精品解析：陕西渭南市集才中学等校2026届高三第二次模拟测试数学试题

陕西校联2026届第二次模拟测试 高三数学试题 命题：陈伟 鲁宏波 张继跃 孙建刚 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】依题设，利用题设条件与焦准距可得，再由三角形面积计算即得. 【详解】由题意可知：，则， 设，则，可得，即， 又因为的面积为，解得. 2. 如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为和为圆上一点，且三角形为直角三角形，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】设，. 因为三角形为直角三角形，所以. 所以阴影部分的面积. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 4. 无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若​，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件. 5. 已知向量满足.当与的夹角最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将平方后换元，利用向量的夹角公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解即可. 【详解】将平方得， 令，则，所以， 设与的夹角为， 当时，，与条件矛盾，所以， 又，分子分母同时除以，， 令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，， 所以当与的夹角最大时，. 6. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由，可得，即， 则 ， 当且仅当即时，等号成立， 因为为锐角，也就是，即时，等号成立， 故所求式的最小值为，故C正确. 7. 设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以， 又的周期为2，故. 所以. 8. 寿康宫曾经有一个飞镖盘为一个正三角形，边长为30厘米.以点为圆心，20厘米为半径做圆弧，与以、点为圆心，10厘米为半径做圆弧形成的封闭阴影区域，则一名选手在训练时将飞镖扎在阴影部分的概率为（ ） A. 低于 B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求和阴影部分的面积，进而求概率并估算其范围. 【详解】由题意可知：的面积为， 阴影部分的面积为， 所以将飞镖扎在阴影部分的概率为，位于. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（ ） A. B. 的轨迹是 C. 到直线的距离的最大值为 D. 到圆上点的距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，利用复数模的三角不等式求解判断；对B，由复数的几何意义判断；对CD，数形结合求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 所以表示点与点距离之和等于2， 所以点的轨迹为线段，即，故B错误； 对于C，由前面知，的轨迹为线段，即， 如图，到直线的最大距离为点到直线的距离，即，故C正确； 对于D，因为点的轨迹为线段，即，且在圆内， 设点到圆上的点的距离为，则 所以到圆上点的距离的最大值为，此时的坐标为，故D错误. 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上有10个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据反例判断A，令，求出零点判断B，利用判断C，结合导数求最值判断D. 【详解】对于A，，此时， ，， 故的最小正周期不为，故A错误； 对于B，令，则，即， 故或，而，故，故B错误； 对于C， ， 故的图像关于点中心对称，故C正确； 对于D，， 因为 ，故为周期函数，且周期为， 设，则 ，令，得或， 则或或或或或， 当或或或时，， 当或或时，， 故在，，，上均为增函数， 在，，上均为减函数， 而， ， ， ， 故，故D正确. 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据题意可知函数至少有两个极值点，则有两个不相等的实数根，再求导结合根的判别式即可判断；对于B，举例说明即可；对于C，代入解不等式即可得到；对于D，由题得，再求导，利用导数的几何意义，计算的值． 【详解】解：对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点， 因为，所以有两个不相等的实数根， 所以，解得，故A正确； 对于B，时，， 的解为，此时，故B错误； 对于C， ，所以，所以，故C正确； 对于D，由题得，其简图如下： ， 所以， 同理， 故 ，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____． 【答案】 【解析】 【详解】设5名考官打分由高到低的排列为， 因为去掉一个最高分和最低分，X同学的平均成绩为95.8， 所以， 因为仅去掉一个最低分，X同学的平均成绩为96.6， 所以， 因为去掉一个最高分，X同学的平均成绩为94分， 所以， ，得， ，得， X同学的平均分为. 13. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，求出总费用的表达式结合图象得到当三点共线时取最小值，进而求解即可. 【详解】由题意知，所以满足双曲线定义，则，因此是双曲线右支，方程为. 总费用的表达式为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图， 延长交过点的竖直方向直线于点，易知. 在中，，所以， .因为，， 所以， 所以最小费用为万元. 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域要求，分四种情况分别讨论即可. 【详解】情况1: ，则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况2: ，则， 所以方程即为，所以， 两边平方得，值域为； 情况3: ，当  时，由于 ，则 ， 则， 所以方程即为，解得，不符合； 情况4: ，不可能，因. 综上，a的取值范围是. 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列满足． （1）求的前项和； （2）记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式； 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）分和两种情况求解，时利用等差数列求和公式求解； （2）根据与的关系得到数列的递推关系式，再根据等差数列的定义进行证明，利用等差数列的通项公式求解. 【小问1详解】 当时，， 当时， ， 则； 【小问2详解】 由，当时，，即； 当时，， 所以， 则， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 则，即. 16. 已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． （1）证明：直线过定点； （2）若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，求出A，B两点处的切线方程，最后求出它所过的定点. （2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再求出线段的中点，由得出参数的值，最后求出圆的方程. 【小问1详解】 设，则． 又因为，所以．则切线的斜率为，故， 整理得．设，同理得. 都满足直线方程． 于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线， 所以直线方程为，即. 当时等式恒成立．所以直线恒过定点． 【小问2详解】 由（1）得直线的方程为． 由可得，则． 设为线段的中点，则． 当时，直线为，中点，直线，两直线垂直，半径为. 当时，因为，则. 因为，所以，所以，无解. 综上，圆的方程为． 17. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用公式计算可得. （2）利用导数讨论函数的单调性，结合及极值点的范围可得的最小正零点. （3）利用期望的意义及根的范围可得相应的理解说明. 【详解】（1）. （2）设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 18. 如图，直角，斜边为的中点，将沿翻折到，设二面角的大小为，满足. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）当四面体的体积最大时，求. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）4. 【解析】 【分析】（1）根据，应用线面垂直判定定理可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，利用向量法求线面夹角，即可得出答案； （3）的面积与的面积相等，再求出平面的法向量，进而应用点到平面距离公式计算化简最后结合基本不等式计算求解参数. 【小问1详解】 依题意，斜边，有，取中点， 因为，平面， 所以平面，又平面，所以； 【小问2详解】 以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 由二面角的定义可得，则， 由于，则，， 故，， 设平面的法向量， 设与平面所成角为， 则， 故与平面所成角为； 【小问3详解】 由于的面积与的面积相等，则的面积与的面积相等， 因此，当到平面的距离最大时，四面体的体积最大； 设平面的法向量， 有， 令，则，可得，， 所以到平面的距离， 令，则， 当且仅当，即时等号成立，此时. 19. 已知函数，且存在，使． （1）证明：是上的单调增函数； （2）设，，，，其中．证明：； （3）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】(1)结合已知条件，利用导函数即可证明； (2)结合已知条件，利用数学归纳法即可证明； (3)结合已知条件可得到，然后结合(2)中结论求出的取值范围即可证明. 【小问1详解】 因为， 所以在上恒成立， 故是上的单调增函数. 【小问2详解】 由，，，，，可知， ， 因为是上的单调增函数， 所以， 从而有， 用数学归纳法证明如下： ①当时，上面已证明成立； ②假设当时，所证不等式成立， 则， 当时， 因为是上的单调增函数， 所以， 即， 即当时，所证不等式也成立. 综上所述，对，. 【小问3详解】 由题意，， 从而， 由(2)知，时，数列是首项为0的单调递增数列，且， 数列是首项为的单调递减数列，且， 故， 从而. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西校联2026届第二次模拟测试 高三数学试题 命题：陈伟 鲁宏波 张继跃 孙建刚 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知抛物线的焦点为，．若上存在点，使得，且的面积为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如图所示，已知两个半径相等的圆形相切，半径为3厘米，两圆的圆心分别为和为圆上一点，且三角形为直角三角形，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量满足.当与的夹角最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知锐角满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 寿康宫曾经有一个飞镖盘为一个正三角形，边长为30厘米.以点为圆心，20厘米为半径做圆弧，与以、点为圆心，10厘米为半径做圆弧形成的封闭阴影区域，则一名选手在训练时将飞镖扎在阴影部分的概率为（ ） A. 低于 B. C. D. 以上 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（ ） A. B. 的轨迹是 C. 到直线的距离的最大值为 D. 到圆上点的距离的最大值为 10. 声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在区间上有10个零点 C. 的图象关于点中心对称 D. 的最大值为 11. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. C. 若，则 D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去掉一个最高分和最低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果仅去掉一个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____． 13. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 14. 已知函数，设a为正实数，若方程有实数解，则a的取值范围是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分；15题13分；16-17题15分；18-19题17分；解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤） 15. 已知数列满足． （1）求的前项和； （2）记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式； 16. 已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，． （1）证明：直线过定点； （2）若以为圆心的圆与直线相切，切点为的中点，求该圆的方程． 17. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 18. 如图，直角，斜边为的中点，将沿翻折到，设二面角的大小为，满足. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）当四面体的体积最大时，求. 19. 已知函数，且存在，使． （1）证明：是上的单调增函数； （2）设，，，，其中．证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $