精品解析：辽宁省沈阳市法库县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2025—2026学年度第二学期东湖二中八年级期中考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 2. 如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形直接得出不等式的解集即可． 【详解】解：由题意，得：，故A正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了将不等式的解集表示在数轴上，解题的关键是注意实心点与空心点的区别． 3. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为即可求解，掌握三角形内角和为是解题的关键． 【详解】解：根据题意，需要补的角的度数是． 故选：B． 4. 如图，将周长为8的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的基本性质可得，，再根据四边形的周长为进行计算即可得到答案． 【详解】解：将周长为8的沿方向平移1个单位得到， ，， ， 的周长为8， ， 四边形的周长为： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的基本性质，平移的基本性质为：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等，熟练掌握平移的基本性质是解题的关键． 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，掌握不等式的三个基本性质是关键；由数轴得，再利用不等式的三个基本性质判断． 【详解】解：由数轴得， 由不等式的基本性质1得：，， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 6. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：D． 7. 已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 8. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出和的长，即可求出答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 的周长为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 9. 如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 10. 在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程 的解是 C. 当时， D. 不等式 的解集是 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象直接进行解答即可． 【详解】解：由函数的图象可知， 当时，，A选项错误，不符合题意； 方程 的解是，B选项错误，不符合题意； 当时，，故C正确，符合题意； 不等式 的解集是，故D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出m的值． 【详解】依题意得：|m|−1＝1且m-2≠0， 解得m＝-2． 故答案为：-2． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 12. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折． 【答案】7##七 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设该商品打x折出售，根据利润实际售价进价列出不等式求解即可． 【详解】解：设该商品打x折出售， 由题意得，， 解得， ∴至多可以打7折， 故答案为：7． 13. 如图，在中，是它的角平分线，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由角平分线的性质定理可得，再表示出，，由此即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， ， ∵平分，，， ∴， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，垂直平分，交于点．若，则的长是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 垂直平分，交于点，， ， ， ， 故答案为：12． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为8，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴，过点作轴，先求出，再证明，推出，，从而求出点的坐标． 【详解】解：过点作轴，过点作轴， ， ，点到轴的距离为8， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成各题： （1）解不等式：． （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， 解①得， 解②得， 所以不等式组解集为． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 （1）把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； （2）把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； （3）直接写出（2）中点到的运动路线长． 【答案】（1），见详解 （2），见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）向上平移5个单位，横坐标不变，纵坐标加5，据此画出 并写出 坐标； （2）绕原点 逆时针旋转 ，画出 并得出坐标即可； （3）点 到 的运动路线是以 为圆心、 为半径的圆弧，圆心角为 ，利用弧长公式  计算． 【小问1详解】 解：如图，，向上平移5个单位， ，即 ， 同理：，； 【小问2详解】 解：如图，绕原点 逆时针旋转 ， 旋转后； 【小问3详解】 解：点 ​ 到 的运动路线是以 为圆心、为半径的圆弧，圆心角为 ， ， 弧长 ， 点 到  的运动路线长为 ． 18. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，． （1）求直线的解析式； （2）若不等式的解集是．求的值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线的解析式． （2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值． 【小问1详解】 解：由图可知，和在一次函数上， ，， ， ， ， 直线的解析式为：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：的解集是，点为和交点， 的横坐标为1． 将点的横坐标1代入中，解得． ． 将代入中，， ． 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是一次函数图像以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图像法找出关键信息交点的横坐标． 19. 如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的对角线的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明是本题的关键． （1）根据与互为对顶角．再结合是的一个外角，进行角的等量代换，即可作答．； （2）要求的长，即求的长．在中，根据勾股定理，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：由题意知，． 又， ， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， 由题意知：，，， ，． ， ， ， ． 20. 石门实验学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%． （1）设购买x台电脑，甲商场费用记为y1，乙商场费用为y2，则y1＝　 　，y2＝　 　． （2）请你分析学校应该选择哪种方案才更优惠？ 【答案】（1）y1＝4500x+1500，y2＝4800x；（2）台数大于5时，甲商场购买更优惠；台数小于5时，乙商场购买更优惠；5台时，两家商场收费相同 【解析】 【分析】（1）根据题意即可得：y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1），y2＝（1﹣20%）×6000x，化简即可求得函数解析式； （2）①由甲商场购买更优惠，可得y1＜y2，即可得不等式4500x+1500＜4800x，解此不等式，即可求得答案； ②由乙商场购买更优惠，可得y1＞y2，即可得不等式4500x+1500＞4800x，解此不等式，即可求得答案； ③由两家商场收费相同，可得y1＝y2，即可得方程4500x+1500＝4800x，解此方程，即可求得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：y1＝6000+（1﹣25%）×6000（x﹣1），即y1＝4500x+1500， y2＝（1﹣20%）×6000x，即y2＝4800x， 故答案为：4500x+1500，4800x； （2）①当y1＜y2时，即4500x+1500＜4800x， 解得：x＞5， ∴当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠； ②当y1＞y2时，即4500x+1500＞4800x， 解得：x＜5， ∴当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠； ③当y1＝y2时，即4500x+1500＝4800x， 解得：x＝5， ∴当购买电脑5台时，两家商场收费相同． 综上所述，当购买电脑台数大于5时，甲商场购买更优惠；当购买电脑台数小于5时，乙商场购买更优惠；当购买电脑5台时，两家商场收费相同． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用问题，解不等式和解方程，解题的关键是明确题意，根据题意列出函数关系式，利用函数的性质解决问题． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 【答案】（1）是等边三角形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的定义得为中点，再利用直角三角形斜边中线的性质得，结合，即可证明； （2）利用线段垂直平分线的定义得，结合，则，，再求得，再证明，得出，则可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵垂直平分， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，， ∵， ∴是等边三角形； 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. （1）求证：. （2）猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； （3）若，，则________. 【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【小问1详解】 证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 23. 按要求完成各题： （1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； （2）如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； （3）如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在对应边上截取线段，通过证明，利用全等得等腰三角形，推导目标角度； （2）由，可推出；按思路延长到点，使得，连接，通过证明，得到、；再结合，得，利用等角对等边得，进而得； （3）利用，建立直角坐标系，设，写出的表达式，将分别表示为两点间距离，从而求出最小值． 【小问1详解】 解：已知等腰中，，， ， , 且， 在中，， ， , ， 在上截取,连接， 在和中： ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 在 中，内角和为， ， 解得， ． 【小问2详解】 解：延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中： ， ， ， 又， ， ， ． 【小问3详解】 解：设， 建立平面直角坐标系：设 ，，，射线作为x轴正半轴，射线作为y轴正半轴， 射线为直线，则点坐标为 ，点坐标为 ， 的长度为， 的长度为， 将其转化为几何意义：轴上的点到点和的距离之和，最小值为点关于轴的对称点到点的距离，计算得： ， 故 的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期东湖二中八年级期中考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将周长为8的沿方向平移1个单位得到，则四边形的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点在的延长线上，，，则（　　） A. B. C. D. 10. 在直角坐标平面内，一次函数的图像如图所示，那么下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 方程 的解是 C. 当时， D. 不等式 的解集是 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为__________． 12. 某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折． 13. 如图，在中，是它的角平分线，，，则________． 14. 如图，在中，，，垂直平分，交于点．若，则的长是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，，点A到x轴的距离为8，将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成各题： （1）解不等式：． （2）解不等式组： 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 （1）把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； （2）把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； （3）直接写出（2）中点到的运动路线长． 18. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，． （1）求直线的解析式； （2）若不等式的解集是．求的值． 19. 如图，在四边形中，，将绕点顺时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合，得到，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求四边形的对角线的长． 20. 石门实验学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元并且多买都有一定的优惠，甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%． （1）设购买x台电脑，甲商场费用记为y1，乙商场费用为y2，则y1＝　 　，y2＝　 　． （2）请你分析学校应该选择哪种方案才更优惠？ 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接． （1）请判断的形状，并说明理由． （2）若，求的长． 22. 如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. （1）求证：. （2）猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； （3）若，，则________. 23. 按要求完成各题： （1）如图1，已知等腰直角三角形中，，在三角形内取一点，使得，，求的度数； 小亮通过挖掘已知条件，获得，线段，这样本题就具备了一边一角的图形特征，所以小明果断的在上截取，构造出全等三角形，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； （2）如图2，在四边形中，，，求证：；小亮深入研究已知条件，迅速想到：延长到点，使得，连接，从而使问题得以解决．请按照小亮的思路完整解答； （3）如图3，在中，，，射线于点．若点，分别是射线，边上的动点，，连接，，直接写出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $