精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，的长为(　　) A. B. C. D. 4. 若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等的四边形 D. 任意四边形 5. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 7. 方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或1 D. 0或2 8. 在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 9. 如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（ ） A. x2＋（x＋6）2＝102 B. x2＋（x＋6）2＝12 C. x2＋（x﹣6）2＝102 D. x2＋（x﹣6）2＝12 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 12. 如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为______． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为______． 14. 平行四边形中，是其对角线的垂直平分线，分别交、于点，，若该平行四边形的周长为那么，那么的周长为______． 15. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 18. 如图所示，四边形是矩形，是其对角线的交点，过点直线分别与，的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求当四边形为菱形时的值． 19. 按要求解下列方程： （1）用配方法； （2）自己喜欢的方法． 20. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 22. 如图所示，在矩形中，的平分线交于点，，垂足为点，连结，若． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图所示，延长与交于点； ①求证：为的中点； ②若，求矩形的面积． 23. 如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省泰安市肥城市八年级（下）期中数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程一定是关于的一元二次方程的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可． 【详解】A．：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定义． B．：含分式，属于分式方程，非整式方程，不符合定义． C．：未限定，当时方程变为一次方程，不一定是二次方程． D．：含根号和绝对值（），属于根式方程，非整式方程，不符合定义． 故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解；A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知，，，的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 故选：B． 4. 若顺次连接某四边形的各边中点得到一个平行四边形，那么这个四边形一定是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 对角线相等的四边形 D. 任意四边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中点四边形，根据中点四边形的性质，无论原四边形的形状如何，顺次连接各边中点得到的四边形一定是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：如图，四边形为，各边中点依次为、、、， ∴是的中位线， 故且； 同理：且； ∴且， ∴四边形为平行四边形， 故选D． 5. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 故选：A 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．熟记相关结论即可． 6. 如图，四边形是平行四边形，是对角线与的交点，，若，，则的长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得的长，然后由，，，根据勾股定理可求得的长，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ，， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 7. 方程的根是（ ） A. 0 B. 2 C. 0或1 D. 0或2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．将方程移项后，通过提取公因式求解即可． 【详解】解：移项，得：， 提取公因式，得：， 即， 或， 或． 故选：D． 8. 在给定的平行四边形中作出一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：如图（1），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙：如图（2），以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点B，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线交于点K，连接，则四边形是菱形． 下列判断正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都错 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质．甲：根据作图过程可得有一组邻边相等的平行四边形是菱形；乙：根据作图过程可得是的垂直平分线，然后证明，可得，判断四边形是平行四边形，根据，即可得四边形是菱形． 【详解】解：甲正确，理由如下：四边形是平行四边形， ， 根据作图过程可知：， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故甲的说法正确； 乙正确，理由如下： 如图(2)，连接交于点O， 根据作图过程可知：是的垂直平分线， ，. 四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故乙的说法正确， 故选：C. 9. 如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 10. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈＝10尺），那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为x尺，则可列方程为（ ） A. x2＋（x＋6）2＝102 B. x2＋（x＋6）2＝12 C. x2＋（x﹣6）2＝102 D. x2＋（x﹣6）2＝12 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可． 【详解】解：设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程： x2+（x+6）2＝102， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若在实数范围内有意义，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 12. 如图，线段、相交于点，，若，，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，求得，由，，证明∽，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 【详解】解：线段、相交于点，：：， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或不符合题意，舍去， 故答案为：． 13. 已知关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程先确定的值，再解一元二次方程求出另一根解答即可． 本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【详解】解：把代入一元二次方程， 得． ． 当时，方程不是一元二次方程，不合题意． ． 当时，． ， 或． 故答案为：． 14. 平行四边形中，是其对角线的垂直平分线，分别交、于点，，若该平行四边形的周长为那么，那么的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质．利用平行四边形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，解答即可． 【详解】解：平行四边形的周长为， ， 垂直平分线段， ， 的周长． 故答案为：． 15. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于若我们规定一个新数“”，使其满足即方程有一个根为并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，，，，依次类推那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算、、、、、、、，找到规律，通过规律得结论． 本题考查了新定义运算，掌握新定义运算的规定，找到的值的规律是解决本题的关键． 【详解】解：，，，， ，，，， 通过上面的计算不难发现：的值以为周期循环，即，，，为整数． ，， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），  【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值. 把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项； 先把二次根式按乘法分配律展开合并，再把，数值代进去求值． 【详解】解：原式 ； 解：原式 ， 当，时， ． 17. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米 （2）墙的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 18. 如图所示，四边形是矩形，是其对角线的交点，过点直线分别与，的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求当四边形为菱形时的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据四边形是矩形可证明，得，然后证明四边形是平行四边形； （2）设，则，根据勾股定理求出，进而可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， 四边形是矩形， ，， ， 在与中， ， ∴； ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， 根据勾股定理得：， ， ． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 19. 按要求解下列方程： （1）用配方法； （2）自己喜欢的方法． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）系数化1，移项，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后，利用直接开方法进行计算即可； （2）因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即， ， ，； 【小问2详解】 ， ，即， 或， ，． 20. 如图，在中，D为上一点，E为上一点，如果． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据，可得，即有，结合，可得； （2）根据，可得，即，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在（1）中已证明， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21. 如图，某中学为培养学生的综合实践能力，准备在学校围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边由长度为的篱笆围成．如图，墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为．请列出方程并解答： （1）若苗圃园的面积为，求x的值； （2）苗圃园的面积能达到吗？若能，求出x的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）x的值为9 （2）苗圃园的面积不能达到，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合墙长为，即可确定结论； （2）假设苗圃园的面积能达到，根据苗圃园的面积为，可列出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：x的值为9； 【小问2详解】 解：苗圃园的面积不能达到，理由如下： 假设苗圃园的面积能达到， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即苗圃园的面积不能达到． 22. 如图所示，在矩形中，的平分线交于点，，垂足为点，连结，若． （1）求证：为等腰三角形； （2）如图所示，延长与交于点； ①求证：为的中点； ②若，求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，求得证明结论； 根据直角三角形的性质得到，设，则，根据勾股定理得到，根据矩形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ， 的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 ①证明：，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点； 解：，，为的中点， ， 设，则， 在中，， ， ， 矩形的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 23. 如图所示，为直角三角形，，为的中点，，垂足为点，的延长线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （2）由为的中点，得到，得到，根据相似三角形的性质得到； （3）过作于，由，，，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：为的中点， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：过作于， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $