专题三 函数的概念与性质 综合训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以函数概念为起点，系统整合性质应用与图像分析，通过基础到综合的题型设计构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|选择2/填空10|定义域、幂函数解析式求解|从函数定义出发，强化定义域求解与幂函数概念生成| |性质应用|选择4/5/填空11/14|奇偶性判断、单调性分析、周期性应用|以奇偶性、单调性为核心，推导性质间内在联系及参数求解| |图像分析|选择1/6|运动轨迹图像、函数图像识别|结合几何直观，建立函数性质与图像特征的对应关系| |综合应用|选择8/9/解答19/20|含参数不等式、实际建模、新定义问题|整合函数性质与不等式、导数等知识，体现模型意识与创新思维|

2027高考数学一轮复习专题三 函数的概念与性质 综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数关系的判断 【分析】点在运动时和点在上运动时，，之间是线性关系，点在弧上运动时，是定值，即可结合选项求解. 【详解】当点P在OA段运动时， s随t的增大而匀速增大， 点P在弧AB上运动时， s＝OP＝AB(定值)， 点P在BO上运动时， s随着t的增大而减小． 故选：C 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】利用幂函数、指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义即可得答案. 【详解】是增函数， 又， ， 又是增函数， 则，故充分性成立； 是增函数，， ， 又是增函数， ，故必要性成立. 即“”是“”的充要条件. 故选：. 4．下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数的单调性，判断四个选项即可· 【详解】因为，所以幂函数在上是增函数，所以A错误； 令，则其定义域为，且， 所以函数是奇函数，所以B错误； 因为，所以函数在上单调递增，所以C错误； 函数的定义域为， 对，，所以函数是偶函数. 因为函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，所以D正确. 5．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】C 【知识点】由奇偶性求参数 【详解】， ， 为奇函数，， ，， ， ，对于任意的恒成立， ，，故选项C正确. 6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图象的应用、根据函数图象选择解析式 【分析】由取值情况判断B；由时函数值情况判断C；由的值判断D；分析函数性质判断A. 【详解】对于B，函数的定义域为R，而给定图象对应函数中，B不是； 对于C，函数，当时，，此时图象在下方，C不是； 对于D，函数，，其图象过点，D不是； 对于A，函数，定义域为， ，函数为奇函数，图象关于原点对称， 当时，；当时，，A可能是. 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复合函数的单调性 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】计算得，，由题意得，根据集合间的包含关系可得结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以在上是增函数， 因为，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：. 9．已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，并分析函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】设，. 任取，则， 因为，，所以，即，所以， 所以在上单调递增. 原不等式可化为，由，得. ， 因为在上单调递增，故，即. 又，故. 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若幂函数的图像经过点，则=___________. 【答案】/ 【知识点】求幂函数的值、求幂函数的解析式 【分析】设幂函数的解析式，将点坐标代入，得函数解析式即可求. 【详解】设，则，所以， 则，所以. 故答案为：. 11．已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【详解】因为是奇函数，所以， 又为定义在上的奇函数，则，故. 12．已知，则______；若，则的取值范围是______. 【答案】 0 【知识点】对数的运算、解分段函数不等式、求分段函数值 【分析】分别在各段上解不等式，并检验解是否在对应区间内即可. 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是. 13．定义.设函数，则的单调递增区间为____________. 【答案】，（注：和0处，区间端点可开可闭） 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数的单调区间 【分析】首先将函数写成分段函数的形式，再判断函数的单调区间. 【详解】当，即，得， 所以，得或，所以， 显然，在区间，函数单调递增，在区间，函数单调递增， 在区间，函数单调递增，且在处函数连续， 所以函数的单调递增区间是和. 故答案为：，（注：和0处，区间端点可开可闭） 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据奇偶性和周期性求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以， 所以4），故是周期为4的周期函数， 所以， 又因为，所以． 15．奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 【答案】 【知识点】由奇偶性求函数解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】先求出当时的解析式，然后由导数的几何意义求解即可. 【详解】当时，则，所以， 因为是奇函数，所以， 当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（14分）．已知二次函数，且是的零点. (1)求的解析式，以及不等式的解集； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求二次函数的解析式、求含cosx的二次式的最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据韦达定理列方程组并求得，不等式等价于，解二次不等式即可得解； （2）令，则，然后利用二次函数性质求解值域即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以， 不等式等价于，即，解得或， 所以不等式的解集为. （2），令， 则， 当时，有最小值，当时，有最大值0， 故，即函数的值域为. 17（15分）．已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）答案见解析；（ⅱ） 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）得到，1是方程的两根，由韦达定理得到a和b的值； （2）（i）因式分解得到，分，和三种情况，得到不等式解集； （ⅱ）变形，得到，则在上恒成立，故，求出解集即可. 【详解】（1）由题意得，，1是方程的两根， 则，解得． （2）（i）若，则． 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为． （ⅱ）若，则． 令，则在上恒成立， 所以，即， 解得或， 即x的取值范围为． 18（15分）．已知函数的定义域为，，，且为偶函数. (1)求的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)（i）用定义判断并证明在上的奇偶性； （ii）解不等式. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3)（i）是奇函数，证明见解析；（ii） 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用函数的偶函数的定义求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可； （3）（i）用函数奇偶性的定义判断并证明； （ii）利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】（1）∵，，且为偶函数， ∴，即，整理得， ∴. （2）由（1）知，函数，定义域为， 函数在上单调递增，证明如下： 设， ， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. （3）（i）是奇函数，证明如下： 函数，定义域为， ∵， ∴是奇函数. （ii）函数的定义域为，是奇函数，在上单调递增. ∴不等式可化为， ∴，解得， 故不等式的解集为. 19（15分）．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)5. 【知识点】已知函数值求自变量或参数、分段函数模型的应用、分段函数的值域或最值 【分析】（1）由，建立方程解得，由函数图象连续建立方程解得； （2）由（1）知函数，分别用基本不等式和二次函数的性质求出分段函数的最大值，然后取得函数在定义域上的最大值，即可得到结论. 【详解】（1）∵，即， ∵函数图象是连续不断的， ∴， 解得. （2）由（1）知， 则， 当时，，当且仅当，即时取等号. 当，即时，， 由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值， ∴， ∵，即， ∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 20（16分）．为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 (1)当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； (2)若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； (3)设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)是，证明见解析 (2) (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）直接根据平缓函数定义即可判断； （2）由平缓函数定义将题意转化为恒成立问题即可； （3）根据对称轴与区间的关系求出，依据定义求，最后再利用分类讨论思想解即可. 【详解】（1）在区间上为平缓函数，证明见解析 当时，， 对任意， ， 因为，所以，得， 所以，满足平缓函数定义， 所以时，在区间上为平缓函数. （2）由定义得， 令，，则恒成立 即，需，解得， 所以的取值范围为. （3）由于， 当时，； 当时，； 当时，； 由定义可得， 令，，则恒成立， 即对恒成立， 比较与的大小， 当时，；当时，； 由题意得， 当时，无解； 当时，若，有，得； 若，有恒成立； 即； 当时，恒成立， 综上所述，的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027高考数学一轮复习专题三 函数的概念与性质 综合训练 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第I卷（选择题45分） 一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中既是偶函数，又在区间上是严格减函数的是（   ） A． B． C． D． 5．若为奇函数，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．或1 6．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，，且对任意，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题共105分） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 10．若幂函数的图像经过点，则=___________. 11．已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 12．已知，则______；若，则的取值范围是______. 13．定义.设函数，则的单调递增区间为____________. 14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则____________． 15．奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线方程为_______. 三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（14分）已知二次函数，且是的零点. (1)求的解析式，以及不等式的解集； (2)若，求函数的值域. 17（15分）．已知二次函数． (1)若不等式的解集为，求a和b的值； (2)若． （i）解关于x的不等式； （ⅱ）若对任意恒成立，求x的取值范围． 18（15分）．已知函数的定义域为，，，且为偶函数. (1)求的值； (2)判断并证明函数在上的单调性； (3)（i）用定义判断并证明在上的奇偶性； （ii）解不等式. 19（15分）．2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 20（16分）．为研究函数“平缓变化”的特性，现定义如下概念：设区间为函数定义域的子集，若存在非负常数，对任意的，都有成立，则称是区间上的平缓函数.已知函数 (1)当时，判断并证明在区间上是否为平缓函数； (2)若在区间上为平缓函数，求实数的取值范围； (3)设在区间上的最大值为，且为平缓函数，满足，求实数的取值范围. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $