专题01二次根式专项训练 (12大题型+题型突破)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题01二次根式专项训练 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.二次根式性质化简与求值 题型03.最简与同类二次根式综合 题型04.二次根式乘除混合运算 题型05.二次根式加减运算 题型06.二次根式混合运算 题型07.复合二次根式的化简 题型08.二次根式化简求值 题型09.二次根式的大小比较 题型10.二次根式的实际应用 题型11.二次根式的规律探究 题型12.二次根式新定义运算 解答题6题 题型01.二次根式有意义的条件 1．（25-26九年级上·山西临汾·期中）下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）若的值为零，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质及解一元一次方程，根据题意得到，解一元一次方程即可确定答案．熟记二次根式性质及解一元一次方程的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：若的值为零，则， 解得， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·四川雅安·期中）已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，则＝________． 【答案】 64 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 根据二次根式有意义的条件确定x的取值，再求出y的值，最后进行幂的运算求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 将代入， 得， ∴． 故答案为：64． 4．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）下列式子中，不一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，准确把握“被开方数非负”是解题的关键．根据二次根式的定义，需判断被开方数是否恒大于等于：通过分析各选项被开方数的取值范围，得出只有选项的被开方数不恒非负，进而确定其不一定是二次根式． 【详解】解：二次根式定义要求被开方数， ：，被开方数，总是二次根式； ：中，故总是二次根式； ：，当时，，无意义，不一定是二次根式； ：中，故总是二次根式． 故选：． 5．（23-24八年级下·广西南宁·期中）下列式子中，是二次根式的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：A、1不是二次根式，不符合题意； B、不是二次根式，不符合题意； C、是二次根式，符合题意； D、不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 题型02.二次根式性质化简与求值 6．（23-24八年级上·上海·期末）化简___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质对进行化简，再结合与3的大小关系去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】根据二次根式的性质，可得， ∵，即， ∴， 即． 7．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式的值为____________． 【答案】 【分析】把代入求解即可． 【详解】解：当时，． 8．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简：____． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的性质，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：． 9．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当且时，化简：_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质，由且，可将化简为，然后与合并同类项即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 故答案为：． 题型03.最简与同类二次根式综合 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若最简二次根式和乘积是有理数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式的乘除法，最简二次根式，熟练掌握相关运算法则及定义是解题的关键． 将化为，再根据题意得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：， 最简二次根式和乘积是有理数， ， 解得：， 故答案为： 12．（23-24八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握被开方数相同的最简二次根式称是同类二次根式成为解答本题的关键． 13．（25-26九年级上·福建泉州·期中）下列二次根式中与不是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，根据二次根式的性质化简是解题的关键． 将各个选项化为最简二次根式，判断是否为同类二次根式即可． 【详解】A、，故A选项符合题意； B、，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、，故D选项不符合题意； 故选：A． 14．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的概念、最简二次根式、二次根式的性质等知识点，掌握同类二次根式的被开方数相同是解题的关键． 两个二次根式能合并的条件是它们化为最简二次根式后，被开方数相同，据此列关于的方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴的最简形式为，被开方数为2． 又∵是最简二次根式，且能与合并， ∴ ， 解得：． 故选：C． 题型04.二次根式乘除混合运算 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 16．（25-26八年级下·全国·期中）计算：____________． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，熟练掌握有理化因式的定义是解题的关键． 通过有理化分母即可求解． 【详解】解：将分子和分母同时乘以，得，再约分得． 故答案为：． 17．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是__________． 【答案】 【分析】通过有理化将每个表达式转化为分母形式，比较分母的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∵， ∴， 即． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，利用二次根式的性质化简，分子有理化，比较二次根式的大小等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 18．（23-24八年级上·全国·课后作业）若直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则斜边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形面积计算既可以用直角边计算，又可以用斜边和斜边上的高计算，根据这个等量关系即可求斜边上的高． 【详解】直角三角形中，两直角边长的乘积等于斜边长与斜边上的高（h）的乘积，即， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据面积相等的方法巧妙地计算斜边上的高是解本题的关键． 19．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，，用含的式子表示_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键．根据二次根式的除法法则可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·重庆·期中）估计的值应在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先将原表达式化为，然后通过估计的范围来确定该表达式的取值范围． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴ 因此，值在4到5之间． 故选：C． 题型05.二次根式加减运算 21．（25-26九年级上·山西长治·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算；通过合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（23-24八年级下·吉林长春·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式加减、乘方、乘法的运算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，符合二次根式的乘方运算规则，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 23．（23-24八年级上·广东河源·期中）已知x、y是正整数，若，则的值是________． 【答案】143或187 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意可得，由x、y是正整数，可设，不妨设，且a、b都是正整数，则可推出，可解得，或，，据此求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y是正整数， ∴可设，不妨设，且a、b都是正整数， ∴， ∴， ∴，或，， ∴或， ∴或， ∴或； 故答案为：143或187． 24．（24-25七年级下·山东滨州·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方，化简绝对值，二次根式，再算加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 题型06.二次根式混合运算 25．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义、除法、加法运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据二次根式的运算法则依次分析各选项即可作出判断． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项正确； D、，故该选项错误； 故选：C． 26．（2024·天津南开·一模）计算的结果为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，应用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 27．（25-26八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，从最内层平方根开始，逐步化简嵌套平方根表达式，利用完全平方公式将根式化为简单形式． 【详解】解：首先，化简最内层． 设，则，， 解得，， 故． 代入原式，得． 其次，化简． 设，则，， 解得，， 故． 代入，得． 最后，化简． 设，则，， 解得，， 故． 故答案为． 28．（24-25九年级上·重庆渝北·月考）已知多项式，下列说法正确的有（　　）个． ①若，则； ②若为整数，则整数x的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或或或时，为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④错误， 故选：A． 题型07.复合二次根式的化简 29．（23-24八年级上·上海奉贤·期末）化简：________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 30．（23-24八年级下·云南保山·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符题意； B、，则此项正确，符合题意； C、因为，所以，则此项错误，不符题意； D、，则此项错误，不符题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键． 31．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 32．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型08.二次根式化简求值 33．（25-26八年级上·上海青浦·期中）当时，二次根式的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的求值，先化简二次根式，再将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：． 当时，． 故答案为：． 34．（23-24八年级上·湖南岳阳·月考）若，则代数式的值是（   ）． A．2006 B．2005 C．2004 D．2003 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题的关键．对原式配方再根据已知条件代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴ ． 故选：A． 35．（23-24八年级上·四川达州·期中）如果，那么______________． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先求出，再由得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 36．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 题型09.二次根式的大小比较 37．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）比较大小：______（填“，，”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，利用平方法将无理数的大小转化为有理数的大小比较成为解题的关键． 将无理数的大小转化为有理数的大小比较即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 38．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的化简，根据二次根式比较大小的方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴只有在7和8中间， 故选：C． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）比较大小：______（填） 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化和无理数的大小比较，解题的关键是通过有理化消除分母中的无理数． 通过分母有理化将 转化为 ，再与 比较大小即可得． 【详解】解： = × = = = ． 比较 和 ． ，， ，， ∴， ∴ ， ， 即 ． 故答案为：． 40．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 题型10.二次根式的实际应用 41．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边长为______（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】此题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值的方法是解题的关键． 根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过除法运算和分母有理化求解． 【详解】解：设另一边长为，由长方形面积公式得， ； 故答案为． 42．（25-26八年级上·广西来宾·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，剩余部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：两个空白小正方形的面积是、， 两个空白小正方形的边长是、， 大正方形的边长是， 大正方形的面积是， 阴影部分的面积是． 故选：C． 43．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开，拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， （1）图2中正方形的边长为________； （2）图2中正方形边长的整数部分是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用、无理数的估算， （1）根据题意得出正方形的边长为， （2）估算出即可得出答案． 【详解】解：（1）由题意得，拼成的正方形的面积等于原长方形的面积，即， 正方形的边长为， 故答案为：． （2）， ，即， ，， ∴， 该正方形的边长最接近的整数为， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图（单位：），三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为，最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式以及平方差公式的应用，解题的关键是根据正方形的边长关系求出、的值，并灵活运用平方差公式进行计算． 先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、,再利用平方差公式计算． 【详解】解：因为中间正方形纸片的面积为， 所以中间正方形的边长为， 由图可知，最大正方形的边长， 最小正方形的边长； 根据平方差公式， 将代入，可得， 所以． 故选：D． 题型11.二次根式的规律探究 45．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，原图是一块边长为1，面积记为的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为正三角形纸板后得到图①，面积记为，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图②、③面积依次记为，，……，记第块纸板的面积为 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键． 由题意，表示剪去n个小正三角形后剩余图形的面积．和分别表示剪去2024个和2025个小正三角形后的剩余面积，其差值等于第2025个被剪去的小正三角形的面积．利用正三角形面积公式和边长变化规律，可计算该面积． 【详解】解：∵ 第n个被剪去的小正三角形的边长， ∴ 其面积． ∵ ∴． 故选：C． 48．（24-25八年级下·云南楚雄·期末）观察下列各式： ； ； ； …… 根据你的观察，计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律，将式子算：改写为，运用规律进行求解． 【详解】∵， ， ， …… ， ， 故选：C． 49．（24-25七年级下·广东广州·期中）将一组数按以下方式进行排列： 第一行                     第二行                      第三行                           …… 若的位置记为，的位置记为，则表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了探索数字的规律，观察可知，每一行的元素个数等于行号，每个数对应连续的自然数的算术平方根．根据题意可知，表示第行第个数，前行共有个数，第行第个数对应的是第个数，所以表示的数是． 【详解】解：第一行有个数，这个数是， 第二行有个数，这个数分别是、， 第三行有个数，这个数分别是、、， ， 由题意可知，表示第行第个数， ， 第七行第四个元素对应自然数的第 个数， 表示的数是． 故选：B． .50．（24-25八年级下·山东淄博·期中）将一组数，，，，，按下列方式进行排列： ，，，； ，，，； …… 若数2的位置记为，数的位置记为，则位置为的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，先找出被开方数的规律，然后再求得第17行第2个数是几即可． 【详解】解：题中数字可以化成： ，，，； ，，，； ⋯； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， 第行第1个数为， ∴第17行第1个数为， ∴第17行第2个数为， ∴位置为的数是， 故选：D． 52．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 题型12.二次根式新定义运算 46．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于正整数，定义，例如：．则的值为() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化，正确掌握相关性质内容是解题的关键．通过有理化分母将化简为，然后计算总和． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 47．（25-26九年级上·河南鹤壁·期中）若m为实数，在的“□”中添上一种运算符号（在“+”“”“×”或“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的定义，根据二次根式的运算法则并结合无理数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，为有理数，故A可能为有理数，不符合题意； B、，，，，其结果均为无理数，故B不可能，符合题意； C、，为有理数，故C可能为有理数，不符合题意； D、，为有理数，故D可能为有理数，不符合题意； 故选：B． 51．（24-25八年级下·山东德州·期中）对于任意不相等的两个实数，定义运算※如下：当时，，当时，，例如，按上述规定，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的运算，根据所给的式子求出和的值，再根据二次根式的加减计算方法进行计算即可． 【详解】解：由题意得， ， ， ， 故选：B． 53．（24-25九年级上·全国·单元测试）定义运算“☆”的运算法则为，则______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据题意列式后利用二次根式的性质即可求得答案． 【详解】解∶∵， ∴ ， 故答案为∶ ． 54．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，新定义运算的含义，分三种情况：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 【详解】解：若多项式，，，（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 解答题 1．（24-25七年级下·河南商丘·期中）计算： (1)； (2)+÷ 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式+ 2．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可； （2）先根据二次根式的除法、平方差公式计算，再根据有理数加减法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)4 (2)10 (3) (4) 【分析】（1）首先化简二次根式和零指数幂，然后约分后相减即可； （2）首先乘法分配律展开，然后计算算术平方根，然后相减即可； （3）首先利用完全平方公式和平方差公式化简，然后去括号后计算即可； （4）首先计算乘方，算术平方根和立方根，绝对值，然后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 5．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知，则的值为多少． 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）将各项进行分母有理化，化简后为裂项相消的形式，合并即可求得结果； （2）设，，其中，利用已知等式导出，，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解：∵， ， 同理，，， ∴ ； （2）解：设，，其中， ∴， ，     ， ，      ， ， ， ．（负值舍去）， ． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知：，，求： (1)； (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果； （2）将a、b的值代入式子，根据二次根式的运算法则求出结果． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 61．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知最简二次根式与能合并． (1)求 的值； (2)若，化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据同类二次根式的定义进行计算即可； （2）先推导出，得到，再进行绝对值与二次根式的化简，最后合并即可． 【详解】（1）解：∵最简二次根式与能合并， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴ ． 62．（21-22八年级下·广西南宁·期中）阅读下列材料，并解决相应问题：． 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (1)； (2)若a是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行分母有理化化简即可； （2）判定无理数的取值范围，表示出的值，然后代入，利用平方差公式进行分母有理化化简． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴． 63．（24-25九年级上·山西晋城·期中）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中表示周期（单位：），表示摆针的摆长（单位：），取3，．若一台座钟摆针的摆长为． (1)求该座钟摆针的摆动周期． (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在内，该座钟发出多少次滴答声？ 【答案】(1)该座钟摆针的摆动周期为 (2)在内，该座钟发出70次滴答声 【分析】本题主要考查了代数式求值、有理数除法运算的应用、二次根式的应用等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接将，，代入，再根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先根据题意列式，然后运用有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得 答：该座钟摆针的摆动周期为． （2）解：，（次）． 答：在内，该座钟发出70次滴答声． 64．（25-26八年级上·陕西西安·期中）记，则（n为非负整数）． 观察下列式子：①； ②；… 【计算观察】 （1）______，______；（直接写出结果） 【归纳验证】 （2）猜想______，并说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析 【分析】（1）根据所给公式代入求解即可； （2）利用平方差公式可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， ； ； （2）猜想，理由如下： ∵，则， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题01二次根式专项训练 ☆ 题型突破期中复习导航 题型01.二次根式有意义的条件 题型02.二次根式性质化简与求值 题型03.最简与同类二次根式综合 题型04.二次根式乘除混合运算 题型05.二次根式加减运算 题型06.二次根式混合运算 题型07.复合二次根式的化简 题型08.二次根式化简求值 题型09.二次根式的大小比较 题型10.二次根式的实际应用 题型11.二次根式的规律探究 题型12.二次根式新定义运算 解答题6题 ☆ 题型突破考点突破 题型01.二次根式有意义的条件 1.(25-26九年级上·山西临汾期中)下列式子中，不属于二次根式的是() A.5 B.2√2 c.√a 5 D.6 2.(24-25八年级下，浙江杭州期中)若√3+x的值为零，则x的值是 3.(25-26八年级上·四川雅安期中)已知x,y都是实数，且y=√x-3+√3-x+4,则y 4.(25-26九年级上·四川遂宁.期中)下列式子中，不一定是二次根式的是( A.√12 B.x2-2xy+y2 C.√x-1 D.V-2×(-3) 5.(23-24八年级下广西南宁.期中)下列式子中，是二次根式的是() A.1 B.2 C.√2 D.-3 题型02.二次根式性质化简与求值 6.(23-24八年级上上海期末)化简π-3)2= 试卷第1页，共3页 7.(24-25八年级下.浙江绍兴期中)当a=-2时，二次根式√2-a的值为 8.(24-25八年级下·全国课后作业)化简： N2-5= 9.(25-26八年级上·上海奉贤期中)当a≥0且b≥0时，化简：√4ab-a√ab= 题型03.最简与同类二次根式综合 10.(24-25八年级下·福建厦门期中)下列各式中，属于最简二次根式的是() B.√0.5 c.√i D.√19 11.(25-26八年级上·河北石家庄·期中)若最简二次根式√a+1和√⑧乘积是有理数，则 a= 12.(23-24八年级下·陕西商洛期中)若最简二次根式√-a和3√5可以合并，则√a2的值 为 13.(25-26九年级上·福建泉州期中)下列二次根式中与√不是同类二次根式的是() A.√0.3 B.√12 C. D.√27 14.(25-26八年级上陕西咸阳期中)若√18与最简二次根式√m-3能合并，则m的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 题型04.二次根式乘除混合运算 15.(25-26八年级上·广东深圳期中)下列计算正确的是() A.5+2=√万 B.V5-√2=√5 C.√5x√2=√万 D.5x√2=10 6《2526八年级下全国期中)计算：看 17.(25-26八年级上·湖南永州期中)已知a=√2006-2005，b=√2007-√2006， c=√2008-√2007，则a,b,c的大小关系是 18.(23-24八年级上·全国·课后作业)若直角三角形的两直角边长分别为√2，√5，斜边长为 √5，则斜边上的高为() A.6 B.10 C.30 D.V30 5 试卷第1页，共3页 19.(24-25九年级上四川乐山月考)若√5=a,√5=b,用含a,b的式子表示√0.6= 20.(25-26九年级上·重庆期中)估计 0的值应在() A.2到3之间B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 题型05.二次根试式加减运算 21.(25-26九年级上山西长治期中)计算：35-5=一· 22.(23-24八年级下，吉林长春·期中)下列运算正确的是() A.√5+2=√5 B.2√2-√2=1 C.(2=2 D.22x√2=4√2 23.(23-24八年级上广东河源期中)已知x、y是正整数，若V+√下=√275，则x+y的 值是 24.(2425七年级下山东滨州期中)计算：(-1)25-l1-V2+8= 题型06，二次根式混合运算 25.(23-24八年级上·四川成都期末)下列计算正确的是() A.√9=±3 B.V⑧+2=0 C.V-5=5 D.√6÷2=5 26.(2024天津南开.一模)计算(5+√2的结果为 27.(25-26八年级上湖南永州期中)化简√23-6√10+43-2√2的结果是 28.(24-25九年级上·重庆渝北月考)已知多项式An=x2+x+1,下列说法正确的有() 个 ①若x=-1,则A2=0; ②若A:为整数，则整数x的值为2或6； x-1 ③V24+12的最小值为5， 试卷第1页，共3页 1 ④令Bm= V4+m+√4+m+,则B+B+8++Bm=VA+102-√A+. A.1 B.2 C.3 D.4 题型07复合二次根式的化简 29.(23-24八年级上·上海奉贤期末)化简：V24x3= 30.(23-24八年级下·云南保山期中)下列运算正确的是() A.√2+V2=2B. C.25x5<25D.V6÷V5=5 31.(24-25九年级上·四川乐山月考)若y>0,则V-x2y化简为() A.x-y B.-xy C.-xy D.-xy 32.(24-25八年级下天津和平-月考)已知a+h=-5,ab=1,则b后+aV6 的值为() A.23 B.5 C.-23 D.-5 题型08.一次根式化简求值 33.(25-26八年级上·上海青浦期中)当x=√5时，二次根式Vx2-4x+4的值为 34.(23-24八年级上·湖南岳阳月考)若x=3-√2023，则代数式x2-6x-8的值是(). A.2006 B.2005 C.2004 D.2003 1 35.(23-24八年级上·四川达州期中)如果0<a<1,二+a=6,那么Va- == a a 36.(23-24八年级下·山东淄博期中)已知a= 5-5,6=5+5,则二次根式 V5+5’√5-√ Vab+ab3+19的值是() A.6 B.7 C.8 D.9 题型09.一次根式的太小比较 37.(24-25八年级上贵州贵阳期中)比较大小：3√2 25(填“>，<，=”). 38.(24-25八年级上·陕西榆林期中)下列选项中的无理数位于7和8中间的是() A.√23 B.√7i C.37 D.8√7 试卷第1页，共3页 39.(25-26八年级上四川成都期中)比较大小：5十—号（填5或<） 40.(25-26八年级上湖南永州期中)已知：a=√万-√6，b=2√2-√万，c=3-2√2，则 a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 题型10.一次根式的实际应用 41.(25-26八年级上湖南郴州期中)一个长方形的面积为12，其中一边长为25，则另一 边长为 (结果化为最简二次根式). 42.(25-26八年级上广西来宾期中)如图，从一个大正方形中裁去面积分别为15cm和 24cm的两个小正方形，剩余部分的面积是() 15cm2 24cm2 A.6v10cm2 C.12V10cm2 D.20W10cm2 43.(24-25八年级上河北石家庄·期中)将边长分别为3和6的长方形按如图1的方式剪开， 拼成与该长方形面积相等的正方形（如图2）， 图1 图2 (1)图2中正方形的边长为 (2)图2中正方形边长的整数部分是 44.(25-26八年级上·河南郑州期中)如图（单位：cm),三张大小不同的正方形纸片叠放 在一起，中间正方形纸片的面积为40©m2,最大正方形纸片和最小正方形纸片的面积相差() cm 试卷第1页，共3页 11 A.2√10 B.4√10 C.610 D.8√10 题型11.一次根式的规律探究 45.(25-26八年级上·浙江舟山期中)如图，原图是一块边长为1，面积记为S的正三角形 纸板，沿原图的底边剪去一块边长为，正三角形纸板后得到图①，面积记为S,然后沿同 底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的； 后，得图②、③面积依次记为S2,S3,.,记第2025(n≥3)块纸板的面积为S25,则 S2024-S2025等于（） 图1 图2 图3 图4 A.)B.C.D. 48.(24-25八年级下·云南楚雄期末)观察下列各式： ,1,11,11,1 V+2+ =1+236 =1-； 11 V++ +1-1=1 3412 … 根据你的观察，计算 1+1的值是() 100121 B易 C.1 110 49.(24-25七年级下·广东广州期中)将一组数按以下方式进行排列： 第一行 1 第二行 2 5 试卷第1页，共3页 第三行 256 若√2的位置记为2,1)，√5的位置记为3,2)，则(7,4)表示的数是() A.√24 B.5 C.√32 D.√28 50.(24-25八年级下山东淄博期中)将一组数√2,2，√6,2√2，√10， 按下列方 式进行排列： √2,2，√6,22： √10,25，V14,4: … 若数2的位置记为1,2)，数V14的位置记为2,3)，则位置为17,2)的数是() A.172 B.2V35 C.3√22 D.233 522526八年级上测胸湘酒期)规作探究：设8=+中+京(+以2广。 √S,+VS,+VS,++√S的值为 题型12.二次根式新定义运算 1 46.(25-26八年级上湖南岳阳期中)对于正整数，定义f八)=n+Vn,例如： 2)=2+g则/0+f2)+/八3)++/2025)的值为0 A.V2025-1B.√2026-1 C.V2025+1 D.√2026+1 47.(25-26九年级上河南鹤壁·期中)若m为实数，在（√3-2口m的口”中添上一种运算符号 (在“+”“-“×”或“÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则m的值不可能是() A.5-2 B.25 C.5+3 D.4-2V3 51.(24-25八年级下山东德州期中)对于任意不相等的两个实数α，b,定义运算※如下： 试卷第1页，共3页 当a<b时，a※b=2√a+√b,，当a≥b时，a※b=2Va-√b,例如5※2=2V5-√2，按上 述规定，计算(3※2)-(8※12)的结果为（) A.45-55B.-5V2 C.4v3-3V2 D.32 53.(24-25九年级上·全国单元测试)定义运算“口”的运算法则为x☆y=√y+1,则 (2☆4)☆9= 54.(24-25八年级下·浙江宁波期中)定义：对于一组关于x的多项式x+a,x+b,x+c, x+d,当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数卫时（不含字母x),称 这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数卫的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子，若多 项式x+n,x+√5，x+√5-1，x+√5+1是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为 解答题 1.（24-25七年级下·河南商丘期中)计算： -20.5)； (2)(5V48+√12-6V7)÷√5 2.(24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中)计算： 0x-34+7-8+5-: (②)i8÷2+3+2)x(3-2) 3.(24-25八年级上.甘肃兰州期中)计算： 027+ 3 2-元-3.14°： ②s-5x8: (3)(2+6)2-(5-25+2): (④-124+V-62-327+1-V3, 4.(24-25八年级下·山东菏泽期中)先化简，再求值. 试卷第1页，共3页 6y+同+可 其中x=)y=27 5.(2425八年级上·甘肃白银期中)阅读下列材料，然后回答问题 ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如、3+1 一样的式子，可以将其进一步 2 25-25-25- 化简： 3+1(+5-1(-12 =5-1,以上这种化简的步骤叫做分 母有理化 ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我 们的计算. 1 1 1 1)计算： 5++5+5+万+5+…+2025+V202 (2)己知V15+x2-V26-x2=1,则V15+x2+V26-x2的值为多少. 6.(24-25八年级下广东广州期中)已知：a=√5-5，b=5+√5，求： (1)ab; (2)a2-62. 61.(25-26八年级上·湖南郴州期中)已知最简二次根式√4m-5与√3-2m能合并. (1)求m的值； (2)若m≤x≤2m,化简：x-7+V4-4x+x2, 62.(21-22八年级下·广西南宁期中)阅读下列材料，并解决相应问题： 25+3 2(5+ 5-5-35+3 2 5+5 应用：用上述类似的方法化简下列各式： (0)6+5' 2 (2)若a是√5的小数部分，求二的值. 63.(24-25九年级上山西晋城期中)座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期， 其计算公式为T=2π， 其中T表示周期（单位：s),1表示摆针的摆长（单位：m),π 取3，g≈9.8m/s2.若一台座钟摆针的摆长为0.2m 试卷第1页，共3页 (1)求该座钟摆针的摆动周期， (2)若该座钟摆针每摆动一个来回发出一次滴答声，则在1mim内，该座钟发出多少次滴答声？ 64.(25-26八年级上陕西西安期中)记a,2=1+m5,则a2=[1+(n-1)5(n为非 负整数)， 观察下列式子：①a2-a,2=1+V3-1P=1+25+3-1=23+3; ②a,2-a2=1+25-1+5=23+9;… 【计算观察】 (1)a32-a22=, a42-a32 (直接写出结果) 【归纳验证】 (2)猜想a,2-a2=, 并说明理由. 试卷第1页，共3页