专题01 二次根式及其性质（六大题型）（高效培优专项训练）数学浙教版新教材八年级下册

专题01 二次根式及其性质（六大题型） 【题型1二次根式的识别】...................................................................1 【题型2 求二次根式的值】..................................................................2 【题型3 求二次根式中的参数】..............................................................3 【题型4 二次根式有意义的条件】............................................................5 【题型5 利用二次根式的性质化简】..........................................................6 【题型6 复合二次根式的化简】..............................................................9 别 题型2 求二次根式的值题型1二次 题型6 复合二次根式的化简 题型1二次根式的识别 1．下面一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子叫做二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项符合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、根指数是3，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A ． 2．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的定义是关键． 根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、当x≥0时，是二次根式，当x＜0时，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当，即时，是二次根式，当，即时，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、当时，是二次根式，当时，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、因为，所以是二次根式，故此选项符合题意； 故选∶D． 3．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：①是二次根式； ②被开方数是负数，不是二次根式； ③是二次根式； ④由于，即被开方数是负数，不是二次根式； ⑤由于，为非负数，是二次根式； ⑥由于，为非负数，是二次根式； 则二次根式共有4个． 故选：C． 题型2 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】将代入计算即可得． 【详解】解：当时，， 故选：A 【点睛】本题考查了求二次根式的值，熟练掌握二次根式的运算是解题关键． 2．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的定义． 将把代入，再化简即可． 【详解】解：把代入得： 原式； 故答案为：． 3．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的求值，将代入二次根式中求解即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 4．计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，即可求解． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，属于基础题，关键是掌握二次根式的算术平方根为非负数． 5．已知，那么 ． 【答案】 【分析】直接将x=代入计算即可 【详解】当x=时，f（）=． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求函数值，涉及了二次根式直接代入求值，是基础题 题型3 求二次根式中的参数 1．若，则 ． 【答案】或 【分析】由于算术平方根等于本身的数有0和1，所以2x-1=0或2x-1=1，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴2x-1=0或2x-1=1， 解得： 或1． 故答案为或． 【点睛】本题考查了算术平方根等于本身的数，理解题意列出方程是解题的关键． 2．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 4．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到，再根据是整数，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是整数，或或， ∴满足条件的正整数是或或． 即满足条件的正整数共有3个， 故答案为：3． 5．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】51 【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， ∴n的最小值为：51， 故答案为：51． 【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 6．已知，则= ． 【答案】 【分析】利用二次根式和绝对值的非负性分别求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为 【点睛】本题主要考查了二次根式和绝对值的非负性，利用非负性求出和的值是解题的关键． 题型4 二次根式有意义的条件 1．函数的自变量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，二次根式有意义的条件；根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：函数为二次根式，被开方数需满足非负条件， 即，解得． 故答案为：． 2．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】此题主要考查了二次根式及分母有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数非负；根据分式有意义的条件，分母不为零；综合两者求交集． 【详解】要使代数式有意义，需同时满足以下条件： 对于分子，有，即； 对于分母，有，即； 因此，实数的取值范围是且． 故答案为：且． 3．函数的自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解： 由题意可得：， 解得：， 故答案为：且． 4．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0，据此可求出x的值，进而求出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：8． 题型5 利用二次根式的性质化简 1．化简： ． 【答案】 / 【分析】利用算术平方根的性质 ，判断 的符号后去绝对值即可． 本题考查二次根式的基本性质，掌握二次根式的概念进行化简是解题关键． 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 2．若，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简． 利用商的算术平方根等于算术平方根的商进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简．利用二次根式的性质，再根据绝对值的定义化简即可． 【详解】解：由二次根式的性质得到， 因为， 所以， 故 故答案为 5．已知，化简： ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，判断是解题的关键．先根据x的范围得出，再化简二次根式和绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， 则原式． 故答案为：2． 6．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，完全平方公式等知识，根据有意义，求出，然后根据完全平方公式和二次根式的性质等化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴原式 ， ， 故答案为：． 7．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值、二次根式的性质/完全平方公式，解题的关键是根据的取值范围判断绝对值内代数式的正负性． 根据二次根式的定义，被开方数必须非负，因此 ，即 ，此时化简各部分即可． 【详解】解：由题意，，即 ； ；； 当 时，； 故原式 ． 故答案为：． 8．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 题型6 复合二次根式的化简 1． ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．若则的值是 【答案】 +1． 【分析】将x2y变形为xy•x，然后将x和y的值代入求解即可． 【详解】∵ ∴xy=（+1）（−1)=2-1=1， ∴x2y=xy•x=1×(+1)= +1． 故答案为： +1． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题的关键在于对原式进行恰当的变形并熟练掌握二次根式的化简求值． 4．设的整数部分为，小数部分为， . 【答案】 【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可. 【详解】∵,,∴,∴,∴,,∴. 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键. 5．观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 【答案】． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】 ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题 的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式及其性质（六大题型） 【题型1二次根式的识别】...................................................................1 【题型2 求二次根式的值】..................................................................1 【题型3 求二次根式中的参数】..............................................................2 【题型4 二次根式有意义的条件】............................................................2 【题型5 利用二次根式的性质化简】..........................................................2 【题型6 复合二次根式的化简】..............................................................2 别 题型2 求二次根式的值题型1二次 题型6 复合二次根式的化简 题型1二次根式的识别 1．下面一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是二次根式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型2 求二次根式的值 1．当时，二次根式的值是（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．当时，二次根式的值为 ． 3．当时，二次根式的值是 ． 4．计算： ． 5．已知，那么 ． 题型3 求二次根式中的参数 1．若，则 ． 2．若，则 ． 3．已知是整数，则自然数的值是 ． 4．若 是整数，则满足条件的正整数共有 个． 5．若是整数，则正整数n的最小值是 ． 6．已知，则= ． 题型4 二次根式有意义的条件 1．函数的自变量的取值范围为 ． 2．要使代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．函数的自变量x的取值范围是 4．已知，则 ． 题型5 利用二次根式的性质化简 1．化简： ． 2．若，化简 ． 3．化简： ． 4．计算： ． 5．已知，化简： ． 6．化简： ． 7．化简： ． 8．实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 题型6 复合二次根式的化简 1． ． 2．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = ． 3．若则的值是 4．设的整数部分为，小数部分为， . 5．观察下列各式：， ， ， 请利用你发现的规律，计算： ，其结果为 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $