精品解析：2026年江苏省南京市建邺区中考一模考试数学

2025-2026学年第二学期练习（一） 九年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 与最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，当，时，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 圆锥如图所示置于桌面上，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 人们对商品价格的敏感度随着价格的变化而变化．如鸡蛋，由于其消费需求大，可替代商品多，在价格较低时，人们对鸡蛋价格敏感度高，价格稍有变动，鸡蛋销量会产生较大波动；在价格较高时，人们对其价格变化的敏感度会明显降低，能刻画鸡蛋销量与价格关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． 8. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 9. 江苏省年月日至日春假期间，共接待游客约人次，用科学记数法表示是____________． 10. 计算的结果是____________． 11. 小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 13. 如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，与和分别交于，两点，则的长为____________． 14. 如图，将矩形纸片折叠，使点落在的中点处，若，，则折痕的长为____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与交于，两点，且，若点和点的坐标分别是和，则的值是____________． 16. 等边沿图中虚线剪开后可拼成一个正方形，下列结论：①；②；③；④，其中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 尺规作图：如图，已知线段，，作，使，，． 20. 甲、乙两个不透明袋子中各有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同．先从甲袋中摸出个球放入乙袋，搅匀后，再从乙袋中摸出个球． （1）从甲袋中摸出的球是红球的概率是__________； （2）求从两个袋子中摸出的球都是白球的概率． 21. 小邺准备购买一辆汽车，他收集了A，B，C三种品牌汽车的销售数据，并整理如下： （1）图③中，图例2表示____________品牌（填“B”或“C”）； （2）参考上述信息，对小邺选择汽车品牌提出合理建议，并说明理由． （3）为了更好地帮助小邺做出决策，还应该收集哪些数据？ 22. 某城市计划采购型和型新能源公交车，已知每辆型公交车的采购成本是型公交车的倍，用万元采购型公交车的数量比用万元采购型公交车的数量少辆．求每辆型和型公交车的采购成本． 23. 如图，在中，点，分别在，上，且． （1）若是菱形，求证：； （2）若，求证：是菱形． 24. 如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 某型号飞机的座椅如图所示．在初始状态下，椅背与竖直方向的夹角为，的长为．为提升舒适度和支撑性，椅背可向后调节，调节的最大角为．若要保持良好的空间感，则调节过程中，前后相邻椅背上任意两点之间的距离不小于，求座椅间的距离的最小值（结果取整数）．（参考数据：，，，） 26. 已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． （1）当时，点的坐标是___________； （2）用含的代数式表示； （3）若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 27. 漫步绿道，悦享人生 社区准备在矩形空地内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平行直道组成，其中一条直道在边上．已知，． （1）绿道可设计的最大周长为____________； （2）如图②，因国防建设需要，场地一角区域不参与设计，已知，，求此时绿道可设计的最大周长．（画出示意图，并说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期练习（一） 九年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，先化简括号内的同底数幂乘法，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 3. 与最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， 又， 即， ，，且 ， 更接近，选项符合题意． 4. 已知，，当，时，、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】用差值法比较大小，计算，先通分作差，再根据，判断结果正负，即可得解． 【详解】解： ， ，， ，，， ， ． 5. 圆锥如图所示置于桌面上，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面观察物体得到的视图，这个圆锥放在桌面上，从正面看时，两条母线是：直线段，底面会呈现为圆弧，所以主视图是由两条母线和底面圆弧围成的图形，即可解答． 【详解】解：这个圆锥放在桌面上，从正面看时，两条母线是：直线段，底面会呈现为圆弧， ∴主视图是由两条母线和底面圆弧围成的图形，C选项符合题意． 6. 人们对商品价格的敏感度随着价格的变化而变化．如鸡蛋，由于其消费需求大，可替代商品多，在价格较低时，人们对鸡蛋价格敏感度高，价格稍有变动，鸡蛋销量会产生较大波动；在价格较高时，人们对其价格变化的敏感度会明显降低，能刻画鸡蛋销量与价格关系的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意可知，价格低时，敏感度高，价格小幅上涨销量大幅下降；价格高时，敏感度低，价格上涨销量变化平缓，图像先陡后缓递减， ∴应该选择递减、从陡慢慢变平缓的曲线． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 2026的相反数是____________；2026的倒数是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，根据对应定义直接求解即可． 【详解】解：2026的相反数是；2026的倒数是． 8. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解不等式得． 9. 江苏省年月日至日春假期间，共接待游客约人次，用科学记数法表示是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中，为整数， 则． 10. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 11. 小建进行5次射击训练，环数如下：10，8，9，10，9，其方差为，随后他又进行了5次训练，环数如下：9，10，9，8，10．小建这10次成绩的方差为，则____________（填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算出和的大小，比较即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ∴． 12. 设，是关于的方程的两个根，且，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】对于给定的一元二次方程，先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入已知等式计算得到的值． 【详解】解：∵，是方程的两个根 根据根与系数的关系，得， 将，代入得： 解得：． 13. 如图，在中，，，以为圆心，为半径画弧，与和分别交于，两点，则的长为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算与等腰三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质求出圆心角的度数是解题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的底角，再结合作图条件得到，进而求出的度数，最后推导出弧对应的圆心角的度数，利用弧长公式求出弧的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 由作图得， 又， ， ， 根据弧长公式：． 故答案为：． 14. 如图，将矩形纸片折叠，使点落在的中点处，若，，则折痕的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】令点对应的点为，令交于点，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，，，，由题意可得，设，则，结合勾股定理求出，则，证明，得出，，则，再证明，得出，作于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，最后由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：令点对应的点为，令交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得，，，，， ∵点为的中点， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，）的图象与交于，两点，且，若点和点的坐标分别是和，则的值是____________． 【答案】9 【解析】 【分析】过点M作轴于点E，过点C作轴于点F，连接交于点D，设点，则，推导出是等腰直角三角形，得到，，继而证明，得到点D为与的中点，求出，将，代入，得，解得，则，即可解答． 【详解】解：过点M作轴于点E，过点C作轴于点F，连接交于点D，如图 ∴， 设点，则， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴，即，， ∵四边形为平行四边形，，点和点的坐标分别是和， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， 即点D为与的中点， ∴，即， ∴ 则， 将，代入，得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴． 16. 等边沿图中虚线剪开后可拼成一个正方形，下列结论：①；②；③；④，其中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质，结合图形的轴对称性，分析各线段之间的数量关系，逐个判断结论的正确性即可． 【详解】解：拼接后如图所示： 由对称关系可得：，即①正确； ∵正方形的边长为， ∴，即③正确； ∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，即④正确； 由无法得到，即②错误． 综上，所有正确结论的序号是①③④． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解一元一次不等式，再由不等式组解集求法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，移项合并得：， 系数化为，得： 解不等式②去分母，得：， 移项合并同类项得：， 系数化为，得：， ∴原不等式组的解集为. 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式、因式变形利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，最后将，，代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 19. 尺规作图：如图，已知线段，，作，使，，． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作直线l及l上一点C；过点C作l的垂线；在垂线上截取；再以点A为圆心，长度为半径作弧，交直线l于点B；即可得到． 【详解】解：即为所求． 20. 甲、乙两个不透明袋子中各有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同．先从甲袋中摸出个球放入乙袋，搅匀后，再从乙袋中摸出个球． （1）从甲袋中摸出的球是红球的概率是__________； （2）求从两个袋子中摸出的球都是白球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据甲袋红球与总球数的数量，直接用概率公式计算摸出红球的概率； （）通过画树状图列出所有等可能结果，统计两袋均摸出白球的结果数，进而求出对应概率． 【小问1详解】 解：甲袋中共有个除颜色外完全相同的球，其中个是红球，摸出每个球的可能性相等， ∴摸出红球的概率为； 【小问2详解】 解：由树状图可得： 所有等可能的结果共种，其中满足两个袋子摸出的球都是白球（即甲摸白球、乙也摸白球）的结果有种 ∴两个袋子中摸出的球都是白球的概率为：． 21. 小邺准备购买一辆汽车，他收集了A，B，C三种品牌汽车的销售数据，并整理如下： （1）图③中，图例2表示____________品牌（填“B”或“C”）； （2）参考上述信息，对小邺选择汽车品牌提出合理建议，并说明理由． （3）为了更好地帮助小邺做出决策，还应该收集哪些数据？ 【答案】（1）B （2）建议选择C品牌，理由见解析 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：首先看2020-2025年三种品牌销售总量统计图(图①)，B品牌的销售总量最高，C品牌次之，A品牌最低； 再看2025年各品牌市场占有率统计图(图②)，B品牌占比，C品牌占比，A品牌占比； 结合图③的折线走势：图例2的折线整体呈下降趋势，且2025年的销量相对较低，符合B品牌的销售趋势；图例3的折线呈上升趋势，符合C品牌的销售趋势； 所以，图例2表示B品牌； 【小问2详解】 解：建议选择C品牌， 理由： 从销售总量看，C品牌的总量较高； 从市场占有率看，C品牌在2025年的占比()高于B品牌()，略高于A品牌()； 从折线趋势看，C品牌的销量呈逐年上升的趋势，市场表现越来越好； 如果更看重品牌的长期发展潜力，C品牌是更优的选择； 【小问3详解】 解：为了更好地帮助小邺决策，还可以收集： 各品牌汽车的价格区间、油耗、维修保养成本； 各品牌的用户口碑、售后服务质量； 各品牌汽车的安全性、性能参数(如动力、续航等)； 未来几年的政策导向(如新能源补贴、排放标准等) ． 22. 某城市计划采购型和型新能源公交车，已知每辆型公交车的采购成本是型公交车的倍，用万元采购型公交车的数量比用万元采购型公交车的数量少辆．求每辆型和型公交车的采购成本． 【答案】 每辆型公交车采购成本为万元，每辆型公交车采购成本为万元． 【解析】 【分析】设每辆型公交车的采购成本为万元，由题意得每辆型公交车的采购成本为万元，列出方程解答即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设每辆型公交车的采购成本为万元，由题意得每辆型公交车的采购成本为万元， 依题意，得， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （万元）， 答：每辆型公交车采购成本为万元，每辆型公交车采购成本为万元． 23. 如图，在中，点，分别在，上，且． （1）若是菱形，求证：； （2）若，求证：是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，解题的关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质，通过证明角相等推导出邻边相等，进而完成证明． （1）利用菱形四边相等，通过证明，得； （2）连接，用证明，得，从而得,从而判定平行四边形为菱形． 【小问1详解】 证明 四边形是菱形， ． ， ．在和中， ， ． 【小问2详解】 证明：连接， 在和中， ， ， ． 四边形是平行四边形， 是菱形． 24. 如图，点，，，，在上，且． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）的半径为． 【解析】 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【小问1详解】 证：， ， 即， ． 【小问2详解】 解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 25. 某型号飞机的座椅如图所示．在初始状态下，椅背与竖直方向的夹角为，的长为．为提升舒适度和支撑性，椅背可向后调节，调节的最大角为．若要保持良好的空间感，则调节过程中，前后相邻椅背上任意两点之间的距离不小于，求座椅间的距离的最小值（结果取整数）．（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】先得出取最小值时前后相邻椅背的位置，连接，作于E，交于F，作于M，作于N，则四边形，四边形，四边形都是矩形，在中，求出，．在中，求出，，．在中，求出，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，前椅放倒到最大位置时，最靠后的端点为B，后椅位于初始位置，过点B作后椅背的垂线段，则两点是前后椅背上距离最近的两点，要求两点距离不小于，当时，取最小值． 连接，作于E，交于F，作于M，作于N，则四边形，四边形，四边形都是矩形， 由题意得，，，． ∴，． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴座椅间的距离的最小值是． 26. 已知二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． （1）当时，点的坐标是___________； （2）用含的代数式表示； （3）若两个函数图象的另一个交点在点的左侧，则的取值范围是____________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出a的值，则可求出顶点坐标． （2）由顶点坐标公式得出顶点坐标为，再代入一次函数解析式即可得出用含的代数式表示． （3）联立两个函数方程，则，利用韦达定理求，，结合得出，，然后根据两个函数图象的另一个交点在顶点的左侧，得出关于b的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的顶点A的坐标为， 把代入， 则 ∵二次函数图象的顶点在一次函数的图象上． ∴， 解得， ∴顶点A坐标为：． 【小问2详解】 解：∵二次函数的顶点A的坐标为，且在一次函数的图象上， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：联立两个函数方程， 则， 由已知条件可知，则另一个根为， ∴ ，， 由（2）可知，且，即． 把代入得， 把代入中， 则， ∵两个函数图象的另一个交点在点的左侧， ∴， ∴， 解得． 27. 漫步绿道，悦享人生 社区准备在矩形空地内设计如图①所示的环形绿道，绿道由两个半圆形道路和两条平行直道组成，其中一条直道在边上．已知，． （1）绿道可设计的最大周长为____________； （2）如图②，因国防建设需要，场地一角区域不参与设计，已知，，求此时绿道可设计的最大周长．（画出示意图，并说明理由） 【答案】（1）； （2），示意图见详解． 【解析】 【分析】（1）由题意得出半圆的直径最大为，再通过半圆周长加上直道长即可； （2）延长，，相交于点，设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，，设与相交于点，过点作，垂足为点，得出，证得，求出，，在直角中通过求出，再求出，通过求出，从而求出绿道周长，得出绿道周长随半径的增加而增大，得出当时，取得最大值即可． 【小问1详解】 解：，， 两个半圆的直径最大为， 绿道可设计的最大周长为； 【小问2详解】 解：示意图： 理由：延长，，相交于点， 设右半圆的半径为，半圆与，相切于点，，连接，，， 平分， 设与相交于点，过点作，垂足为点， ， ，，， ， ，， ，， 在直角中，，即，解得， ， ，， ， ，即， ， 直道， 绿道周长， ， 绿道周长随半径的增加而增大， 时，取得最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $