精品解析：山东临沂市蒙阴县实验中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2025-2026学年高一数学下学期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A. B. C. D. 7. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对边分别为（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 12. 已知向量，的夹角为，，，则________. 13. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 14. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 16. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 17. 已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是的中点，且，求的面积． 18. 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. （1）求该圆锥的表面积； （2）用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 19. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，则， 所以=. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得，解得. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 4. 如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且， 故，故， 所以四边形的周长为. 5. 设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意， 在上的投影向量为. 6. 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆台的侧面展开图可得母线长，进而可求圆台的高，再结合圆台体积的计算公式即可求解. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得， ，解得，故圆台的母线， 高， 故圆台的体积， 7. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案. 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 8. 在中，内角A，B，C所对边分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简可得即可求解. 【详解】，由正弦定理得. 结合余弦定理可得， 根据正弦定理得， ， 因为为三角形的内角，则 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. B. ，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由虚数单位的次方规律求解判断；对B，由复数的虚部不为0时，复数不能比较大小判断；对C，根据复数的乘法运算和复数的模计算公式求解判断；对D，举反例说明. 【详解】对于A，因为的取值是以4为周期，所以，故A正确； 对于B，当复数的虚部不为0时，复数不能比较大小，如，，故B错误； 对于C，设，则，所以，故C正确； 对于D，举反例，如，则，而，故D错误. 故选：AC. 10. 已知点，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，的夹角为钝角，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，的坐标，再逐项计算判断各个选项即得. 【详解】由点，，，得，， 对于A，，故A正确； 对于B，由，得，解得，故B错误； 对于C，由，得，解得，故C正确； 对于D，由，的夹角为钝角，得且与不共线， 即且，故D错误. 故选：AC. 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分和两种情况结合正弦函数的单调性讨论即可；对于B，得到或，即可判断；对于C，可以得到，但是不一定是最大角，由此即可判断；对于D，由正弦定理即可判断. 【详解】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确. 故选：ABD. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 12. 已知向量，的夹角为，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模长与数量积的关系及数量积公式计算即可得. 【详解】， 则，即，则或， 由向量，的夹角为，故，故. 13. 已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为的正四面体， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，球的半径， 则该球的表面积为. 14. 宁化县的慈恩塔始建于唐末年间，现在的慈恩塔是1998-2006年重建的，如图1.某人为了测量塔高，在点处测得仰角为，在点处测得仰角为，两点间的距离为米，，如图2，则塔的高度为_________米. 【答案】 【解析】 【分析】分别在以及表示出，然后在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】设塔高为， 在中，，则， 在中，，则，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即， 化简可得，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数运算化简条件，结合复数模的公式列方程求； （2）由条件，根据纯虚数的定义求，结合共轭复数定义，复数运算法则再求，根据复数的几何意义列不等式求的范围； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 为纯虚数， ，且 ∴， 又 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限，则， 解得.因此，实数的取值范围是. 16. 已知向量，满足，向量的夹角为． （1）求的值； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，， 则； 【小问2详解】 由已知，， ， 则向量与的夹角的余弦值为. 17. 已知中，，，分别为角，，的对边，且． （1）求； （2）若，是的中点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理，结合题意，可得答案； （2）由向量的线性运算，结合向量数量积的运算律，建立方程，利用三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 因为是的中点，所以，即， 故． 又，，所以． 因为，所以，可得， 则，． 所以的面积为． 18. 一个圆锥的底面半径为2，高为6，在圆锥内部有一个高为的内接圆柱. （1）求该圆锥的表面积； （2）用表示圆柱的轴截面面积；当为何值时，求最大值. 【答案】（1） （2）；当时， 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的侧面积公式，圆锥的底面积公式，圆锥的表面积公式求解； （2）设圆柱的底面半径为，利用三角形相似得到，解得，求出圆柱的轴截面面积，得到是的二次函数，利用二次函数的图象和性质求解. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，， ， 则圆锥的侧面积为， 圆锥的底面积为， 则圆锥的表面积； 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为，则由三角形相似得到，解得， 则圆柱的轴截面面积为， 对称轴为，当时，. 19. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 【答案】救援船到达D点需要1小时． 【解析】 【详解】 海里 又海里 中，由余弦定理得, 海里，则需要的时间 答：救援船到达D点需要1小时 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $