精品解析：山东济南市历城第一中学2025-2026学年高一下学期4月份质量检测数学试题

2025级高一下学期4月份质量检测（2026.04） 数学试题 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ） A. －1 B. －i C. i D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘、除法运算化简复数z，再由共轭复数的定义即可得出答案. 【详解】， 因为复数是纯虚数，所以， 则，所以. 故选：C. 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，然后根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：. 3. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意判断出三角形有两解时，满足的不等关系求解即可． 【详解】因为， 要使三角形有两解，就是要使以C为圆心， 半径为2的圆与BA有两个交点， 所以只需满足，即，解得. 故选：C 4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D作答. 【详解】对于A，在长方体中，平面为平面，分别为直线， 显然满足，而，此时不成立，A错误； 对于B，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，B错误； 对于C，在长方体中，平面，平面分别为平面，为直线， 显然满足，而，此时不成立，C错误； 对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确. 故选：D 5. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数模的几何意义求出点的轨迹．然后作图求解即可． 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故选：A. 6. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（     ）. A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的四则运算结合垂直关系可知，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 又因为，可知， 所以点为的垂心. 故选：C. 7. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 8. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直结合正、余弦定理可得，分析可知点在优弧上运动（不包括端点），结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作， 当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A代入即可判断正误，对于B取特殊值验证即可，对于C设，求得即可判断正误，对于D设，代入验证即可求得. 【详解】对于A选项，，则，故A正确； 对于B选项，取，，则，但且，所以B错误； 对于C选项，设，则，所以，C正确； 对于D选项，设，则由得， 又，， 故成立，D正确． 故选：ACD． 10. 如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（ ） A. 圆台的母线长为6 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为24π D. 圆台外接球的半径为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用圆台的几何结构特征，求得圆台的母线长，可得判定A错误；利用圆台的体积公式，求得圆台的体积，可判定B正确；利用圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积，可判定C正确；设圆台的外接球的球心到上底面的距离为，利用球的截面圆的性质，求得，进而的球的半径，可判定D正确. 【详解】由题意知，圆台的上、下底面圆的半径分别为和，高， 则圆台的母线长为，所以A错误； 圆台的体积为，所以B正确； 圆台的侧面积为，所以C正确； 设圆台的外接球的球心到上底面的距离为， 由球的截面圆的性质，可得，解得， 所以球的半径为，所以D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为. 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和斜二测画法可知四边形为直角梯形，且，从而可求出原图形的面积. 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 13. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，依题意可得且，即可得到，再根据球及圆柱的体积公式计算可得； 【详解】解：设小球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则且，即，所以，所以； 故答案为： 14. 在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______． 【答案】 ①. 16 ②. 【解析】 【分析】由已知可得，则，再由求解，由题意知，设，即可取一个符合题意的，即可得解． 【详解】解：， ， 则． 由题意知，设，则，所以，又，所以，故可取，则 故答案为：，（答案不唯一）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直关系的向量坐标表示可解； （2）由向量平行的坐标表示求出，再代入向量夹角公式可得. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 即向量与的夹角的余弦值为. 16. 如图，在中，，，D是BC边上一点，且， （1）求的长； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解； （2）在中，先利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. 【小问1详解】 在中，，则， 在中，，即，得. 【小问2详解】 因为在中，， 所以， 则， 又，即，解得， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形为平行四边形，从而得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）由题知，根据面面垂直的性质可证平面，然后利用体积计算公式求解； （3）取的中点，连接，过作于，则为二面角的平面角，在中，可求，再得到即可. 【小问1详解】 取中点，连接， 为的中点，为中点，所以，且， 又，，，， 所以有，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以//平面． 【小问2详解】 底面是直角梯形，，平面，平面， 所以//平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥的体积， 又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半， 所以， 又，，， 所以，故， 又，，所以， 平面平面，且平面平面， 又平面，所以平面， 故. 【小问3详解】 因为平面平面，且其交线为， 又平面，， 所以平面， 取的中点，连接， 在中，，分别为，的中点， 所以， 则平面， 过作于，连接，则有， 所以为二面角的平面角， 在直角梯形中，，，所以， 所以， 又，所以， 在中，， 所以，又， 解得：， 即二面角的余弦值为． 18. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明； （2）用表示出，根据向量平行及即可求解； （3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． 【小问2详解】 在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量共线， 可得，结合，解得， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，又， 则， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得， 所以，， 可得 ， 又是边上一点（含端点），，则， 所以． 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用正弦定理和余弦定理，转化求解，即可求出的值． （2）设，利用中线的向量表示，计算以及，利用求出，再计算的面积． （3）设，，，其中，，,，根据，得出，由、、三点共线得，计算的取值范围即可． 【小问1详解】 由已知条件可知：， 在中，由正弦定理， 得， 在中，由余弦定理，得， ，又. 【小问2详解】 设为边上中线,， 则 ①， ， 或 由①，得， . 【小问3详解】 设， ， 根据三点共线，得， （，为） . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期4月份质量检测（2026.04） 数学试题 注意事项： 1.答卷前、考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案题号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数是纯虚数，则z的共轭复数（ ） A. －1 B. －i C. i D. 1 2. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知在△ABC中，，若三角形有两解，则x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4. 设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. ，则 B. ，则 C. ，则 D. ，则 5. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的（     ）. A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心 7. 在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若是纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，已知圆台上，下底面的圆心分别为，，半径分别为2和4，高为，四边形为圆台的轴截面，则（ ） A. 圆台的母线长为6 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为24π D. 圆台外接球的半径为4 11. 如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（ ） A. 动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B. 直线与的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 13. 已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为_____________. 14. 在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则______；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，，． （1）当时，求实数的值； （2）当时，求向量与的夹角的余弦值． 16. 如图，在中，，，D是BC边上一点，且， （1）求的长； （2）若，求. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的余弦值. 18. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 19. 如图，设中角所对的边分别为为边上的中线， （1）求边的长度； （2）求的面积； （3）设点分别为边上的动点（含端点），线段交于，且的面积为面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $