精品解析：云南省宣威市第三中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

云南省宣威市第三中学2025-2026学年高三年级上学期期中考试 高三数学 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的运算以及包含关系，即可判断和选择. 【详解】，又， 故，，，，故A正确，其它选项错误. 故选：A. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后判断的范围，结合对数函数、指数函数的单调性判断即可. 【详解】，， ，，， ，所以， 对于A，在单调递增， ，故A错误； 对于B， 在上单调递减， ，故B错误； 对于C， 在单调递减， ，故C错误； 对于D，在单调递增， , 又在单调递减， , ，故D正确. 故选：D 3. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）． A. B. e C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 4. 在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、切化弦以及两角和正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值. 【详解】由及正弦定理可得， 因为，所以，整理得， 所以， 因为，则，由题意知，，故， 因为，因此，. 故选：B. 5. 若，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，结合复数相等的条件求出，再根据共轭复数的定义求出，最后确定的虚部. 【详解】设，则由已知得， ∴．∴ 解得，∴，∴，∴的虚部为． 故选：A． 6. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得、，进而有，，即可求. 【详解】由题设，且，则， 所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，， 所以. 故选：C 7. 已知，，的平均数与方差均为4，则，，的平均数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据几个数的平均数、方差计算公式计算即可. 【详解】由题意得，，故， ，故， 解得. 故选：C 8. 已知双曲线（，）左､右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作辅助线，设出边长，结合题干条件得到，，利用勾股定理得到关于的等量关系，求出离心率. 【详解】连接，设，则根据可知，，因为，由勾股定理得：，由双曲线定义可知：，，解得：，，从而，解得：，所以，，由勾股定理得：，从而，即该双曲线的离心率为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是与共线的单位向量，则 D. 取得最大值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据两向量平行的坐标运算得解；对B，由可得，根据数量积的坐标运算求解；对C，与共线的单位向量为运算判断；对D，根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质运算求解判断. 【详解】对于A，因为向量，所以，即，故A正确； 对于B，等价于，即，则， 所以，所以，故B正确； 对于C，与共线的单位向量为，故C错误； 对于D，， 当，即时，取得最大值时，此时，故D正确． 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 上有2个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减， 故在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，由，得或， 解得或，即在上有2个零点，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD. 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先将原不等式变形，然后分和两种情况进行讨论，当时直接判断不等式是否恒成立，当时，根据二次函数的性质列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】原不等式等价于， 当时，对，不等式恒成立； 当时，则有，解得： 综上所述，实数的取值范围是 故答案为：. 13. 已知向量，满足，且，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法的几何意义可得结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设，，求出，在中使用余弦定理，求出，求出，求出，求出即可求解. 【详解】 设，， 则①，在中， 由及余弦定理可得， 即②，得， 所以， 又， 又， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，，角的平分线交线段于点． （1）若，求角； （2）若，问：的面积能否取到？若能，请求出和的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据正弦定理确定的关系，然后利用余弦定理求出，进而可得到三者之间的关系式，从而可求出角. （2）方法一：首先将的面积关系表示出来，然后得到之间的关系式，然后根据基本不等式的性质求出面积的最小值. 方法二：首先将的面积关系表示出来，然后得到之间的关系式，然后假设的面积能取到，看是否能求出的长度，如果不能，则的面积无法取到. 【小问1详解】 设，由题意可知， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 因为，为角的平分线，所以， 又有，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得 所以， 进而有 所以角是． 【小问2详解】 的面积不能取到. 方法一：因为角的平分线交线段于点， 所以，进而， 又，解得，当且仅当时等号成立． 所以的面积最小值为 因为，所以的面积不能取到. 方法二：因为角的平分线交线段于点， 所以，进而， 化简得， 若的面积能取到，则，进而 ① 所以， ② 联立①②，可得，此方程无解． 所以的面积不能取到. 16. 某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. （1）求； （2）记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出，结合特定区间上的概率可求； （2）利用独立事件的概率公式求出的分布列后可求其期望. 【小问1详解】 由于，所以， 所以. 那么 . 【小问2详解】 依题意，所有可能的取值为2，3，4，5，6. ，， ，， . 所以的分布列如下. 2 3 4 5 6 . 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设的垂心为，若. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理,由边化角,再根据两角和的正弦公式变换化简,求出结果. (2)根据垂心的向量性质,写出数量积的表达式,求出比值.再根据余弦定理求出结果. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 即， 因为，则，故， 因为，所以. 【小问2详解】 ①因为点为的垂心，所以， 则， 得. ②因为，所以由余弦定理得，， 将代入上式，得， 所以. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量可得出关于的方程，解出的值，即可求得的长； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式， 利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的法向量， 设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，， 因为为棱上的点，设，其中， 所以，，且， 设平面的法向量为， 则， 不妨取，可得， 因为线与平面所成角的正弦值为， 所以， 则，化简可得：， 解得：或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 设，因，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，， 所以.即的长为. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 存在非零常数W，使，都有，我们称具有上述性质的函数为稳定函数． （1）判断一次函数能否为稳定函数，并说明理由； （2）如果指数函数（，且）是稳定函数，求底数a的范围； （3）若是稳定函数，求的值． 【答案】（1）不能 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设一次函数为稳定函数，再推出矛盾即可得到矛盾； （2）指数函数为稳定函数，得到，构建新函数并利用导数即可求出底数a的范围； （3）由是稳定函数，得到等式，列出等式，求出，即可求得结果. 【小问1详解】 假设一次函数是稳定函数，则存在非零常数W， 使得：,展开并整理得：， 所以,解得，与题干矛盾，故一次函数不能为稳定函数 【小问2详解】 指数函数（，且）是稳定函数，故满足， 即：,由方程可得， 故只需解方程，设， 则，当时，，当时，， 故在单调递减，在上单调递增，故的最大值为， 故，而，故或. 【小问3详解】 若是稳定函数，则存在非零常数W，使得， 利用余弦加法公式展开左边：， 等式变为：，比较系数得：, 由得（n为非零整数），即，将此式代入得： ， 进一步分析得（m为非零整数），此时， 因此：，当m为整数时，， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省宣威市第三中学2025-2026学年高三年级上学期期中考试 高三数学 考试时间：120分钟；满分150分 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数在区间上单调递增，则a最小值为（ ）． A B. e C. D. 4. 在中，角、、的对边分别为、、，，则（ ） A B. C. D. 5. 若，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 6. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，的平均数与方差均为4，则，，的平均数为（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 8. 已知双曲线（，）的左､右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于A，B两点，若，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是与共线的单位向量，则 D. 取得最大值时， 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 在上有2个零点 11. 已知函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若不等式对任意都成立，则实数取值范围是____． 13. 已知向量，满足，且，则的最大值是______. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M在C上，记的外心为A，内切圆半径为r，若，且，则C的离心率为______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 在中，，角的平分线交线段于点． （1）若，求角； （2）若，问：的面积能否取到？若能，请求出和的长度；若不能，请说明理由． 16. 某数学研究小组对一家商铺进行了研究分析，发现每日客流量X服从正态分布，其密度函数峰值为，均值为100，且商铺规定消费一次可以获得不同数量的积分：获得1分的概率为，获得2分的概率为，获得3分的概率为.每次消费获取积分相互独立. （1）求； （2）记某顾客消费两次累计获得的积分为Z，求Z的分布列与期望. 附：正态密度函数，其中为均值，为标准差.，，. 17. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设的垂心为，若. ①求值； ②求的值. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点. （1）求证：平面平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长. 19. 存在非零常数W，使，都有，我们称具有上述性质的函数为稳定函数． （1）判断一次函数能否为稳定函数，并说明理由； （2）如果指数函数（，且）是稳定函数，求底数a的范围； （3）若是稳定函数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $