精品解析：河南商丘市夏邑县2025—2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷

2025−2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 3. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，，点E为的中点，在对角线上有一动点P，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点P．则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 12. 在中，，斜边上的中线长为__________． 13. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 14. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 15. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 18. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 19. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 21. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求四边形的面积． 22. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 23. 如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 （2）如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 （3）如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，通过验证两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A：最长边长为13，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B：最长边长为6，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C：最长边长为9，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D：最长边长为25，，，即，能作为直角三角形三边长，符合题意． 3. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 5. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 6. 如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引（ ）条对角线 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为，边形的内角和为，外角和为，从边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是十边形， ∴从这个多边形一个顶点可以引条对角线， 故选：B． 8. 如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点，且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，求出，在中，根据勾股定理求出的长. 【详解】解：侧面展开图如图所示， ∵圆柱底面周长为， ∴， ∵， ∴， 勾股定理求最短距离： 展开后是直角三角形，为斜边， ∴， 即最短距离为． 9. 如图，在菱形中，，，点E为的中点，在对角线上有一动点P，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，连接，由菱形的性质可得，垂直平分，则可证明是等边三角形，，求出的长，根据，可得当C、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，垂直平分， ∴是等边三角形，， ∵点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为， 故选：C． 10. 如图，在正方形中，点O为对角线的中点，过点O作射线、分别交、于点E、F，且，、交于点P．则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，故①正确； ，故②错误； ∵， ∴，， 在中，， ∴，故③正确； 由①全等可得四边形的面积与面积相等， ∴正方形面积是四边形的面积为的4倍，故④正确． 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个正整数m的值使得是整数；_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】要使是整数，则要是完全平方数，据此求解即可 【详解】解：∵是整数， ∴要是完全平方数， ∴正整数m的值可以为8，即，即， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到要是完全平方数是解题的关键． 12. 在中，，斜边上的中线长为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴斜边上的中线长为， 故答案为：5． 13. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1） （2）三，计算错误 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式解得； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误； 【小问3详解】 解： ． 18. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 19. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证： （1）△ABE≌△CDF； （2）四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【小问1详解】 证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 21. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，作，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）已知，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判断和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定证明，即可得证； （2）过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质可得，再根据勾股定理可得，再根据菱形的性质可得，根据即可得解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ． 22. 【综合实践】 【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，． 【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度． 【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度． 【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？ 【答案】（1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求出； （2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出； （2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 【详解】解：（1）在中， ， 答：OA长为； （2）， ， 在中， ， 答：的长度为 ； （3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：， ， ， ∴在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员． 23. 如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 （2）如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 （3）如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1）见解析； （2），见解析； （3），见解析． 【解析】 【分析】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【小问1详解】 解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：， 证明：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 如图（），把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $