精品解析：江苏盐城市大丰区2026年春学期学情调研九年级数学试卷

2026年春学期学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1.本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2.所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得到答案． 【详解】∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴ 的相反数是． 2. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A是轴对称图形，又是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是轴对称图形，也是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意． 3. 盐城，一个让人打开心扉的地方，素有“东方湿地之都”之美誉！全市湿地总面积约769700公顷．数据769700用科学记数法表示为（ ） A. 7.697×103 B. 7.697×104 C. 76.97×104 D. 7.697×105 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法要求形式为，其中，n为整数． 【详解】解：． 4. 为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 精 D. 神 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体表面展开图相对的面之间要间隔一个正方形，可知：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 【详解】解：与“航”字所在面相对的面上的汉字是“神”． 5. 如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（ ） A. 1月份 B. 2月份 C. 3月份 D. 4月份 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，正确的把握图象中的信息，理解利润=售价-进价是解题的关键． 根据利润=售价进价，结合图象中给出的信息即可得到结论． 【详解】解：由图象中的信息可知， 利润=售价进价，利润最大的是2月， 故选：B． 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 7. 如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图4中的虚线剪下（点和为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的每个内角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠可以求出，从而可知展开后得到的多边形的边数为，再根据多边形内角和公式求出每个内角的度数． 【详解】解：如下图所示， 由折叠可知， 展开后得到的多边形的边数为， 展开后得到的平面图形的每个内角度数为． 8. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质作出推测，其中结论正确的是（ ） ①图象与坐标轴相交；②图象位于第一、二象限； ③图象关于y轴对称；④图象总是呈现下降趋势． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域、函数值符号、对称性、增减性逐项判断即可． 【详解】解：对于函数， ①分母不能为0， ，即，图像不与y轴相交； 又， ，恒不为0，图像不与x轴相交，即①错误； ②时，，对应点在第一象限；时，，对应点在第二象限． 图像位于第一、二象限，②正确． ③对任意，都有，即若点在图像上，则点也在图像上， 图像关于y轴对称，③正确． ④当时，增大，增大，减小，y随x增大而减小； 当时，增大，减小，增大，y随x增大而增大． 因此图像不是总呈现下降趋势，④错误． 综上，正确结论为②③，即选项C符合题意． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上．） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解中提公因式法是解题的关键，将公因式为提出分解因式即可得到答案． 【详解】解：. 故答案为：． 10. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数为非负数． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 11. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定一共有16块方砖，阴影部分有8块，再根据概率公式解答． 【详解】解：一共有16块方砖，阴影部分有8块，所以小球停留在阴影区域的概率是． 12. 如图，用一张圆心角为，半径为6的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长求解即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径是， 由题意得：， 解得， 即这个圆锥的底面半径是2． 13. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 【答案】 【解析】 【分析】可以设醇酒买斗，则行酒买斗，根据题意列出二元一次方程组求解即可．本题考查二元一次方程组的应用，根据题意等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设醇酒买斗，则行酒买斗． 由题意得，， 由①得， 把③代入②得， 解，得， 把代入③得， 所以原方程组解为， 所以醇酒买了斗． 14. 如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 【答案】116 【解析】 【分析】连接，利用求出，进而求出，最后利用圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】如图，连接． 是的直径， ． ， ． ． 四边形是的内接四边形， ， ． 15. 将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 【答案】1或7 【解析】 【分析】①将直线沿轴向上平移个单位，得到，联立，得到，求得； ②将直线沿轴向下平移个单位，得到，联立，得到，求得． 【详解】解：分两种情况讨论： ①将直线沿轴向上平移个单位， ∴平移后解析式为：， 联立， 整理得：， ∴，即， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； ②将直线沿轴向下平移个单位， ∴平移后解析式为： 联立， 整理得：， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴； 综上，实数的值为或． 16. 如图，在中，，，折叠，使点与点重合，得到折痕，连接，相交于点．若，则图中阴影部分（）的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质得垂直平分，即、；结合，通过作高利用求出相关线段长度，再证 ，结合面积比例求解阴影部分面积． 【详解】解：过点作于，如图， 折叠，使点与点重合， 垂直平分，即，． ，， ， ， ． 在Rt中，，， ， 由勾股定理得：， ， 垂直平分 又 ，， ，， 得 ，， ， ， 又 ， 相似比为 ， 则． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根的定义、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值，把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）分别求出每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分，化简后将x的值代入计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，掌握分式的基本性质，将分式通分和约分进行化简是关键． 19. 2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A.荷兰花海； B．中华麋鹿园； C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． （1）小明家选择景区的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：有三个景区，选择它们的概率等可能分布， 所以； 【小问2详解】 方法一：用表格列出所有可能的结果： A B C A B C 由表格可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 方法二：树状图法 由图可知，共有9种可能的结果，并且它们是等可能的，“小明家和小丽家选择相同景区”记为事件D，它的发生有3种． ． 答：小明家和小丽家选择相同景区的概率为． 20. 已知：如图，点，在上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． 选择条件②，利用“”证明即可作答；选择条件③，利用“”证明即可作答． 【详解】解：方案1：选择条件②，结论成立． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即：． 方案2：选择条件③，结论成立． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即：． 21. 如图，在中，是边上的一点，以点为圆心，的长为半径作，恰好与边相切于点，与边交于点，连接． （1）求证：∽； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得，再根据直径所对的圆周角是直角得，进而得出，接下来根据“等边对等角”得出，最后根据“两角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）先根据相似三角形的对应边成比例得，再根据可得，进而得出，，然后求出，则此题可解． 【小问1详解】 证明：连接． ∵与相切， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵在中，， ∴， 解得：，． ∴， ∴，即的半径为． 22. 为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明・缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息： 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 55.3 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______，m＝______； （2）该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由） 【答案】（1）87，86，40 （2）448人 （3）八年级，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义解答； （2）用该校八九年级的总人数乘以优秀人数所占的百分比即可； （3）根据中位数，优秀人数判断即可． 【小问1详解】 解：八年级A组有人，B组有人，C组7人，将数据重新排列为81，83，84，86，86，88，89，第10，11个数据分别为86，88，所以八年级的中位数，，则；因为九年级86出现的次数最多，所以众数； 【小问2详解】 （人） 答：估计两个年级成绩优秀的学生共448人; 【小问3详解】 解：八年级成绩更好． ∵八年级成绩的中位数比九年级高，且优秀人数比九年级多， ∴八年级成绩更好． 23. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2）点P距地面的高度为 【解析】 【分析】（1）延长交于点F，利用三角形的外角性质求解即可； （2）延长，过点P作于点G，在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：延长，过点P作于点G， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 答：点P距地面的高度为． 24. 第二届“苏超”（2026年江苏省城市足球联赛），在全省球迷的热切期盼中，于4月11日晚在常州奥林匹克体育中心正式拉开帷幕． 【数学观察】小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分． 【数学建模】为研究禁区外射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点，水平向右（指向球门）为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； 【建模应用】 （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门宽度为7.32米，球门中心点正对原点所在的水平直线．球员甲在距离球门米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） （3）已知对方守门员身高1.9米，站在距球门线3.5米处准备扑救．该守门员原地起跳的最大高度是0.8米，手臂可伸出至头顶正上方0.5米的位置．问：该守门员能否扑到这脚射门？若能，请说明理由；若不能，请计算该守门员需要沿x轴方向至少移动多少米才能恰好扑到球．（结果精确到0.1米，≈11.40） 【答案】（1） （2）能射入球门 （3）不能，1.2米 【解析】 【分析】（1）设抛物线对应的函数表达式为，再将点代入得出答案； （2）将代入关系式求出，再根据判断即可； （3）将代入关系式可得，再求出该守门员的最大摸高为，可知该守门员不能扑到这脚射门．然后令，求出 ，，进而得出移动的距离即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线过点，顶点． 设抛物线对应的函数表达式为， 将代入得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：能射入球门． 在中，令，则． ∵， ∴此次射门足球能直接飞入球门； 【小问3详解】 解：不能扑到．在中， 当时，． ∵该守门员的最大摸高为， ∴该守门员不能扑到这脚射门． 令，则， 解得：，． ∴移动的距离为或， ∵， ∴该守门员需要沿x轴向后至少移动1.2米． 25. 定义：在平面直角坐标系中，点在某函数图象上，且满足，（是常数，），则称点是该函数图象的“距点”． 例如：点是函数图象的一个“距点”． （1）①在点，，中，是反比例函数图象的“距点”的是点______； ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是______； （2）已知一次函数的图象上有且只有一个“距点”，求的值； （3）已知二次函数图象上存在“距点”，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）①，；②16 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）①如图，由反比例函数图象的“距点”在图中边长为的正方形的内部或边上，同时在反比例函数图象上，结合图象求解即可. ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形的面积. （2）在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形，（包含边界），而一次函数的图象上有且只有一个“距点”，可得过或，再进一步求解即可. （3）在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形在边长为的正方形内（含边界）或原点，结合图象分两种情况：当过时，如图，当过时，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：①如图， ∵反比例函数图象的“距点”在图中边长为的正方形的内部或边上，同时在反比例函数图象上， ∴是反比例函数图象的“距点”， 不是反比例函数图象的“距点”. ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形的面积，面积为. 【小问2详解】 解：∵在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是边长为的正方形，（包含边界）， 而一次函数的图象上有且只有一个“距点”， ∴过或， ∴或， 解得：或. 【小问3详解】 解：在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形在边长为的正方形内（含边界）或原点， ∵二次函数的对称轴为直线， 当过时， ∴， 解得：， 如图，当过时， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上：二次函数图象上存在“距点”，的取值范围为. 26. 在数学综合实践课上，老师让同学们制作两个全等的矩形纸片和，并重合放置，要求各小组以“图形的旋转”为主题开展数学活动，其中矩形保持固定，将矩形绕点按顺时针方向旋转． （1）“勤学小组”提出问题：如图1，当与射线相交于点时，猜想与的数量关系，并加以证明． （2）“善思小组”提出问题：如图，连接，当矩形旋转至恰好平分时，取中点，连接， ①试探究：当边，的长满足什么数量关系时，四边形是菱形？请说明理由；②在①的条件下，若，则线段扫过的面积为______； （3）“创新小组”提出问题：在矩形绕点旋转的过程中，连接，直线，分别交射线于点， ①请用无刻度的直尺和圆规作出矩形，使得，，三点在同一条直线上；（在图中完成作图，保留作图痕迹，不写作法） ②在①的条件下，若，，求线段的长． 【答案】（1），见解析 （2）①，见解析；② （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明即可得到结论； （2）①当时，四边形是菱形；证明，均为等边三角形即可得到结论；②如图，由①得：，，可得共线，进一步利用割补法求解面积即可； （3）①如图，作，再利用矩形性质确定即可； ②连接，则由勾股定理得：．可得A，，三点在同一条直线上，且，证明．设，则，求解．可得．证明，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解： ．理由如下： 连接CE．由旋转得：，， ∵在和中，， ， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①当时，四边形是菱形． 理由如下：∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴，． ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴，均为等边三角形． ∴． ∴四边形是菱形． ②如图，由①得：，， ∴共线， ∵，， ∴线段扫过的面积为 ． 【小问3详解】 解：①如图，矩形即为所求作； ②连接，则由勾股定理得：． ∵A，，三点在同一条直线上，且， ∴， ∴由（1）同理得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 在中，， 解得：． 即． ∵，，， ∴． 在和中， ∵，， ∴， ∴，即． 设，则，， ∴， 解得：． 即PD的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期学情调研 九年级数学试卷 注意事项： 1.本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分．考试形式为闭卷． 2.所有试题必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分． 3.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列各数中，与2026互为相反数的是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”，“方形圆径”，“圆材藏壁”，“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 盐城，一个让人打开心扉的地方，素有“东方湿地之都”之美誉！全市湿地总面积约769700公顷．数据769700用科学记数法表示为（ ） A. 7.697×103 B. 7.697×104 C. 76.97×104 D. 7.697×105 4. 为了发扬“中国航天精神”，每年的月日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 精 D. 神 5. 如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（ ） A. 1月份 B. 2月份 C. 3月份 D. 4月份 6. 如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 如图，将一张圆形纸片对折三次后，沿图4中的虚线剪下（点和为半径的中点），得到两部分，去掉有圆弧的部分，剩余部分展开后得到的平面图形的每个内角度数为（ ） A. B. C. D. 8. 小明根据学习函数的经验，对函数的图像与性质作出推测，其中结论正确的是（ ） ①图象与坐标轴相交；②图象位于第一、二象限； ③图象关于y轴对称；④图象总是呈现下降趋势． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上．） 9. 分解因式：______． 10. 式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 11. 一个小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机地停留在某块方砖上，则小球停留在阴影区域的概率是______． 12. 如图，用一张圆心角为，半径为6的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是______． 13. 我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”大意是：优质酒（醇酒）1斗价值50钱，普通酒（行酒）1斗价值10钱．现用30钱，共买到2斗酒．问醇酒、行酒各买了多少斗？根据题意可知，醇酒买了______斗． 14. 如图，为的直径，点，，在上，若，则的度数是______ 15. 将直线沿轴平移个单位，与反比例函数的图象只有一个公共点，则实数的值是______． 16. 如图，在中，，，折叠，使点与点重合，得到折痕，连接，相交于点．若，则图中阴影部分（）的面积是______． 三、解答题（本大题共有10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 17. 计算与解不等式组 （1）； （2） 18. 先化简，再求值：其中． 19. 2026年4月江苏省首次在全省义务教育阶段推行春假，旨在打破传统课堂边界，引导学生走出书本、亲近自然，促进亲子互动、研学成长． 春假期间，学校建议同学们利用假期自主到以下三个景区开展亲子研学活动． A.荷兰花海； B．中华麋鹿园； C．中华水浒园． 小明家和小丽家各自从中随机选择一个景区作为本次春假研学的第一站． （1）小明家选择景区的概率是______； （2）用列表或画树状图的方法，求小明家和小丽家选择相同景区的概率． 20. 已知：如图，点，在上，，．若______，则．请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 21. 如图，在中，是边上的一点，以点为圆心，的长为半径作，恰好与边相切于点，与边交于点，连接． （1）求证：∽； （2）若，，求的半径． 22. 为弘扬爱国主义教育，某校在清明节来临之际开展“走进清明・缅怀英烈”知识竞赛活动，现从八年级和九年级参加活动的学生中各随机抽取20名同学的成绩进行整理、描述和分析（成绩用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）， 下面给出了部分信息： 八年级C组学生成绩为：88，81，84，86，83，86，89； 九年级20名学生成绩为：66，76，77，78，79，81，82，83，84，86，86，86，88，88，91，91，92，95，96，99． 八、九年级学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 55.3 九年级 85.2 86 b 62.1 八年级学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝______，b＝______，m＝______； （2）该校八、九年级共1280名学生参加了此次知识竞赛活动，估计两个年级成绩为优秀（90分及以上）的学生共有多少人？ （3）根据以上数据，你认为哪个年级对爱国主义教育知识掌握更好？请说明理由．（至少从两个不同的角度说明理由） 23. 2026马年春晚的《武BOT》机器人武术秀燃爆全场，机器人每一个精准利落的动作，不仅给观众带来一场视觉盛宴，更让全世界看到了中国AI机器人硬核实力． 如图1，是某型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间抽象的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．已知，，． （1）求的度数； （2）求点距地面的高度．（参考数据：，，） 24. 第二届“苏超”（2026年江苏省城市足球联赛），在全省球迷的热切期盼中，于4月11日晚在常州奥林匹克体育中心正式拉开帷幕． 【数学观察】小明发现，球员在禁区外起脚射门，足球一次次在空中划出优美的弧线，其运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分． 【数学建模】为研究禁区外射门的轨迹规律，以射门瞬间足球的位置为原点，水平向右（指向球门）为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．球员甲在某次禁区外射门中，足球被踢出时，初始位置距离地面的高度为0.5米；当足球水平飞行10米时，达到飞行的最高点，距离地面高度为4.5米． （1）在给定的平面直角坐标系中，求该抛物线对应的函数表达式； 【建模应用】 （2）已知标准足球球门横梁高度为2.44米，球门宽度为7.32米，球门中心点正对原点所在的水平直线．球员甲在距离球门米处完成（1）中的远射．请通过计算判断，在无拦截的状态下，此次射门足球能否直接飞入球门？（仅考虑高度和水平位置，忽略其他因素） （3）已知对方守门员身高1.9米，站在距球门线3.5米处准备扑救．该守门员原地起跳的最大高度是0.8米，手臂可伸出至头顶正上方0.5米的位置．问：该守门员能否扑到这脚射门？若能，请说明理由；若不能，请计算该守门员需要沿x轴方向至少移动多少米才能恰好扑到球．（结果精确到0.1米，≈11.40） 25. 定义：在平面直角坐标系中，点在某函数图象上，且满足，（是常数，），则称点是该函数图象的“距点”． 例如：点是函数图象的一个“距点”． （1）①在点，，中，是反比例函数图象的“距点”的是点______； ②在平面直角坐标系中，所有“距点”组成的图形的面积是______； （2）已知一次函数的图象上有且只有一个“距点”，求的值； （3）已知二次函数图象上存在“距点”，请直接写出的取值范围． 26. 在数学综合实践课上，老师让同学们制作两个全等的矩形纸片和，并重合放置，要求各小组以“图形的旋转”为主题开展数学活动，其中矩形保持固定，将矩形绕点按顺时针方向旋转． （1）“勤学小组”提出问题：如图1，当与射线相交于点时，猜想与的数量关系，并加以证明． （2）“善思小组”提出问题：如图，连接，当矩形旋转至恰好平分时，取中点，连接， ①试探究：当边，的长满足什么数量关系时，四边形是菱形？请说明理由；②在①的条件下，若，则线段扫过的面积为______； （3）“创新小组”提出问题：在矩形绕点旋转的过程中，连接，直线，分别交射线于点， ①请用无刻度的直尺和圆规作出矩形，使得，，三点在同一条直线上；（在图中完成作图，保留作图痕迹，不写作法） ②在①的条件下，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $