精品解析：山东泰安市肥城市2025-2026学年度下学期期中八年级数学试题

2025—2026学年度下学期期中考试 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共7页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线相互垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 四个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，仅对角线相互垂直的四边形不一定是菱形（例如筝形），∴A说法不正确． ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，∴B说法正确． ∵四个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，∴C说法正确． ∵有一组邻边相等的矩形是正方形，符合正方形的判定定理，∴D说法正确． 2. 将一元二次方程化为一般形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 3. 若，那么的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过对已知等式整理，得到x与y的倍数关系，即可求出的值． 【详解】解：∵ ，且 ∴ 等式两边同乘，得 移项整理得 由题意可知，等式两边同时除以得 ． 4. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根．分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A．对于方程，，，． ． 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． B．对于方程 ，，，． ． 方程没有实数根，不符合题意． C．对于方程 ，，，． ． 方程有两个相等的实数根，符合题意． D．对于方程 ，，，． ． 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 5. 在，，，，，中，最简二次根式的个数是（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】先明确最简二次根式的判定条件，再逐个判断给出的式子，统计符合条件的个数即可，最简二次根式需满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：对于，被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因式，满足条件，是最简二次根式； 对于， ，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于， ，含能开得尽方的因式，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，的被开方数，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于， ，含能开得尽方的因数，不满足条件，不是最简二次根式； 对于，被开方数含分母，不满足条件，不是最简二次根式； 综上，最简二次根式只有1个． 6. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴ 解得， 故D符合题意． 7. 2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设用电量的年平均增长率为，根据“2023年用电量为万亿千瓦时，2025年用电量约为10万亿千瓦时”据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：∵2023年用电量为万亿千瓦时，年平均增长率为， ∴2024年用电量为万亿千瓦时， 2025年用电量为万亿千瓦时， 又∵2025年用电量为万亿千瓦时， ∴列方程得 ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质设，并用勾股定理求出的值，再根据，是正方形的边的三等分点，求出的值，然后在上取一点，且，连接、，连接，且与交于点，当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合，再过点分别作交于点，交于点，接着运用等面积法求出的值，结合勾股定理求出的值，最后求出的值，进行比较即可． 【详解】∵正方形，为对角线， ∴，，， ∴与关于对称， 设 ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∵，是正方形的边的三等分点， ∴，， 在上取一点，且，连接、、，连接，且与交于点， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，有最小值，即有最小值，即与重合， 如图，过点分别作交于点，交于点， ∵，，， ∴， ∵， 又∵ ， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，幂的运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法法则和幂的运算是解决问题的关键． 先根据积的乘方运算，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ． 故答案为：． 12. 矩形对角线夹角为，较短的边长为，则较长的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，矩形对角线相等且互相平分，结合对角线夹角为，可推出较短边与两条对角线的一半构成等边三角形，得到较短边长度为对角线长度的一半，据此计算对角线长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，设矩形，对角线，相交于点，，较短边， 四边形是矩形， ，，，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∴． 13. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得．将变形为 ，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴ ， ∴ ． 14. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作交y轴于点，过点作交x轴于点，过点作交y轴于点……依此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，，证明得，同理可得，，…，得出规律，由此即可得出结果． 【详解】解：由条件可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，…， ∴， ∴当时，， 由坐标系可得，点落在轴正半轴， ∴点的坐标为． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．解题时先利用二次根式的乘除运算法则计算各项，再将所有二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到结果，部分计算可利用乘法公式简化运算． 【小问1详解】 解：    ． 【小问2详解】 解：        ． 【小问3详解】 解：      ． 【小问4详解】 解：       ． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： 或 解得：，． 18. 如图，在中，点D是边上一点，连接，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先计算出，再由，即可判定出，进而即可得解． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 20. 已知：如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，，求的长； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先推导出，，，得到，推导出，则，即可解答； （2）过点E作于，推导出，得到，设，由，得到，在中，，即，求出即可解答． 【小问1详解】 证明： ， 平分， ， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 解：过点E作于，如图 ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 即， 解得， ∵，即， ∴ 即． 21. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）答：剪去的正方形的边长为． （2）答：剪去的正方形的边长为． 【解析】 【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长． （2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为，矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检验，得到剪去正方形的边长． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的边长为，宽为． 由题意得： 解得． 因为，所以不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为． 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，剪去的矩形的长为，宽为，则剪去部分的面积为： 解得或，（不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为． 22. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）详见解析 （2）矩形；详见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及矩形的判定： （1）利用平行线的性质和角平分线的定义证明是等腰三角形，得到，通过得到，结合判定四边形为平行四边形，利用邻边相等即可判定； （2）先证明，再证明四边形是平行四边形，利用菱形对角线互相垂直和三角形内角和定理证明，从而判定为矩形． 【小问1详解】 证明：，点在边上，点在边的延长线上， ， 平分， ， ， ， 在与中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 矩形． 解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 23. 结合图形，完成下列问题： （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的关系______； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图2，矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2），，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可得出； （2）同（1）可得，根据线段的数量关系可得，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，利用直角三角形两锐角互余的性质得出，即可得出； （3）过点作交延长线于点，由得到，设，则在中，由勾股定理得，求出，，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，设交于， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：，，理由如下： ∵四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作交延长线于点 同（2）可得， ∵矩形和矩形，， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ 设 ∴ 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，（舍去） ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期中考试 八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共7页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 对角线相互垂直的四边形是菱形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 四个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 2. 将一元二次方程化为一般形式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，那么的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 4. 下列四个方程中，有两个相等的实数根的是( ) A. B. C. D. 5. 在，，，，，中，最简二次根式的个数是（） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 7. 2025年中国成为全球首个年用电量突破10万亿千瓦时的国家．2023年用电量约为9.2万亿千瓦时，由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2025年用电量约为10万亿千瓦时．设用电量的年平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点，②分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，交于点．根据以上作图，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，是正方形的边的三等分点，是对角线上的动点，当取得最小值时，的值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 计算的结果为______． 12. 矩形对角线夹角为，较短的边长为，则较长的边长为______． 13. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 14. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作交y轴于点，过点作交x轴于点，过点作交y轴于点……依此规律，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，在中，点D是边上一点，连接，，． 求证：． 19. 【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 20. 已知：如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点F，E． （1）求证：； （2）若，，求的长； 21. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 22. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 结合图形，完成下列问题： （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的关系______； （2）如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由； （3）如图2，矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $