精品解析：云南迪庆藏族自治州民族中学2026届高三上学期期中考试数学试卷

迪庆州民族中学2026届高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 3. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（且）是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知复数，则（ ） A 1 B. 2 C. D. 8. 已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则以下结论正确的是（ ） A. 的范围是 B. 若，则曲线具有周期性 C. 曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 曲线与圆有公共点 10. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最小值是_________. 13. 已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 14. 数列满足，则的前100项和_____． 四、解答题 15. 已知函数 . （1）若 ，求曲线 在点处的切线方程； （2）若 ， 恒成立，求 的取值范围. 16. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． （1）可否用线性回归模型拟合与关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． （2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 17. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前项和. 19. 若函数的零点和极值点是同一个数，则称为函数的一个“点”． （1）若函数存在“点”，求实数值； （2）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数存在“点”，并说明理由． （3）已知函数，当恒成立时，判断否存在使函数存在唯一“点”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 迪庆州民族中学2026届高三上学期期中考试 数学试卷 (考试时间：120分钟；满分150分) 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容:高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】解二次不等式即可得解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 3. 已知且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算性质和对数运算性质逐项判断即可. 【详解】由题意得A项中的和C项中的的值无法确定， 对于B，，对于D，． 故选：D 4. 已知函数（且）是上的单调函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合分段函数的单调性的求解方法和对数函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，函数（且）是上的单调函数， 则满足，解得. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的单调性求参数，以及一元二次函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练分段函数的单调性的判定方法，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先对原函数进行求导，根据题意导数小于0，然后根据正弦函数的性质确定其最值即可求出的取值范围. 【详解】由题意得在上恒成立， 则. 因为， 要使得不等式恒成立，则． 故选：D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【详解】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D 7. 已知复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出可得，再求模长. 【详解】，， 则. 故选：D. 8. 已知圆的圆心到直线距离是，则圆M与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 内含 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】首先由圆心到直线距离是列式求出的值，进而可得圆心的坐标以及圆的半径，比较两圆圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的大小关系即可求解. 【详解】圆即圆的圆心半径分别为， 圆的圆心半径分别为， 因为，解得或（舍去）， 从而，所以， 因为， 所以圆M与圆的位置关系是内含. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则以下结论正确的是（ ） A. 的范围是 B. 若，则曲线具有周期性 C. 曲线既是轴对称图形又是中心对称图形 D. 曲线与圆有公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦函数值域判断A，根据周期性及对称性定义判断B，C，应用特殊点判断D. 【详解】曲线，则，A选项错误； 当，则曲线，， 所以是周期，所以曲线具有周期性，B选项正确； 代入曲线成立，所以曲线关于轴成轴对称图形， 代入曲线成立，所以曲线关于对称图形， 所以曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，C选项正确； 曲线，与圆有公共点，D选项正确； 故选：BCD. 10. 已知等比数列的前项和为，且为等差数列，且，记集合中元素的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出数列和的通项公式，进而分析选项是否正确，综合可得答案． 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 两式相减得，即，所以， 又，解得，则，故A正确； ，故B不正确； 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，故C正确； 由，得，则集合中元素的个数为，即，故D正确． 故选：ACD． 11. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A和事件B互斥， B. 数据2，7，4，5，16，1，21，11的第70百分位数为11 C. 若随机变量，，则 D. 若y关于x的回归方程为，则y与x是线性负相关关系 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义判断A；根据百分位数的定义判断B；根据正态分布性质判断C；根据正负相关的定义判断D. 【详解】对于A，因为事件A和事件B互斥，所以，故错误； 对于B，将原数据重新排列为：1，2，4，5，7，11，16，21，共8个数， ，所以该组数据的第70百分位数即为第6个数11，故正确； 对于C，因为随机变量，，所以，故错误； 对于D，因为y关于x的回归方程为，，则y与x是线性负相关关系，故正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则的最小值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 13. 已知复数满足（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用复数模的运算有且，即可得. 【详解】由，则，故. 故答案为： 14. 数列满足，则的前100项和_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】， ①当偶数时， ，，， ，， … ， . ②当为奇数时， ，， ， ，，…，， ， 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数 . （1）若 ，求曲线 在点处的切线方程； （2）若 ， 恒成立，求 取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用题意可得切线斜率 ，切点为 ，最后点斜式得出切线方程. （2）将问题转化为不等式恒成立，研究单调性得出最小值大于等于0，可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当 时， ，则 ， 故切线斜率 ，又因为切点为 ， 所以曲线 在点处的切线方程为，即 . 【小问2详解】 不等式等价于不等式恒成立， 记，则 ，定义域为， 令 ，得  ， 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， ，所以.  综上所述，实数 的取值范围为 . 16. 氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位：万吨）的折线图，其中年份代码1~9分别对应年份2015~2023． 已知，，，． （1）可否用线性回归模型拟合与的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明． （2）若根据所给数据建立回归模型，可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物排放量？请说明理由． 附：相关系数． 【答案】（1）可以用线性回归模型拟合与的关系，说明见解析 （2）可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由相关系数的计算公式代入计算，即可判断； （2）根据题意，由线性回归方程的意义，即可判断. 【小问1详解】 从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合与的关系， 由题意知， 相关系数． 故可以用线性回归模型拟合与的关系． 【小问2详解】 可以预测2024年的氮氧化物排放量，但不可以预测2034年的氮氧化物排放量． 理由如下： ①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型进行预测； ②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的． 17. 如图，在三棱柱中，四边形为菱形，为的中点，底面为等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）见证明；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一可得；利用勾股定理可证得；根据线面垂直判定定理可证得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标，利用空间向量法求解出平面和平面的法向量，利用数量积计算夹角，可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：为的中点， 又四边形为菱形，为的中点， 可得，， 平面，平面， 平面 （2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 可知：，，， ，， 设平面的法向量 则，令，则， 设平面的法向量 则，令，则， 又二面角为锐二面角，设二面角为 即二面角的余弦值为： 【点睛】本题考查线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所成角或所成角的补角. 18. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果. （3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果. 【小问1详解】 证明：因为，所以， 所以. 因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. 【小问2详解】 解：由（1）可得， 则，故. 【小问3详解】 解：由（2）可得， 则 19. 若函数的零点和极值点是同一个数，则称为函数的一个“点”． （1）若函数存在“点”，求实数的值； （2）已知函数，对任意，判断是否存在，使函数存在“点”，并说明理由． （3）已知函数，当恒成立时，判断是否存在使函数存在唯一“点”，并说明理由． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3）存在唯一的“”点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设新定义可得，进而得到，记，，利用导数分析其单调性，可得，再进行检验即可； （2）根据题设新定义假设存在“P”点，可得，可得，记，，结合零点存在性定理求解即可； （3）根据题设新定义可得恒成立，记，，利用导数分析其单调性，可得，记，进而结合其单调性及零点存在性定理分析求解即可. 【小问1详解】 设为的“P”点，由， 由题意可得：，则，即， 所以，即， 记，，则， 所以在上单调递减，又， 所以， 当时，， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则1为极小值点，符合条件，即. 【小问2详解】 假设存在“P”点， 由，，则， 显然函数在上单调递增， 由题意可得：， 则， 记，，函数在上单调递增， 由于， 所以对，使得， 此时，上单调递减，在上单调递增， 所以对使存在“P”点． 小问3详解】 若恒成立，且存在唯一使成立，则为“P”点． 的定义域为，若恒成立，则恒成立， 记，， 则， 令，则或（舍去） 所以当时，单调递减； 所以当时，单调递增； 所以为的极小值点，此时即为最小值， 所以， 记，在上单调递减， 又， 所以，使得，即， 所以对且，使得， 即且． 所以存在唯一的“”点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $