专题01二次根式易错必刷题型专项训练(16大题型共计65道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦二次根式高频易错点，通过16类题型系统梳理概念、性质、运算及应用，提炼典题特征与解题关键，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式有意义的条件|4题|条件判断法（被开方数非负+分母不为0）|从概念出发，构建根式存在的前提条件| |求二次根式中的参数|5题|非负性应用（双重非负性联立+回代检验）|深化根式定义，建立参数求解逻辑| |性质化简与运算|8类（含乘除/加减/混合）|公式套用（对比()²与√a²）+分步运算|性质推导→基础运算→综合运算递进| |应用与新定义|2类|建模转化（实际问题→根式计算）+规则迁移|从数学内部到现实应用，培养应用意识|

专题01二次根式易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.求二次根式中的参数 题型03.利用二次根式的性质化简 题型04.已知最简二次根式求参数 题型05.化为最简二次根式 题型06.分母有理化 题型07.复合二次根式的化简 题型08.同类二次根式 题型09.二次根式的乘除混合运算 题型10.二次根式的加减运算 题型11.二次根式的混合运算 题型12.已知字母的值.化简求值 题型13..已知条件式.化简求值 题型14.二次根式的大小比较 题型15.二次根式的应用 题型16.新定义运算 易错必刷题型01.二次根式有意义的条件 典题特征：求含根式式子中未知数取值范围 易错点：①只顾及被开方数≥0，遗漏分母不能为0、零次幂底数不为0；②解一元一次不等式时，两边除以负数忘记变号 1．若二次根式有意义，则实数不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 2．要使代数式有意义，则的取值范围为________． 3．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 4．若，则的值为______． 易错必刷题型02.求二次根式中的参数 典题特征：利用根式非负性求字母参数数值 易错点：①不会运用双重非负性联立等式；②求出参数后，不回代检验是否满足根式定义 5．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．请写出一个使的值为整数的的值：______． 7．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 9．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 易错必刷题型03.利用二次根式的性质化简 典题特征：套用根式公式化简带字母代数式 易错点：①混淆()2与计算公式；②化简时，不判断字母正负直接去绝对值 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．化简__________． 12．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 14．化简下列二次根式： (1)． (2)． 易错必刷题型04.已知最简二次根式求参数 典题特征：根据最简根式条件计算参数 易错点：①只对比被开方数，忽略不含开得尽方因数、不含分母要求；②解出参数不验证是否符合最简标准 15．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 17．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 易错必刷题型05.化为最简二次根式 典题特征：将普通根式统一化成最简形式 易错点：①被开方数含小数、分数不会先转化整数；②遗漏隐藏平方因式，化简不彻底 18．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 19．已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 20．先化简，再求值：其中，． 易错必刷题型06.分母有理化 典题特征：消去分母内部根号 易错点：①多项式分母选错有理化因式；②分子不同分母同步相乘，造成式子变形错误 21．下列二次根式中与互为有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 22．化简： _____． 23．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．或 24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：_______． (2)化简：． (3)若，求的值． .易错必刷题型07.复合二次根式的化简 典题特征：对双层结构根式配方化简 易错点：①无法快速凑出完全平方结构；②开方后忽略绝对值，随意判定正负符号 25．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 26．把中根号外因式适当变形后移至根号内得______． 27．（    ） A． B． C．3 D．1 28．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 易错必刷题型08.同类二次根式 典题特征：判定同类根式、依据条件求参数 易错点：①不先化成最简根式就直接判定；②误将被开方数相同直接判定为同类根式 29．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 30．与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 31．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 32．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 易错必刷题型09.二次根式的乘除混合运算 典题特征：多步连续根式乘除计算 易错点：①打乱从左至右运算顺序；②计算中途随意约分，最终结果不化为最简 33．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 34．计算：____________． 35．下列运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 36．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型10.二次根式的加减运算 典题特征：合并同类根式完成计算 易错点：①强行合并非同类二次根式；②去括号时正负符号变换出错 37．下列各式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 38．若a是的整数部分，b是的小数部分，则_____________ 39．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型11.二次根式的混合运算 典题特征：加减乘除乘方综合计算题 易错点：①违背先乘方、再乘除、后加减顺序；②乘法分配律展开时出现漏乘项 41．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 42．计算：_______． 43．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 44．计算： (1) (2) 易错必刷题型12.已知字母的值.化简求值 典题特征：先化简代数式，再代入数值计算 易错点：①不化简直接硬代数值，计算量大易算错；②忽略字母正负，化简根式出现符号偏差 45．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 46．若，则的值为______． 47．已知，，求的值． 48．已知求代数式的值． 易错必刷题型13..已知条件式.化简求值 典题特征：利用整体代换法求代数式结果 易错点：①不会整体替换，执意拆开单独计算；②忽略根式非负限制，得出不符合题意答案 49．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 50．若，则_____． 51．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 52．解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 易错必刷题型14.二次根式的大小比较 典题特征：多种方法对比两个根式数值 易错点：①负数根式直接平方比较，判定逻辑错误；②作差法不会准确判断结果正负 53．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 54．已知，，则a与b的大小关系为________． 55．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 56．已知：，求证： 57．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． .易错必刷题型15.二次根式的应用 典题特征：几何长度、实际场景根式计算 易错点：①不会把实际题意转化几何算式；②算出结果忽略长度为正的实际要求 58．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 59．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 60．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 61．现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 易错必刷题型16.新定义运算 典题特征：按题目自定义规则完成根式计算 易错点：①看错自定义运算符号，代换式子出错；②计算全程忽略被开方数非负前提；③结尾不统一化为最简根式 62．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 63．定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若m与是关于的友好二次根式，求的值； (2)若与是关于的友好二次根式，求的值． 64．定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题： (1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值； (2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值． 65．对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式易错必刷题型专项训练 本专题汇总二次根式全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.求二次根式中的参数 题型03.利用二次根式的性质化简 题型04.已知最简二次根式求参数 题型05.化为最简二次根式 题型06.分母有理化 题型07.复合二次根式的化简 题型08.同类二次根式 题型09.二次根式的乘除混合运算 题型10.二次根式的加减运算 题型11.二次根式的混合运算 题型12.已知字母的值.化简求值 题型13..已知条件式.化简求值 题型14.二次根式的大小比较 题型15.二次根式的应用 题型16.新定义运算 易错必刷题型01.二次根式有意义的条件 典题特征：求含根式式子中未知数取值范围 易错点：①只顾及被开方数≥0，遗漏分母不能为0、零次幂底数不为0；②解一元一次不等式时，两边除以负数忘记变号 1．若二次根式有意义，则实数不可能是（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题根据二次根式有意义的条件，求出的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可得到答案，用到二次根式被开方数为非负数的性质． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式得， ∵，不满足的条件， ∴实数不可能是，故选D． 2．要使代数式有意义，则的取值范围为________． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式被开方数为非负数，分式的分母不为0，根据两个条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得 ， 解不等式得． 解不等式得． 因此的取值范围为且． 3．能使等式成立的的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵等式成立， ∴， 解得． 4．若，则的值为______． 【答案】2022 【分析】根据二次根式的被开方数的非负性，得a-2022≥0，进而化简绝对值，求解即可． 【详解】解：由题意得a-2022≥0， ∴a≥2022， ∴|2021-a|= a-2021． ∵， ∴， ， ， 即=2022． 故答案为2022． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性，以及化简绝对值，找到a的取值范围，化简绝对值是解题的关键． 易错必刷题型02.求二次根式中的参数 典题特征：利用根式非负性求字母参数数值 易错点：①不会运用双重非负性联立等式；②求出参数后，不回代检验是否满足根式定义 5．下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次根式的定义即可求解． 【详解】解：A：在中，，不合题意，故错误； B：在中，，符合题意，故正确； C：在中，的正负性不可确定，不合题意，故错误； D：在中，根指数是3，不合题意，故错误； 故答案是：B． 【点睛】本题考查二次根式的定义，属于基础概念题，难度不大．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式． 6．请写出一个使的值为整数的的值：______． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再由为整数推出为非负完全平方数，即可求出满足条件的的值． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数， 因此， 即 ， 若为整数， 则必为非负的完全平方数， 故可为、、、等完全平方数， 可令， 解得 ． 7．已知是整数，则自然数m的值可以是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 由题意可知，为整数，则必为完全平方数，根据自然数的取值范围，确定符合条件的值即可． 【详解】设（为非负整数）， 则， 即， ∵为自然数， ∴， 即， 完全平方数的可能值为，对应， 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（不在选项中）； 当时，（对应选项B）； 故选B． 8．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 9．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 易错必刷题型03.利用二次根式的性质化简 典题特征：套用根式公式化简带字母代数式 易错点：①混淆()2与计算公式；②化简时，不判断字母正负直接去绝对值 10．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 11．化简__________． 【答案】 1 【分析】先判断绝对值内和根号下被开方数的符号，再利用绝对值的性质和二次根式的性质化简，最后合并同类项得到结果. 【详解】解：， ∴，， ， ， ， ， ． 12．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 13．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．化简下列二次根式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的性质和乘除运算法则，化简计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 易错必刷题型04.已知最简二次根式求参数 典题特征：根据最简根式条件计算参数 易错点：①只对比被开方数，忽略不含开得尽方因数、不含分母要求；②解出参数不验证是否符合最简标准 15．若为正整数，并且使得是一个最简二次根式，则的值不可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； B．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； C．当时，，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式； D．当时，，含有能开得尽方的因数，，不是最简二次根式，即的值不可能是． 16．最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 17．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 易错必刷题型05.化为最简二次根式 典题特征：将普通根式统一化成最简形式 易错点：①被开方数含小数、分数不会先转化整数；②遗漏隐藏平方因式，化简不彻底 18．二次根式①，②，③，④，化为最简二次根式后，被开方数相同的是（   ） A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④ 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，解题思路是将四个二次根式分别化为最简二次根式，再比较化简后的被开方数，即可得到答案． 【详解】解：∵ ① ，化简后被开方数为； ② ，化简后被开方数为； ③ ，化简后被开方数为； ④ ，化简后被开方数为； ∴ 化为最简二次根式后，①和②的被开方数相同，故选A． 19．已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 20．先化简，再求值：其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的混合运算以及二次根式的除法，先把原式化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 把代入，得 原式 易错必刷题型06.分母有理化 典题特征：消去分母内部根号 易错点：①多项式分母选错有理化因式；②分子不同分母同步相乘，造成式子变形错误 21．下列二次根式中与互为有理化因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有理化因式，据此得出答案即可． 【详解】， 与二次根式互为有理化因式的是． 故选：C 【点睛】本题考查了互为有理化因式的概念，熟记其定义是解题的关键． 22．化简： _____． 【答案】 【详解】解： ． 23．若，则的值为（   ） A．1 B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，根据题意得到，再把整体代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：C． 24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ，， ，即， ．． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： (1)计算：_______． (2)化简：． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中每一项裂项，再计算求解即可； （3）先分母有理化得到，则，再由完全平方公式推出，把所求式子先变形为，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设为正整数， 则， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． .易错必刷题型07.复合二次根式的化简 典题特征：对双层结构根式配方化简 易错点：①无法快速凑出完全平方结构；②开方后忽略绝对值，随意判定正负符号 25．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 26．把中根号外因式适当变形后移至根号内得______． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，则，据此即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 27．（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，利用绝对值的意义和乘法公式结合二次根式的性质进行化简． 【详解】解： ， 故选：D． 28．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：． 解决问题： (1)在横线上填上适当的数： ______． (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；1；；； (2) 【分析】（1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型08.同类二次根式 典题特征：判定同类根式、依据条件求参数 易错点：①不先化成最简根式就直接判定；②误将被开方数相同直接判定为同类根式 29．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 30．与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴． 31．下列各组根式是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故和不是同类根式，该选项不符合题意； B、，，故和是同类根式，该选项符合题意； C、，，故和不是同类根式，该选项不符合题意； D、和不是同类根式，该选项不符合题意； 故选：B． 32．最简二次根式与可以合并，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式．根据同类二次根式的定义，它们的根指数和被开方数均相同，据此列方程组求出的值，即可解答． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，， 解得，则， ∴， 故选：C． 易错必刷题型09.二次根式的乘除混合运算 典题特征：多步连续根式乘除计算 易错点：①打乱从左至右运算顺序；②计算中途随意约分，最终结果不化为最简 33．计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合与运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除混合运算法则和运算顺序． 34．计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键． 直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 35．下列运算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：A、与不是同不类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； B、3与不是同不类二次根式，不能合并，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，原式计算错误，故选项不符合题意； 故选：C． 36．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 易错必刷题型10.二次根式的加减运算 典题特征：合并同类根式完成计算 易错点：①强行合并非同类二次根式；②去括号时正负符号变换出错 37．下列各式变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、=≠，∴ A错误； B、=≠，∴ B错误； C、==，∴ C正确； D、=≠，∴ D错误． 38．若a是的整数部分，b是的小数部分，则_____________ 【答案】 【分析】先判断出的取值范围，进而得到a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， 的整数部分为，小数部分为， ， ∴ ． 39．若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得； ②只存在两组和使得； ③不存在和使得； ④若只存在三组和使得，则的值为49或64 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】直接利用同类二次根式的定义得出和是同类二次根式，进而得出答案． 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ， ， 当时， 故该选项①正确； ②， 当，则 当则． 故选项②正确； ③， 当时， ，所以不存在， 故该选项③正确； ④， ， 当时，， ， ， 有无数和满足等式，故该选项④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义及合并方法是解答此题的关键． 40．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错必刷题型11.二次根式的混合运算 典题特征：加减乘除乘方综合计算题 易错点：①违背先乘方、再乘除、后加减顺序；②乘法分配律展开时出现漏乘项 41．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式的除法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的取值范围． 【详解】解：首先化简原式：， ∵， ∴ 不等式两边同时减1，得， ∴原式的值在2和3之间． 42．计算：_______． 【答案】 / 【详解】解：． 43．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式与幂的运算性质，掌握平方差公式化简二次根式是解题的关键． 将指数拆分，利用平方差公式简化乘积，再结合幂的运算性质计算结果． 【详解】解：∵ , ∴ 原式 ． 故选：A． 44．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 易错必刷题型12.已知字母的值.化简求值 典题特征：先化简代数式，再代入数值计算 易错点：①不化简直接硬代数值，计算量大易算错；②忽略字母正负，化简根式出现符号偏差 45．若，则代数式的值为（    ） A．2030 B．2022 C．2026 D．2018 【答案】D 【分析】先求出，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 46．若，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据得出，，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． 47．已知，，求的值． 【答案】14 【分析】先求出，，然后根据完全平方公式求出，最后根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 48．已知求代数式的值． 【答案】5 【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可． 本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型13..已知条件式.化简求值 典题特征：利用整体代换法求代数式结果 易错点：①不会整体替换，执意拆开单独计算；②忽略根式非负限制，得出不符合题意答案 49．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 50．若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，先将二次根式化简，再把代入即可求出答案． 【详解】解：由题意可知， 原式 ， 当时， 原式， 故答案为：． 51．已知等式成立，化简的结果为（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】先根据二次根式的除法法则确定的取值范围，再利用绝对值和二次根式的性质化简式子． 【详解】解：根据二次根式的除法法则，由等式成立，可得： ，解得：． 化简： ①： ∵， ∴，故． ② ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则、绝对值与二次根式的性质，解题关键是先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合性质化简式子． 52．解方程： 阅读材料，解答下列问题． 材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 这种方法称为“构造对偶式”． 问题：已知． (1)求的值； (2)求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握题干给定的方法，是解题的关键： （1）根据题干给定的方法，进行求解即可； （2）将两式相加后，利用平方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 的值为2； （2）由（1）得：，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解． 易错必刷题型14.二次根式的大小比较 典题特征：多种方法对比两个根式数值 易错点：①负数根式直接平方比较，判定逻辑错误；②作差法不会准确判断结果正负 53．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 54．已知，，则a与b的大小关系为________． 【答案】/ 【分析】可求出，比较出与的大小，即可得到与的大小关系，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 55．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式四则混合运算，利用二次根式的性质化简，比较二次根式的大小，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过简化每个表达式，得到a、b、c的具体数值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 设， ， 根号内： ∴， ∴，，， ∴， 故选：C． 56．已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 57．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方． ∵， ∴而， ∴．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较，的大小，c_______d；（填写>，<或者=） (2)猜想，之间的大小关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查二次根式比较大小，准确计算是解题的关键． 利用平方法将根式比较转化为整数比较，注意平方后的大小关系与原值大小关系一致的前提是原值为正数． 【详解】（1），， ，， ， ； 故答案是：． （2），理由如下： ，， ， ， ， ， ，即， ，， ． .易错必刷题型15.二次根式的应用 典题特征：几何长度、实际场景根式计算 易错点：①不会把实际题意转化几何算式；②算出结果忽略长度为正的实际要求 58．“海阔千江辏，风翻大浪随”，海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为，其中为风压（单位：），为风速（单位：）．当风压为时，估计风速为_____． 【答案】 【详解】解：由题意得，将代入， 则 解得（舍负）， ∴估计风速为 59．如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（   ） A．27 B．30 C．32 D．40 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 60．如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的应用、长方形的性质、准确地理解题意找到等量关系是解题的关键．根据图形可知大长方形的长既是小长方形宽的3倍，又是小长方形长的2倍，大长方形的宽是小长方形长与宽的和，由此即可判断． 【详解】解：由题意，小长方形的长为， 大长方形的长为， 小长方形的宽为， 大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为， 大长方形的面积为， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意； 故选：C． 61．现有两块同样大小的长方形木板①②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板①上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图①截出的正方形木板的边长为______，的边长为______； (2)求图①中阴影部分的周长； (3)乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不能截出，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出阴影部分的长和宽，根据长方形周长公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为， ∴阴影部分宽为， ∴阴影部分周长为， （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 易错必刷题型16.新定义运算 典题特征：按题目自定义规则完成根式计算 易错点：①看错自定义运算符号，代换式子出错；②计算全程忽略被开方数非负前提；③结尾不统一化为最简根式 62．定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）化简二次根式，再根据定义判断即可．              （2）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在和中，属于“族数”的是； （2）解： ，              ∵b为有理数，， 是有理数，且不为0， 是“族数”． 63．定义：若两个二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． (1)若m与是关于的友好二次根式，求的值； (2)若与是关于的友好二次根式，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据题意，得，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． ∴． ∴． ∴． 64．定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“和谐二次根式”．根据上述材料，解答下列问题： (1)若a与是关于6的“和谐二次根式”，求a的值； (2)若m为有理数，且与是关于4的“和谐二次根式”．求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义得到,即可求出的值． （2）根据定义得，整理得出，最后得出m的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）解：由题意可得， 整理得， ∴． 65．对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式比较大小的方法可得，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，可估算出，则，据此代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵a和b为两个连续的正整数， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $