陕西渭南市大荔县大荔中学2025-2026学年高三下学期阶段学业能力自测数学试卷（三）

**基本信息** 高三数学阶段自测卷涵盖统计、函数、立体几何等核心知识，解答题融合概率比赛模型、导数极值分析、椭圆综合应用，梯度设计适配月考能力检测，体现数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|统计分位数、双曲线实半轴等|基础概念辨析，如第1题考查分位数计算| |多选题|3/18|三角函数性质、函数奇偶性等|多维度能力考查，如第9题结合图像变换与单调性| |填空题|3/15|绝对值不等式、解三角形、斐波那契数列应用|实际情境应用，如第14题楼梯台阶问题| |解答题|5/77|数列证明、导数极值、概率统计、立体几何、椭圆综合|综合性强，如概率题设计比赛计分模型，椭圆题结合圆覆盖问题，考查逻辑推理与数学建模|

2025-2026学年高三下学期阶段学业能力自测 数学试卷（三） 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．数据1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第70%分位数是（　　） A．2.5 B．4 C．4.5 D．5 2．双曲线C：9x2﹣16y2＝144的实半轴长为（　　） A．16 B．8 C．4 D．3 3．已知复数，则（　　） A． B． C． D．2 4．已知向量，，，则（　　） A．2 B． C． D．1 5．已知sinα﹣3cosα＝0．则（　　） A． B． C． D． 6．已知直线l交抛物线C：x2＝﹣28y于M，N两点，且MN的中点为（﹣2，﹣11），则直线l的斜率为（　　） A． B． C． D． 7．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝9，直线l：kx﹣y+3﹣2k＝0，设P为圆C上的一动点，则P点到直线l的最大距离为（　　） A．4 B．5 C．7 D．13 8．集合U＝{x∈N+|x≤2026}，集合A⊆U，B⊆U，则满足A∪B＝U的集合对（A，B）有（　　）个． A．22025 B．20262 C．22026 D．32026 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知函数，下列说法正确的是（　　） A．函数f（x）的最小正周期是π B．把函数f（x）的图象向右平移个单位长度可得到函数g（x）＝3sin2x的图象 C．函数f（x）的图象关于点中心对称 D．函数f（x）的图象在区间上单调递增 10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝e﹣x（x﹣1）．则下列结论正确的是（　　） A．函数f（x）有三个零点 B．当x＜0时，f（x）＝﹣ex（x+1） C．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|max＜2 D．若方程f（x）＝m有三个解，则实数m的取值范围是 11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长均为1，点O和点E分别为棱BC和棱A1B1的中点，先将底面ABC置于平面α内，再将三棱柱绕BC旋转一周，则（　　） A．设向量旋转后的向量为，则 B．点E的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面α上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线OE在平面α内的投影与直线BC所成角的余弦值的取值范围是 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12．不等式x2+2|x|﹣3＜0的解集为　 　 ． 13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则tanC的取值范围为 　 　 ． 14．斐波那契数列，又称黄金分割数列．因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下被递推的方法定义：f（1）＝1，f（2）＝1，f（n）＝f（n﹣1）+f（n﹣2）（n≥3，n∈N*）．这种递推方法适合研究生活中很多问题．比如：某楼梯共有10个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上1个或者2个台阶，则小明不同的上楼方法共有　 　 种．（用数字作答） 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列{an}中，． （1）证明：是等差数列； （2）求数列的前n项和Tn． 16．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣a+cosx+b． （1）当a＝0时，证明函数f（x）在（0，+∞）单调递增； （2）若函数f（x）在有极值，求实数a的取值范围； （3）若函数f（x）的图象在点（2π，f（2π））处的切线方程为x﹣y﹣2π＝0，求函数f（x）的零点个数． 17．（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以3：0或3：1获胜，则胜者得3分，败者得0分；若一方以3：2获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分X的分布列由p决定．定义意外指数为U（p）＝P（X＝1）+P（X＝2），求U（p）的最大值． 18．（17分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD＝4，CD，∠CDA＝45°． （Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD； （Ⅱ）设AB＝AP． （i）若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 19．（17分）已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆E的方程； （2）若圆可以将椭圆E完全覆盖，求r2的最小值； （3）设点C为椭圆E上在第一象限的点，直线AC，直线BC分别过E的左、右焦点，与椭圆E分别交于点A，B，记直线CA，AB，BC的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k2+k3＝0，求点C的坐标． 参考答案 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C C C C D 2． 多选题 9 10 11 ACD AC ABC 三．填空题 12．{x|﹣1＜x＜1}． 13．（0，1）． 14．89． 四．解答题 15．（1）证明：已知， 由，得， ∴是公差为2的等差数列； （2）解：由（1）得，， 则，可得， 则． 16．解：（1）证明：当a＝0时，f'（x）＝ex﹣sinx， 若x＞0，则ex＞1，又因为sinx≤1，所以f'（x）＞0， 所以函数y＝f（x）在（0，+∞）单调递增； （2）f'（x）＝ex﹣a﹣sinx， 因为函数y＝f（x）在有极值，所以f'（x）＝0在有解， 又因为f'（x）＝ex﹣a﹣sinx在单调递增，所以， 所以，所以，所以， 即a的取值范围是（，+∞）； （3）因为函数y＝f（x）在点（2π，f（2π））处的切线方程为x﹣y﹣2π＝0， 所以f'（2π）＝e2π﹣a﹣sin2π＝1且f（2π）＝e2π﹣a+cos2π+b＝0， 解得a＝2π，b＝﹣2， 所以f（x）＝ex﹣2π+cosx﹣2，f'（x）＝ex﹣2π﹣sinx， 当x＞2π时，f'（x）＞0，所以y＝f（x）在（2π，+∞）单调递增， 且f（2π）＝e0+cos2π﹣2＝0，所以y＝f（x）在（2π，+∞）没有零点； 当x＝2π时，f（2π）＝e0+cos2π﹣2＝0， 当x＜2π时，f（x）＜e0+cosx﹣2＝cosx﹣1≤0， 所以y＝f（x）在（﹣∞，2π）没有零点． 综上所述，函数y＝f（x）的零点个数为1个． 17．解：（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜）， 每局比赛甲获胜的概率为p（0＜p＜1），各局结果相互独立， 甲3：0获胜时，概率为p3； 甲3：1获胜时，前3局甲胜2局输1局，第4局甲胜，概率为； 因此甲得3分的概率为P＝p3+3p3（1﹣p）＝4p3﹣3p4； （2）若，设甲的总得分为随机变量X， 则X的可能取值为0，1，2，3， ； X＝2对应甲3：2获胜，前4局甲胜2局输2局，第5局甲胜： ； X＝1对应乙3：2获胜，前4局乙胜2局输2局，第5局乙胜： ； X＝0对应乙3：0或3：1获胜，； X的分布列为： X 0 1 2 3 P 根据离散型随机变量的期望公式可得； （3）由定义U（p）＝P（X＝1）+P（X＝2）， 代入得U（p）＝6p2（1﹣p）3+6p3（1﹣p）2＝6p2（1﹣p）2[（1﹣p）+p]＝6p2（1﹣p）2， 由基本不等式，当且仅当p＝1﹣p，即时取等号， 因此，即U（p）的最大值为． 18．解：（I）证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD ∴PA⊥AB 又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A ∴AB⊥平面PAD 又∵AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD （II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图） 在平面ABCD内，作CE∥AB交于点E， 则CE⊥AD 在Rt△CDE中，DE＝CD•cos45°＝1， CE＝CD•sin45°＝1 设AB＝AP＝t，则B（t，0，0），P（0，0，t） 由AB+AD＝4，得AD＝4﹣t， 所以E（0，3﹣t，0），C（1，3﹣t，0），D（0，4﹣t，0） ， 设平面PCD的法向量为（x，y，z） 由，，得 取x＝t，得平面PCD的一个法向量为 又，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得 cos（90°﹣30°） 即 解得或t＝4（舍去，因为AD＝4﹣t＞0） 所以AB （ii）假设在线段AD上存在一个点G到P、B、C、D的距离都相等 由GC＝GD，得∠GCD＝∠GDC＝45° 从而∠CGD＝90°，即CG⊥AD 所以GD＝CD•cos45°＝1 设AB＝λ，则AD＝4﹣λ，AG＝AD﹣GD＝3﹣λ 在Rt△ABG中， GB 这GB＝GD与矛盾． 所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到B、C、D的距离都相等． 从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等． 19．解：（1）因为椭圆的离心率为，短轴长为， 所以， 又a2＝b2+c2，所以4c2＝3+c2，解得c＝1，a＝2， 所以椭圆E的方程为． （2）圆G完全覆盖椭圆，意味着椭圆上任意一点（x，y）到圆心的距离均不超过半径r， 设椭圆上任意一点为P（x，y），则PG2， 因为， 得， y的取值范围为，当时，函数取最大值， 即，因此，r2的最小值为5． （3）由题意可知，椭圆E的左右焦点坐标为（﹣1，0），（1，0），设C（x0，y0）， 则且x0＞0，y0＞0，易得， 所以， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 直线CA：x＝t1y﹣1，直线CB：x＝t2y+1，其中， 由，得， 则， 从而， 所以，同理， 则 ， 所以， 所以，解得，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $