ， ． 或选择方案三：，， 为直角三角形． ， ， ． 【题型4 三角形中位线压轴题】 解题思路： 综合考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形、全等三角形等知识点；解题时分步突破：① 识别中位线，利用定理转化线段关系；② 构造辅助线（延长中位线、连接中点），构造平行四边形或全等三角形；③ 结合勾股定理、面积公式等，求解最终问题；注意分类讨论和数形结合思想的运用。 【典例4】．【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 跟随训练4-1．已知是等边三角形，D是边的中点，G是边的中点，连接，，的两边分别交直线、于点E、F． (1)如图①，当的两边分别交线段、于点E、F时，与的数量关系为 ； (2)如图②，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图③，当的两边分别交线段、的延长线于点E、F时，，，直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质是关键． （1）先证明，再证明，，即可证明，即可证明结论； （2）用类似于（1）的方法证明即可； （3）设，证明，得到，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：是边的中点，G是边的中点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由（1）知，， ， 由（1）知，， ，， ， 又由（1）知，， ， ； （3）解：设，则， 由（2）知，，， 由（1）知，， ， ， ， ， ， 解得， ． 跟随训练4-2．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，点，分别是，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； (3)试猜想与的数量关系并给予证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形中位线定理、平行四边形的判定及三角形面积的计算，属于几何综合题． （1）利用三角形中位线定理，分别证明和都平行且等于的一半，从而得到与平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）利用平行四边形对角线互相平分的性质得到，结合是中点的条件，即可推导出； （3）将四边形的面积拆成两个三角形的面积和，再利用已知的线段比例，结合等高三角形面积比等于底边长之比的性质，算出其中一个小三角形面积占对应大三角形面积的三分之一，并用同样的方法推出另一部分三角形的面积占比，最后结合两个相关三角形面积之和的面积，把两部分面积合并得证． 【详解】（1）解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴，且； 又∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，且； ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴； 又∵是的中点， ∴， ∴； （3）解：猜想，证明如下： 由（1），， ∴，， ∴． ∵与同高， ∴， 同理可得：． 又，， ∴． 【题型5 反证法证明中的假设】 解题思路： 核心：找准原命题的结论，假设结论的反面成立，注意假设要全面、准确，不遗漏结论反面的任何一种情况；重点区分“结论”与“已知条件”，避免假设时否定已知条件。 【典例5】．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　） A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于 C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，假设时准确找出原命题结论的反面即可． 【详解】解：由题意得 需假设两锐角都大于． 跟随训练5-1．用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 跟随训练5-2．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明“”时，应假设原命题不成立，即不小于，因此假设．故答案为． 故答案为：． 【题型6 用反证法证明命题】 解题思路： 严格按照反证法的三步（假设→推理→结论）进行，① 假设原命题结论不成立；② 从假设出发，结合已知条件、公理、定理，推出矛盾；③ 由矛盾说明假设不成立，从而证明原命题成立；注意推理过程严谨，矛盾类型明确，步骤完整。 【典例6】．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（   ） A．③②① B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，据此可得答案． 【详解】解：反证法中第一步先假设结论不成立，即第一步为假设三角形的三个内角（、、）中有两个直角，不妨设， 第二步是推出矛盾，即推出假设不成立，即第二步为，这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 第三步为所以一个三角形中不能有两个直角 故正确的顺序为③①②． 跟随训练6-1．设均为整数，若，则下列结论正确的是（    ） A．不可能都是奇数 B．不可能都是偶数 C．必一奇一偶 D．不可能是偶数 【答案】A 【分析】当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数，此时必定不满足，据此可判断A；根据可判断B、C、D． 【详解】解：当都是奇数时，是奇数，是奇数，是奇数， ∴是偶数， ∴此时一定不满足， ∴不可能都是奇数，故A结论正确，符合题意； ∵，满足，本例中都是偶数，是偶数， ∴可能都是偶数，故B、C、D结论都错误，不符合题意； 跟随训练6-2．填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则，________________； ③假设不成立，所以一个三角形中________含有两个直角．（填“能”或“不能”） 【答案】 这与三角形内角和定理矛盾 不能 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 反证法通过假设结论不成立，推导出矛盾，从而证明原命题成立．本题假设三角形有两个直角，导致内角和大于，与三角形内角和定理矛盾，故假设不成立． 【详解】解：假设中和都是直角， 则，，． 又， 则， 这与三角形内角和定理矛盾， 故假设不成立， 所以一个三角形中不能含有两个直角． 故步骤②填“这与三角形内角和定理矛盾”，步骤③填“不能”． 故答案为：这与三角形内角和定理矛盾，不能． 【题型7 网格中的多边形面积】 解题思路 核心：结合网格的特点（每个小方格为正方形，边长为1），运用“割补法”“格点面积公式”（皮克定理）或“分割成三角形、平行四边形”，计算多边形的面积；优先选择简便方法，割补法适用于不规则多边形，皮克定理适用于格点多边形。 【典例7】．如下图，已知四边形ABCD的顶点． (1)在方格图中建立平面直角坐标系，并写出B，C两点的坐标． (2)求四边形ABCD的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题考查了平移变换作图，不规则图形的面积求解，熟练掌握网格结构找出对应点的位置是解题的关键. （1）以点为坐标原点建立平面直角坐标系，然后写出点的坐标即可； （2）根据图形，把四边形分成两个直角三角形与一个梯形，列式进行计算即可求解. 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示．． （2）解： ． 故四边形的面积为． 跟随训练7-1．如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． (1)求这个四边形的面积； (2)如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】(1) (2)面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【详解】（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 跟随训练7-2．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图所示，四边形就是一个“格点四边形”．    (1)作出四边形关于直线对称的四边形； (2)四边形的面积为_________； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查轴对称图形的作法及利用网格求面积，熟练掌握轴对称图形的作法是解题关键． （1）根据轴对称图形的作法作图即可； （2）利用网格求面积即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）， 故答案为：12． 05 过关•检测 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，对角线，，则四边形的周长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理分别求出、、、的长，根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， 四边形的周长； 2．如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查中位线的性质，平移的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．由中位线的性质可得，，进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵M是边的中点，P是边的中点， ∴是的中位线 ∴，， 故选：B 3．如图，已知四边形中，R、P分别为上的点，E、F分别为的中点．当点P在上从点C向点D移动，同时点R在上从点B向点C移动，点P和点R同时到达终点，那么下列结论成立的是（    ） A．线段的长先变大再变小 B．线段的长先变小再变大 C．线段的长不变 D．线段的长与点P的位置有关 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理，连接，根据三角形中位线定理得到，得出结论． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点R在上从点B向点C移动， ∴先变小再变大， ∴线段的长先变小再变大． 故选：B． 4．如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 5．如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，四边形是平行四边形，对角线、交于点，的平分线交于点，为的中点，若，，，则的长可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理，，，，，由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，从而得出，求出，再由三角形中位线定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 7．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于”时，应先假设 （    ） A．三角形中至多有一个内角不小于 B．三角形中三个内角都小于 C．三角形中至少有一个内角小于 D．三角形中三个内角都大于 【答案】B 【分析】本题考查反证法，掌握相关知识是解决问题的关键．反证法需假设原命题的结论不成立，据此解答即可． 【详解】解：∵原命题为“三角形中至少有一个内角不小于”， ∴应假设为“三角形中三个内角都小于”． 故选：B． 8．如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：假设结论不成立，则成立． 9．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 10．如图，在中，平分，于点E，交于点F，点G是的中点，若，，则的长____． 【答案】2 【分析】根据角平分线的定义和全等三角形的判定和性质定理以及三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 11．如图，在中，，，是的中点，若平分，，则线段的长为_____________． 【答案】 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义得到，易证得，进而得到，，根据是的中位线，进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分， , ， 在和中， , ， ，， , 为的中点，， 是的中位线， ． 12．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D、E，并且测出的长为16米，则A、B间的距离为______米． 【答案】32 【分析】根据中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为，的中点， ∴为的中位线， ∴米， ∴则A、B间的距离为32米． 13．如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ． 【答案】 【分析】由为平行四边形得到，结合已知条件得到，进而得到与均为等腰三角形，结合为中点得到，为斜边上的中线求出；过点作于，求出，再证明四边形为平行四边形得到，最后将、、相加即可求解． 【详解】解：点、分别为和的中点， 是的中位线， ； 四边形为平行四边形， ，， 又， ， 与均为等腰三角形， 又 ∵为的中点，连接， ， ， 又为的中点， ∴； 过点作于，连接，如图所示： ∴， ， 在中，由勾股定理得， 为中点，为中点， 为的中位线， ，即，且， 四边形为平行四边形， ， ． 14．如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 【答案】2 【分析】由三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． 15．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明． （2）如图2，在中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点． ①求证：四边形为平行四边形； ②若，求的长． 【答案】（1）四边形的形状为平行四边形，证明见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可证，，结合对角线互相平分的四边形为平行四边形即可求解； （2）①根据三角形中位线的性质可得，且，再结合平行四边形的判定即可证明；②由平行四边形的性质结合勾股定理先求出，再根据为中点即可求答案． 【详解】（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 同理：， ∴， 即对角线互相平分， ∴四边形为平行四边形； （2）①证明：∵点D、E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∵点G、F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； ②解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∵点G为的中点， ∴． 16．如图①，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，叫做梯形的中位线．小华结合学习三角形中位线定理的经验对线段、与之间的位置和数量关系做了探究．通过连接，并延长交的延长线于点，证明，再结合三角形中位线的定理可得出，． 请利用上述方法解决问题： 如图②，在梯形中，和的平分线相交于点，且点在梯形中位线上．若梯形的周长为，求的长． 【答案】 【分析】平行线和角平分线结合构造出等腰三角形，推出，，等量代换得出，结合题干中得出的，即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ∵梯形的周长为， ， ． 17．学完《平行四边形》后，老师布置了一道作业：如图，，，，与有什么关系？线段与线段呢？为什么？ 聪明的小华很快写出了过程，但不小心被墨水弄脏了． (1)请你帮小华补全解答过程； (2)聪明的小华受上面问题的解法的启发，编制了一道试题：在平面直角坐标系中，已知，问：在平面直角坐标系中是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标．请帮小华直接写出答案吧； (3)结合题目条件，你还能得到什么结论？请写出一个结论（与上述两个结论不同）． 【答案】(1)，．理由见详解 (2)存在；或或 (3)都是的中位线（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线判定平行四边形，再利用平行四边形的性质得出角和线段的关系． （2）根据平行四边形的性质，分情况讨论求出点的坐标． （3）依据前面所证的平行四边形，得出三角形中位线的结论． 【详解】（1）解：，． 理由如下：∵，，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，，， ∴． （2）解：存在． 第一种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴ ∴的坐标是； 第二种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴轴，， ∴， ∵在轴上， ∴点在轴上，设点坐标为， ∴， ∴， ∴的坐标是； 第三种情况，当为对角线时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平移后得到， ∵平移后得到， ∴点平移到点坐标变化规律是横坐标减，纵坐标加 ∴平移后得到 综上所述，点坐标为或或． （3）结合题目条件可以得到这样的结论：都是的中位线， 由（1）已证四边形和四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是的中点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴是的中点，是的中点， ∴都是的中位线． 18．在等边中，E为线段上一点，D为三角形外一点，连接、，F为上一点，连接，且． (1)如图1，若平分，，求的度数． (2)如图2，若N为中点，且，连接、，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意易得出，，在中利用内角和求出的度数，进而在中利用三角形内角和求解即可； （2）要证，方法一：延长到点H，使，连接、，则，证明，结合等边三角形的性质和三角形内角和定理，再证明，进而推出是等边三角形，即可得证；方法二：延长到K，使，连接、，根据三角形中位线定理可得，证明出是等边三角形，进而推出，得到，即可得证． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：方法一：如图，延长到点H，使，连接、，则， 为中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即， 是等边三角形， ， ． 方法二：延长到K，使，连接、， 是中点，D是中点， 是的中位线， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ． 19．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 20．提出问题：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动． 如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别为，的中点． 如图2，将点、点重叠合并在一起，记作点，点，分别落在边，上，连接，记的中点为点．试判断线段与的数量关系和位置关系． 探究交流：感恩小组发现，，．并展示了如下的证明方法： ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵点，分别是，的中点， ，．（依据1） ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，（依据2） ∴， ∴． 反思拓展： (1)①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？ ②试判断图2中，与的位置关系，请直接回答，不必证明； (2)“责任”小组在探究时，把绕点逆时针方向旋转到如图3的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明； (3)“坚持”小组的同学进行“固定变量”探究，令，时，把绕点在平面内自由旋转，的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大值与最小值？若存在，请直接写出面积的最大值与最小值． 【答案】(1)①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．依据2：直角三角形的两锐角互余；② (2)证明见解析 (3)的面积会发生变化，的面积最小为，最大为 【分析】（1）①根据中位线的性质和直角三角形的性质作答即可； ②根据等腰直角三角形的性质可得，，由平行线的性质可得，因此； （2）连接，连接并延长，交的延长线于点，容易证明，则，，由等量代换可得，即．由中位线的性质可得，，，，因此，，命题得证； （3）由（2）可知，，是等腰直角三角形，，因此．结合可求出的范围，从而得出的面积的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 依据2：直角三角形的两锐角互余． ②结论：，理由如下： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接，连接并延长，交的延长线于点， 由旋转的性质可知，， ∵、都是等腰直角三角形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点． ∴是的中位线， ∴，， ∴， 同理，是的中位线， ∴，，即， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴随的增大而增大， ∵，， 又∵， ∴， ①当点在线段上，如图，此时取得最小值， ∴； ②当点在线段的延长线上，如图，此时取得最大值， ∴； 综上所述，的面积会发生变化，的面积最小为，最大为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $