精品解析：陕西渭南市大荔中学2026届高三下学期模拟测试数学试题

2026届高三模拟数学试题 命题人：夏姣 单位：大荔县大荔中学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔书写，书写要工整､笔迹清楚，将答案写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数单调性解不等式可化简集合B，然后由集合交集，并集定义可判断选项正误. 【详解】因函数在R上单调递减，则， ，从而，故D正确. 2. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将二项式展开后给赋值到问题的次数即可求解. 【详解】由题意得， 令，解得，故的系数是. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可. 【详解】平面向量的夹角为，，， 则向量. 4. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为； 由第百分位数的位置计算公式为. 样本容量，得. 根据百分位数定义，当位置不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为不是整数，向上取整得，即取排序后第项，排序后第项数据为. 因此该组数据的第百分位数为. 5. 如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由图可得解析式，然后由周期性可得答案. 【点睛】由图可得最小正周期为，则，又，则. 又由图可得，则，取，得， 从而，. 结合最小正周期为4，，则. 6. 已知双曲线分别为左､右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为的平分线与线段交于点.若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过角平分线性质定理、双曲线的定义、余弦定理求解. 【详解】因为直线的，由角平分线性质定理可知， 所以，由双曲线的定义可知，所以， 在中由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（ ） A. 2025 B. -1 C. 2026 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用卡西尼恒等式化简乘积的每一项，再根据指数和的奇偶性判断最终结果. 【详解】因为，所以， 当为奇数时，， 为偶数时，， 所以 ， 其中项中奇数项有1013个，即有个1相乘得，偶数项有个，即有1012个相乘得，故结果为. 8. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，求出、的值，利用条件概率公式可求得所的值，即为所求. 【详解】记事件甲参观珠海国际航展中心，事件甲与乙不到同一观展区，则， 因为每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区， 则先将个人分为组，再将这三组分配给三个展区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若参观珠海国际航展中心有人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的参观情况种数为， 若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区， 此时，不同的参观情况种数为种， 因此，， 由条件概率公式可得. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数90 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再根据百分位数的计算公式求解即可；对D ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，C错误； 对于D：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，D正确； 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在单调递增，则 B. 若在上恰有三个零点，则 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若向左平移后的图象与图象关于对称，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解即可，对于B，根据正弦函数零点表达式分析即可，对于C，由B可知，代入后结合诱导公式即可求解，对于D，由图象变换结合函数对称性即可求解. 【详解】对于A，若，则， 由正弦型函数的单调递增区间有，， 解得，， 当时，结合，则有， 当时，有， 很明显当取其它值时，有更多的取值范围，故A错误； 对于B，令，即， 当时，， 若只有3个零点，则，解得，故B错误； 对于C，由B选项可知，这三个零点对应的相位分别是， 则有，即， 即，即， 则 ，故C正确； 对于D，由题意得平移后的函数为 ， 图象与图象关于对称，则， 代入得 ， 即，化简得，故D正确. （因为要确保，所以） 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合奇偶性和对称性性质、求导运算依次求出是奇函数、、函数和是周期为6的函数即可依次分析判断ABC，由题设求出，由，得到，依次求出，即可判断D． 【详解】因为为偶函数，所以，所以，即， 所以为奇函数，故. 又，所以，即， 所以，所以，即函数是周期为6的函数. 所以函数也是周期为6的函数，即. 由求导得，，即. 对于A：由，，令，得， 令，得，令，得 又，所以. 又，即，故无法确定的值. 而，故无法确定，A错误. 对于B：由，得，故B正确. 对于C：由，，无法确定的值，C错误. 对于D：由，得，，， 所以. 又， 所以，D正确. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由回归直线方程可得：，解出即可求解． 【详解】因为，，所以, 则 13. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 14. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由知，且不能只，，，，中至少还要有1个函数值等于1，然后进行分类列举即可. 【详解】由可知，函数的值域中的任何元素y都满足. 因为值域非空，所以1必在值域中，即. 若仅有，则对任意，有. 此时对于，令，则.而，这与仅有的假设矛盾. 故中至少有一个元素的函数值为1. 具体分类如下： 1、若5个函数值都为1，此时共有1种情况； 2、若仅有4个函数值为1，又，则另外4个中应有3个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有3种情况，此时共有种； 3、若仅有3个函数值为1，又，则另外4个中应有2个函数值为1有种， 如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种； 4、若仅有2个函数值为1，又，则另外4个中应有1个函数值为1有种， 如，依题意都只能取2，有1种情况，此时有种情况； 综上所述，这样的函数的个数共有个. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为，. （1）求角； （2）当时，周长为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系、诱导公式及两角和正弦公式化简求解即可. （2）根据正弦定理及三角恒等变换得到，结合锐角三角形得到，利用正弦型三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由，得， 即 因为，，所以，即， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得，所以，， 则 ， 因为，，所以， 则，所以， 所以，则，即. 16. 在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正切值． 【答案】（1）在四边形中，作于，于 ， 因为， 可知四边形为等腰梯形，则， 可得，， 即，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面 ，可得 平面 ， 且平面 ，所以 . （2） 【解析】 【分析】（1）作于，于 ，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得 平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面 的法向量，再利用向量法求面面角余弦，最后应用同角三角函数关系即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以点为原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 因为，则， 可得， 设平面 的法向量，则有， 令，则 ，可得， 设平面的一个法向量， 设平面与平面 的夹角为，则， 则， 可得， 所以平面与平面 的夹角的正切值为. 17. 东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 （1）建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2）东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 【答案】（1）回归方程为，人数约为千人 （2） 【解析】 【分析】（1）将相关数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出回归直线方程，将代入回归直线方程，可预测出第天入园参观人数； （2）记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园，计算出、的值，利用条件概率公式可求得 【小问1详解】 由最小二乘法公式可得， 则， 所以，关于的回归直线方程为， 当时，， 因此，预测第天入园参观人数约为千人. 【小问2详解】 记事件甲、乙两名游客从南门出园，事件甲、乙两名游客从同一个门入园， 则， 如果甲、乙都从南门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲、乙都从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从南门入园，乙从北门入园，且都从南门出园，其概率为， 如果甲从北门入园，乙从南门入园，且都从南门出园，其概率为， ， 由条件概率公式可得. 因此，如果甲、乙两名游客从南门出园，则他们从同一个门入园的概率为. 18. 已知函数，且在上单调递增. （1）求； （2）若，证明： （i）存在两个极值点； （ii）. 参考数据： 【答案】（1） （2）（i）证明：，则， 构造函数，则， 因在上单调递增，且， 故当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，又， 结合零点存在性定理知，在区间存在唯一实数，使得， 当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以存在极大值点，极小值点； （ii）证明：因为，所以， 故， 因为，根据二次函数的性质可知： ， . 【解析】 【分析】（1）对求导并因式分解得，通过分类讨论的取值，确保在上恒成立，最终确定. （2）（i）代入化简并求导，构造函数，利用其单调性、端点值符号及零点存在定理，证明在给定区间内有唯一零点，并结合的符号变化确定存在极大值点和极小值点. （ii）利用极值点条件将表达式化简为关于的二次函数，再根据的取值范围代入端点值，得到的范围. 【小问1详解】 因为在上单调递增， 所以恒成立， 若，则，不合题意； 若，则或，不合题意； 若，则或，不合题意； 若,则 在 R 上恒成立，符合题意. 综上所述，. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 【答案】（1） （2） （3） 直线的方程为，到直线的距离， ， 的面积， 或（舍），， ，，， ． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率可得，得，在中，根据位置关系可得，进而可得； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程可得，结合可得，进而可得； （3）由弦长公式和距离公式可得的面积，进而可得，由放缩可得，进而可得. 【小问1详解】 因双曲线的离心率为2，故， 即，故公比． 在中，由点到一条渐近线的距离为（的短半轴长）， 得是的一个焦点，故，即，解得， 故． 【小问2详解】 由（1）知，， 由题易知直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 将代入中整理得，， 且，，． 的平分线垂直于轴，， 得，即， 将，，和代入整理得，， 或（舍，此时直线过），． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三问由进而根据放缩得，即，进而可证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三模拟数学试题 命题人：夏姣 单位：大荔县大荔中学 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔书写，书写要工整､笔迹清楚，将答案写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数是（ ） A. 15 B. C. 30 D. 3. 已知向量满足，则（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（ ） A. B. 11 C. D. 5. 如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（ ） A. B. C. 0 D. 6. 已知双曲线分别为左､右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为的平分线与线段交于点.若，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，该数列有这样一个规律：，称为卡西尼恒等式，根据卡西尼恒等式，（ ） A. 2025 B. -1 C. 2026 D. 1 8. 第届中国国际航空航天博览会共开辟了三处观展区，甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区至少有人，每人只参观一个观展区.在甲参观珠海国际航展中心的条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D. 估计总体中成绩落在内的学生人数90 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若在单调递增，则 B. 若在上恰有三个零点，则 C. 若在上恰有三个零点，则 D. 若向左平移后的图象与图象关于对称，则 11. 已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 13. 已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 14. 已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为____________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在锐角中，角的对边分别为，. （1）求角； （2）当时，周长为，求的取值范围. 16. 在四棱锥中，底面，，，，． （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的正切值． 17. 东湖公园统计连续天入园参观的人数（单位：千人）如下： 日期 月日 月日 月日 月日 月日 第天 4 参观人数 （1）建立关于的回归直线方程，预测第天入园参观人数； （2）东湖公园只开放南门、北门供游客出入，游客从南门、北门入园的概率相同，且从同一个门出园的概率为，从不同一个门出园的概率为．假设游客从南门、北门出入公园互不影响，如果甲、乙两名游客从南门出园，求他们从同一个门入园的概率． 附：参考数据：，，，． 参考公式：回归直线方程，其中，． 18. 已知函数，且在上单调递增. （1）求； （2）若，证明： （i）存在两个极值点； （ii）. 参考数据： 19. 已知公比为的正项等比数列，满足离心率均为2的序列双曲线的方程．在中，点到一条渐近线的距离为，过上一点作的两条弦，，交于另两点，，且的平分线垂直于轴． （1）求的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）当（为坐标原点）的面积为时，直线交轴于，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $