精品解析：2025年江苏省南京市建邺区中考一模数学试卷

2024—2025学年第二学期练习（一） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，正确的计算是解题的关键．根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数化简，即可求解． 【详解】解：A、是负数，符合题意； B、，是正数，不符合题意； C、，是正数，不符合题意； D、，是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的形式为正整数以及的确定方法． 先确定的值，再根据原数与的关系确定的值，从而得出科学记数法的表达式． 【详解】， 故选C． 3. 下列计算中，结果是a6的是（ ） A. a3＋a3 B. a3·a3 C. （a3）3 D. a12÷a2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则，逐项计算，即可求解． 【详解】解：A、，结果不是，故A选项不符合题意； B、，结果是，故B选项符合题意； C、，结果不是，故C选项不符合题意； D、，结果不是，故D选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，在中，点在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得，由可得，从而即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴， 又， ． 故选：． 5. 已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质以及解不等式组，先求解，，再逐个选项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A选项错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故B选项错误，不符合题意； ∵，， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵，， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，“十字形”几何体由5个相同的正方体搭建而成．若再添加一些相同的正方体，使得新几何体的三视图全等，则至少需要添加正方体的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．关键是求出搭成的大正方体共有多少个小正方体． 根据三视图的定义解答即可． 【详解】解：如图所示，正方形内的数字表示正方形的个数， 至少需要添加正方体的个数是：（个）． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 【答案】x≥3 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】由题意可得：x—3≥0， 解得：x≥3， 故答案为：x≥3 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键. 8. 方程 的解是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键，注意解分式方程要检验根． 方程两边同时乘以，转化成整理式方程，求得，再检验即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得 解得：， 检验：把代入，得， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 9. 计算的结果是____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘除法，再化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 10. 一个角比它的余角大，则这个角的补角等于____． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握相关定义是解题的关键． 设这个角为，则这个角的补角为，余角为，根据题意列等式求解即可． 【详解】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴这个角的补角 故答案为：130． 11. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平均数的定义、方差的定义，先根据平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的定义求解即可判断． 【详解】解：由题意得，第一组数据的平均数为， ； ∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为， ， ， 故答案为：． 12. 已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形外接圆半径的计算，解题的关键是利用等边三角形的性质和三角函数关系求解． 如图，连接、，过点作于，利用等边三角形的性质，由圆周角定理得，得，再借助和三角函数求出外接圆半径． 【详解】如图，连接、，过点作于， ∵为等边三角形， ∴， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 故答案为：． 13. 小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费____元． 次数 口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 【答案】41 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．利用整体思想解答是解题的关键． 设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得： ， 由得：， ∴， 即各买一杯，需要花费41元． 故答案为：41 14. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 根据正八边形的性质得出是它的一条对称轴，，即可得出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴是它的一条对称轴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，先利用矩形的性质证明，得到，，再证明，求得，进一步得到，最后将代入求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入，得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合问题的基本方法是解题的关键． 16. 如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，直角三角形的性质，切线的性质，熟练掌握计算公式是解题的关键． 设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，求得，，再根据得，从而求得，则，求得，然后利用弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图，设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M， 设内侧弧所在圆的半径为，外侧所在圆的半径为 ∵内侧与边界相切于点C，D， ∴， ∵ ∴ 由题意知 ∴ ∵外侧与边界相切于点E，F， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴． 即． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可． 【详解】解： ． 18. （1）解方程：． （2）方程的解是． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程和无理方程，解题的关键是掌握换元法和解无理方程需检验． （1）用因式分解法解方程即可； （2）设，可得，故，，当时，，当时，，再检验即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2），则， ， 解得：， 当时，，经检验，是原方程的增根， 当时，，经检验，是原方程的解， 19. 求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数. 【答案】 证明： 设这两个连续奇数分别为2n+1，2n+3(n为整数)， 则(2n+3)2-(2n+1)2 =(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1) =2(4n+4) =8(n+1)， 所以(2n+3)2-(2n+1)2一定是8的倍数. 【解析】 【分析】根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了平方差公式，先设出两个连续的奇数，再因式分解，得出答案． 20. 从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是求概率： （1）直接根据概率公式解答即可； （2）根据题意，列出所有可能出现的结果，可得满足两张牌数字相同的结果有3种，再根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： 【小问2详解】 解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 21. 如图，四边形是菱形，点E，F在直线上，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当＝ 时，四边形是正方形． 【答案】（1） 四边形的形状是菱形，理由如下： 连接，交于点，如图1所示： ∵四边形是菱形， ， 点在直线上，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，正方形的性质是解决问题的关键． （1）连接于点，根据菱形性质得，进而得，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当四边形是正方形时，则，设，则，，得出，勾股定理求出，即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形，理由如下： 当四边形是正方形时，则， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 我国2015~2023年博士生招生增长率折线统计图如下． （1）下列说法中，所有正确结论的序号是 ． ①博士生招生增长率的中位数是； ②博士生招生增长率的平均数不超过； ③2018年博士生招生增长的人数最多； ④2023年博士生招生人数最多． （2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015—2023年博士生招生变化情况． 【答案】（1）①②④ （2）从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在附近波动，趋于稳定； 从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，中位数，平均数，率与实际数的关系，对本组数据进行分析等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）通过折线统计图，中位数，平均数，率与实际数的关系逐项判断即可； （2）从增长率的角度进行分析即可． 【小问1详解】 解：①该组数据共9个数，排序后第5个数为，所以中位数为，该选项正确，符合题意； ②该组数据的平均数为，该选项正确，符合题意； ③通过折线图可以看出2018年的增长率最高，并不能代表增长的人数最多，该选项错误，不符合题意； ④由折线图可以看出每年的增长率都为正数，所以每年招生人数都在增长，故2023年招生人数最多，该选项正确，符合题意； 故答案为：①②④； 【小问2详解】 略 23. 如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示． （1）点B坐标的实际意义是 ； （2）求线段的函数表达式； （3）经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合． 【答案】（1）水流时间3 时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9 （2） （3）6.5 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）直接根据图象作答即可； （2）设，待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据速度相同，利用时间等于距离除以速度，进行计算即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9； 【小问2详解】 设，把代入，得： ， ∴， ∴； 【小问3详解】 由（2）可知，水流速度为：， ∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合． 24. 如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．） （1）求坝面的长度； （2）求坡脚向前推进的距离的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用三角函数比解直角三角形，勾股定理，列一元一次方程解几何图形，线段的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握三角函数比解直角三角形． （1）过点作交于，作交于，得出四边形为矩形，分别利用三角函数比表示出和，根据线段的和差列出方程求解即可； （2）利用勾股定理分别求出和，利用面积相等列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点分别作交于，作交于，  ， 又 在中，，  四边形为矩形，  ，， 在中，， ， 在中，，  ， 又 ， ∵， ∴． 解得 ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，  ，， 在中，由勾股定理得， ， 同理，由勾股定理得，， 由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，  ，  ， 解得 ，  ． 25. 如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F． （1）求证； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接． ∵点E是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心定义、同弧所对圆周角相等、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是正确理解三角形的内心定义． （1）连接，证明，根据等角对等边可得结论； （2）证明，根据相似三角形对应边成比例可得，，根据可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 26. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）． （3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】（1） 解：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可解决； （2）根据抛物线对称轴公式解答即可； （3）根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点为，再由，可得，然后分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该函数图象的对称轴是直线； 故答案为： 【小问3详解】 解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∵，都有， ∴当时，抛物线开口向上，再对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∴或， 解得：， 当时，抛物线开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小， ∴或， 解得：， 综上所述，a的取值范围为或． 27. 乘风破浪，最近遥望 （1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离． （2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由） 【答案】（1）5 km （2） M，N即为所求作的两船位置． 【解析】 【分析】（1）如图，过点B作，垂足为C，利用直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）设两条航线相交点于，以为圆主为半径画画圆，分别交于，利用尺规作图确定的中点，则即为两船的位置． 【小问1详解】 解：如图，过点B作，垂足为C． 在中，°， , 则航行过程中两船的最近距离为． 【小问2详解】 如图①，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置． 理由如下： 如图②，设两船航行到E，F处，则． 由作图可知：， ． 过点M作，则． 连接，则四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ， ． ． ． ∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，含角的直角三角形的性质，尺规作图，圆的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”的性质，垂线段最短，构造辅助线，正确理解相关性质是解解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期练习（一） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名，考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果是a6的是（ ） A. a3＋a3 B. a3·a3 C. （a3）3 D. a12÷a2 4. 如图，在中，点在上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，“十字形”几何体由5个相同的正方体搭建而成．若再添加一些相同的正方体，使得新几何体的三视图全等，则至少需要添加正方体的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ． 8. 方程 的解是____． 9. 计算的结果是____． 10. 一个角比它的余角大，则这个角的补角等于____． 11. 在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则____ （填“”“”或“”号）． 12. 已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为____． 13. 小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费____元． 次数 口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价 第一次 2杯 3杯 4杯 126元 第二次 4杯 3杯 2杯 120元 14. 如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则____°． 15. 如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则____． 16. 如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 ． 18. （1）解方程：． （2）方程的解是． 19. 求证:两个连续奇数的平方差一定是8的倍数. 20. 从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． （1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； （2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 21. 如图，四边形是菱形，点E，F在直线上，． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当＝ 时，四边形是正方形． 22. 我国2015~2023年博士生招生增长率折线统计图如下． （1）下列说法中，所有正确结论的序号是 ． ①博士生招生增长率的中位数是； ②博士生招生增长率的平均数不超过； ③2018年博士生招生增长的人数最多； ④2023年博士生招生人数最多． （2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015—2023年博士生招生变化情况． 23. 如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示． （1）点B坐标的实际意义是 ； （2）求线段的函数表达式； （3）经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合． 24. 如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．） （1）求坝面的长度； （2）求坡脚向前推进的距离的长度． 25. 如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F． （1）求证； （2）若，，，求的长． 26. 已知二次函数（a为常数）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点． （2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）． （3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围． 27. 乘风破浪，最近遥望 （1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离． （2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $