2.2+一元二次方程的解法（第1课时）课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过复习因式分解的概念及提取公因式、公式法、十字相乘法等方法，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生建立前后知识的逻辑联系。 其亮点在于通过“学习任务单”“合作学习”引导学生探究“若A×B=0则A=0或B=0”的原理，培养推理意识，结合提公因式、平方差公式等例题，用“右化零，左分解，两因式，各求解”口诀总结步骤，强化数学语言表达。学生能理解降次思想，教师可借助系统资源提升教学效率。

2.2 一元二次方程的解法 第一课时 因式分解法 第2章 《一元二次方程》 02 新知导入 1.什么叫因式分解? 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解，也叫把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法有哪些？ （1）提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c) （2）公式法： a2-b2=(a+b)(a-b) （3）十字相乘法： x2+(p+q)x2+pq=(x+p)(x+q) 例1 解下列方程： （1）x2－3x＝0 （2）25x2=16 解：将原方程的左边分解因式得： x=0或x-3=0 x1=0，x2=3 解：移项，得 25x2-16=0 将方程的左边分解因式得： 5x+4=0或5x-4=0 若 A B= 0，那么 A = 0 或 B = 0， ∴x1=， x2=- . （5x+4) (5x-4）=0 x（x-3）=0 学以致用： 1.因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2.理论依据：“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.” 3.“至少”有下列三层含义 ① ② ③ . 齐声朗读： A=0 或 B=0 学习任务单 若 ，判断结论： (1) 和 都为0（ ）； (2) 和 中至少有一个为0（ ） 新知探究 错误 正确 知识点1 认识因式分解法 如果 ： 那么： 或 通过因式分解如果将一元二次方程可化为 的形式，那么方程可转化为两个一次方程 或 ，进而求出一元二次方程的解 （3）几个数 相乘，只要有 乘数为0，积为 . 一个 0 猜想 新知探究 知识点1 认识因式分解法 学习任务单 （3）你能用这个方法解方程吗 通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 因式分解法的概念 转化 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 ， 或 =0 =0 03 新知探究 合作学习 若A×B=0，判断下面两个结论正确与否。 （1）A和B都为0，即A=0，且B=0. （2）A和B至少有一个为0，即A=0或B=0. 你能用上面的结论解方程(2x+3)(2x-3)=0吗？ 若(2x+3)(2x-3)=0 03 新知讲解 例1 （1）x2－3x＝0 （2）25x2=16 解下列方程： 解：将原方程的左边分解因式得： 则x=0，或x-3=0 解得x1=0，x2=3 解：移项，得 25x2-16=0 （5x+4)(5x-4）=0 ∴x1=， x2=- 则5x+4=0或5x-4=0 x（x-3）=0 将方程的左边分解因式得： 2.把一个多项式变形成几个整式的乘积的形式，这种变形叫因式分解。 （1）提取公因式法： am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法： 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2. （3）十字相乘法： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 用十字相乘法解下列方程 1、x2－3x－10=0 2、(x+3)(x－1)=5 解：原方程可变形为 (x－5)(x+2)=0 x－5=0或x+2=0 ∴ x1=5 ,x2=-2 解：原方程可变形为 x2+2x－8=0 (x－2)(x+4)=0 x－2=0或x+4=0 ∴ x1=2 ,x2=-4 x x 2 -5 x x 4 -2 学以致用： 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 解（1）将方程左边因式分解，得 ∴ ，或 。 解得 ，。 做一做 有公因式x，用提公因式法分解 例1 尝试用因式分解法解下列方程 （1） （2） A•B=0 A=0 或 B=0 解一元一次方程得原方程的解 通过因式分解得到降次的目的 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 做一做 先要转化为方程右边等于0的形式 例1 尝试用因式分解法解下列方程 （1） （2） A•B=0 A=0 或 B=0 解一元一次方程得原方程的解 解：移项，得： 。 因式分解，得 。 ∴ 或 。 解得： ，。 方程右边等于0的形式 03 新知探究 因式分解法： 先对方程 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式 分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 依据 若，则或。 03 新知讲解 例2 （1）（x－5) (3x－2)=10； （2）(3x－4)2 = (4x－3)2. 解： 化简方程，得 3x2－17x=0. 将方程的左边分解因式， 得 x(3x－17)=0, 则x=0 ，或3x－17=0， 解得x1=0，x2= 解：移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x－4)+(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0. 则7x－7=0，或-x－1=0. 解得x1=1, x2=-1. 解下列一元二次方程： a+b a×b 简记口诀： 首尾分解，交叉相乘， 求和凑中，横写因式。 x2+(a+b)x+ab x2+(a+b)x+ab=0 (x+a)(x+b)=0 十字相乘法解一元二次方程： x+a=0 或x+b=0 十字相乘法分解因式： = (x+a)(x+b) x1=-a，x2=-b 例2 解下列一元二次方程： （1）（x－5) (3x－2)=10； （2）(3x－4)2 = (4x－3)2. 移项、合并同类项得：3x2－17x=0. 将方程的左边分解因式， 得 x(3x－17)=0, 则x=0 ，或3x－17=0， 解：移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 [(3x－4)+(4x－3)][(3x－4)－(4x－3)]=0, 即 (7x－7) (-x－1)=0. 则7x－7=0，或-x－1=0. 解得：x1=1, x2=-1. 解：去括号得：3x2-2x-15x+10=10 因式分解法口诀：右化零 左分解 两因式 各求解 解得：x1=0，x2= . 步骤 新知探究 知识点2 探究因式分解法解一元二次方程 议一议 （1）因式分解法解一元二次方程的主要步骤由哪些？ ③ 转化:令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程. ④求解:分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. ① 移项：将方程变形，使方程的右边为零； ②分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积形式 A=0或Ｂ＝０ （2）用分解因式法解一元二次方程的条件是什么？ 方程左边易于分解,而右边等于零; AB=0 典例分析 例2 解下列一元二次方程： (1) ； (2) 。 解：(1) 整理方程，得：。 将方程的左边分解因式，得： ， ∴ 或 ， 解得： ，。 (2) 移项，得： 。 将方程的左边分解因式，得： ， 即 。 ∴ 或 ， 解得： ，。 03 新知探究 归纳总结 因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：将方程的右边化为0。 （2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。 （3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。 03 新知讲解 例3 解方程： 例3 解方程： 表示一元二次方程有两个相等的实数根 则 （x-)2=0 . 归纳小结： 1.十字相乘法： 首尾分解，交叉相乘， 求和凑中，横写因式。 2.因式分解法： 右化零 左分解 两因式 各求解 若 A B= 0，那么 A = 0 或 B = 0， 典例分析 例3 解方程 。 即 。 把2转化为 任何一个非负数a都可以转化为它的算术平方根的平方，即 a= ∴ ， 即： 解得 完全平方公式 因为0的平方根只有一种情况，所以原方程的两个解相等 解：移项，得： ， 新知巩固 （1）7 （2） （1）移项，得 。 提取公因式，得： 。 ∴ ，或 。 解得 ：，。 （2）方程两边同乘4，得： 。 。 ∴ ，或 。 解得： ，。 教材p35页 （3） （4） 用因式分解法解下列一元二次方程： （5） （6） 解： 解:7x2-21x=0 7x(x-3)=0 7x=0 或x-3=0 x1=0,x2=3 解： (x+2)2-2(x+2)=0 (x+2)(x+2-2)=0 x+2=0 或x+2-2=0 x1=-2, x2=0 解：(x-3)[4(x-3)-x]=0 x-3=0 或3x-12=0 x1=3,x2=4 右化零 左分解 两因式 各求解 1.用提取公因式法法解下列方程： （1） 7x2=21x （2） (x+2)2=2x+4 （3） 4(x-3)2-x(x-3)=0 夯实基础，稳扎稳打： a b = 0 2.用平方差公式法解下列方程： (3) 9x2=(x-1)2 (1) x2 -25=0 (2) x2 -9=0 解：(x+5)(x-5)=0 x+5=0或x-5=0 x1=-5,x2=5 x1=-6,x2=6 解： 9x2- （x-1）2=0 [3x+(x-1)][3x-(x-1)]=0 (4x-1)(2x+1)=0 4x-1=0或2x+1=0 解：(x+3)(x-3)=0 . x+3=0x-3=0 . x1=, x2= - . 课堂小结 1.核心思想：因式分解法的核心是“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。 2.理论依据：若 ，则 或 。 3.常用方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 4解题步骤： ① 移项，将方程右边化为0； ② 对左边进行因式分解； ③ 根据“”原理，得到两个一元一次方程； ④ 解一元一次方程，得到原方程的根。 右化零，左分解， 两因式，各求解 05 课堂小结 因式分解法 概念 依据 步骤 用因式分解法解方程 提公因式法 → 若，则或。 → → 1.移 2.分 3.化 4.解 公式法 十字相乘法 $