精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市第四中学2025-2026学年第二学期八年级期中数学试卷

呼市四中2025——2026学年第二学期期中质量监测 初二数学 一、单选题（共8小题．每小题3分，共24分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A.，则不是最简二次根式； B.，则不是最简二次根式； C.是最简二次根式； D.，则不是最简二次根式， 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是( ) A. 1，4， B. 2，4，5 C. 6，8，10 D. 5，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据勾股数的定义判断，勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，逐一验证即可得到答案． 【详解】解：A、不是正整数，排除A． B、，，，∴不是勾股数，排除B． C、，且三个数均为正整数，∴是勾股数． D、，，，∴不是勾股数，排除D． 3. 小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件： ①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形可知，由矩形变形到正方形所需要的条件，根据矩形的性质以及正方形的判定判断即可作答． 【详解】由图可知： 平行四边形中，当时，平行四边形为矩形， 平行四边形中，当，且时，平行四边形为正方形， 即：在矩形中，如果①或者③或者④平分时， 矩形为正方形， ∴所有正确选项的序号是①③④， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定与性质，菱形的性质等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． 4. 的三边长分别为，，，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用和三角形的内角和定理．根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误． 【详解】解：A、，， ， 为直角三角形，故A选项不符合题意； B、设，，， ， 解得：， 则， 不是直角三角形，故B选项符合题意； C、∵，，， ， 能构成直角三角形,故C选项不合题意； D、， ， 能构成直角三角形，故D选项不合题意； 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 6. 如图，平行四边形中，，平分交边于点E，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明，得到是解题的关键． 先根据平行四边形的性质得到，进一步证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选D． 7. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ） A. 5.2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的知识，数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出矩形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．图中矩形的长为2，宽为1，则可根据勾股定理求出矩形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴正方向交于点P，则点P表示的数即为3加上对角线的长度． 【详解】解：应用勾股定理得，矩形的对角线的长度， 以矩形对角线长为半径画弧，交数轴正方向于点P， 所以数轴上的点P表示的数为：． 故选：C． 8. 如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm 【答案】B 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，AD=BC， ∵△AOD的周长比△AOB的周长多3cm， ∴AD+AO+OD-(AB+AO+BO)=AD-AB=3cm， ∵平行四边形ABCD的周长为22cm， ∴AD+AB=11cm， ∴AD=7cm， ∴BC=7cm， 又∵AC⊥AB，点E是BC的中点， ∴AE=3.5cm. 故选B. 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 10. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可．本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点D作于点G， ∵, ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案． 【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为， ∴ 故答案为：25． 12. 如图，在中，．点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为________． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得∠BAC=60°，，分两种情况讨论，由锐角三角函数和折叠的性质可求解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴ ∵∠B=30°，DE⊥BC， ∴∠BED=60°． 由翻折的性质可知：∠BED=∠FED=60°， ∴∠AEF=60°． ∵△AEF为直角三角形， ∴∠EAF=30°． ∴AE=2EF． 由翻折的性质可知：BE=EF， ∴AB=3BE． ∴ BD=EB•cosB= 当点F在BC的延长线上时． ∵△AEF为直角三角形， ∴∠EAF=90°， ∴∠EFA=30°． ∴∠EFD=∠EFA． 又∵ED⊥BF，EA⊥AF， ∴AE=DE． ∵BC=3，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴ 设DE=x，BE= ∵DE∥AC， ∴ 解得，xBD= 故答案为1或2． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质和特殊锐角三角函数值的应用，掌握翻折的性质和特殊锐角三角函数值是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题是二次根式的混合运算题，整体解题思路为先将所有二次根式化为最简二次根式，再按照运算顺序计算，二次根式乘除运算可将系数与被开方数分别运算后再化简，加减运算合并同类二次根式，涉及多项式乘法的部分可以利用完全平方公式，平方差公式简化计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 14. 如图，在中，，高．求．（用h表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据△ABC是等边三角形和AD为高，得出∠ADB=90°，∠BAD=30°，设BD=x，则AB=2x，然后根据勾股定理，可以用含h的代数式表示出AB的长． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AD为高，AD=h， ∴∠ADB=90°，∠BAD=30°， 设BD=x，则AB=2x， ∴ 解得：，（舍去） ∴ 【点睛】本题考查等边三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15. 如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：∵ ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ． 16. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 17. 定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” （1）如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； （2）如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要查了三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的两底角相等的性质，等边三角形的判定和性质： （1）根据三角形的中位线的性质定理可得且，且，再结合等腰三角形的两底角相等的性质，可得，从而得到，然后根据，可得，即可求解； （2）取中点，连接，，根据三角形的中位线的性质定理可得，，，，从而得到，，进而得到，，继而得到，可证明为等边三角形，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，，分别是，，的中点， ∴且，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，取中点，连接，， ∵点，是对角线，的中点， ∴，，，， ∴，， 又，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 18. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠，化为最简二次根式，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼市四中2025——2026学年第二学期期中质量监测 初二数学 一、单选题（共8小题．每小题3分，共24分） 1. 下列根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是( ) A. 1，4， B. 2，4，5 C. 6，8，10 D. 5，10，15 3. 小明在学习了中心对称图形后，整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示．从下列条件： ①；②；③；④平分中，选择其中一个条件填入（ ）处，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ②③④ 4. 的三边长分别为，，，由下列条件不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. ，， D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，，平分交边于点E，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是（ ） A. 5.2 B. C. D. 8. 如图，平行四边形ABCD的周长是22cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3cm，则AE的长度为（　　） A. 3cm B. 3.5cm C. 4cm D. 4.5cm 二、填空题（共4小题．每小题3分，共12分） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_________． 10. 如图，平行四边形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于E、F，且，那么图中阴影部分的面积为___________． 11. 如图，图①中的直角三角形斜边长为5，将四个图①中的直角三角形分别拼成如图②所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，，则的值为__________． 12. 如图，在中，．点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当AEF为直角三角形时，BD的长为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1） （2） （3） （4） 14. 如图，在中，，高．求．（用h表示） 15. 如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 16. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 17. 定义：只有一组对边相等的四边形为“纯等对边四边形” （1）如图1，四边形是“纯等对边四边形”，其中，，，分别是，，的中点．若，，求的度数； （2）如图2，四边形是“纯等对边四边形”；其中，点，分别是对角线，的中点，若，求证：． 18. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． （1）如图1，当点E落在上时，求证：； （2）如图2，若，点E与点D重合，求的长； （3）如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $