2.3 一元二次方程根与系数的关系（教学课件）数学新教材浙教版八年级数学下册

2.3 一元二次方程根与系数的关系 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 通过具体方程的根与系数的计算，体会一元二次方程根与系数之间存在的内在联系，感受从特殊到一般的数学思想，了解韦达定理的数学文化背景。 掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数关系（韦达定理）：，并能运用该关系解决求两根和、积及相关代数式的值等问题。 理解根与系数关系的推导过程，能利用求根公式严格证明韦达定理，明确定理的适用条件（a≠0，b²-4ac≥0），提升逻辑推理能力。 知识回顾 我问你答 ax2+bx+c=0（a≠0）  1、一元二次方程的一般形式是什么？ 2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ △=b²-4ac≥0 3、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？ 对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0) 当b2-4ac>0时， 方程有两个不等的实数根； 当b2-4ac=0时， 方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时， 方程无实数根. 4. 如何用判别式b2-4ac来判断一元二次方程根的情况？ 方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a，b，c决定根的值 知识回顾 练一练 用合适的方法解下列一元二次方程，并计算和得值 ⑴ ⑶ 解： ⑴ （ -1）(-11)=0 解得 ， 解得 ，， ∴ ⑶， 配方得： ， 解得 ， ∴ ， 。 通过上述计算你发现了两根和与两根积的特点吗？ 与系数a，b，c的值有关 导入新课 方程 x1 x2 x1+ x2 x1∙x2 通过上述计算完成下表 ， 对于一元二次方程 你能看出 和与之间的关系吗? 两根和等于 两根和等于 新知探究 知识点1 根与系数的关系（韦达定理） 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2， 做一做 学习任务单 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当b2-4ac≥0时，两根分别为: x1= ，x2= 。 两根之和：x1+x2= . 两根之积：x1x2= . x1+x2= = x1x2= = 平方差公式 知识点1 根与系数的关系（韦达定理） 新知探究 议一议 一元二次方程根与系数的关系 韦 达 定 理 一元二次方程 的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为“韦达定理.” ， 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号系统引入代数学，对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父” ． 典例分析 例1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1、x2 的和与积： （1） x2－6x－15＝0； （2） 3x2＋7x－9＝0； （3） 5x－1＝4x2. 解：(1) a=1，b= -6，c= -15 x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15 (2) a=3，b=7，c= -9 x1＋x2＝- ，x1x2＝ = －3 (3)原方程化为： 4x2-5x+1＝0 a=3，b=7，c= -9 x1＋x2＝- ，x1x2＝ = －3 方程必须是一元二次方程的一般形式 知识点1 根与系数的关系（韦达定理） 典例分析 例1.设 是一元二次方程 的两个根，求 和 的值。 解：方程 中，，， 由一元二次工程根与系数的关系得： ∴ 知识点2 利用根与系数的关系计算代数式的值 ∴ ∵ 常用变形公式 . . 新知探究 议一议 知识点2 利用根与系数的关系计算代数式的值 一元二次方程 的两个根x1，x2 . . 新知探究 知识点3 利用根与系数的关系定理构造方程 议一议 （1）一元二次方程 和， 和与之间有怎样的关系? （2）一元二次方程 和， 方程与方程由什么关系？ 互相转化 ∴以两个数 和为根的二次项系数为1的一元二次方程可表示为： 以两个数 和为根的二次项系数为a的一元二次方程可表示为： a 典例分析 例2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1。写出这个方程。 解：设所求一元二次方程为 ，其中 ， ∵方程两根是 ，。 ∴ ∴ 又∵ ， ∴ ，解得 。 ∵ ， ∴ ，解得 。 知识点3 利用根与系数的关系定理构造方程 将 ， 代入 ， 得： 。 方法一 答：所求方程为 典例分析 例2.已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是 ，1。写出这个方程。 解：两个根分别是 ，1的且二次项系数是3的一元二次方程可表示为 知识点3 利用根与系数的关系定理构造方程 a ∵一元二次方程的二次项系数是3 ∴这个方程为： 即： 答：所求方程为 方法二 典例分析 知识点4 利用根与系数的关系定理求方程参数 例3.（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，其中和为方程的两个根．，求的值为 ． 解：由题意，得 ，， ∵， ∴， 即， 解得或． ∵ ， 0 ∴或（无解）， 解得， ∴， ∴． 注意：应用一元二次方程的根与系数的关系定理的前提条件为：b2-4ac≥0. 新知巩固 1.设 分别是一元二次方程的两个根，填空： (1) (2) (3) = ， 。 = ， 。 = ， 。 (1) 解：由题意得： ，， 根据韦达定理： ， 。 (2) 解：由题意得： ，， 根据韦达定理： ， 。 教材p45页 ， (3) 解：∵ ，，。 根据韦达定理： ， 。 新知巩固 2.设 是一元二次方程 的两个根，求 的值。 解：方程 中，，， 由一元二次方程根于系数关系得： ∴ 答：。 教材p46页 拓展提升 1.已知 是方程 的两个根，求 的值。 解：方程 中，，，。 ∴ ∴ 将 代入，得： (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值：若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （1）解：∵两个实数根 ∴ 解得： ∴ ， ∴ (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值；若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （2）解： ∵方程有两个实数根， ∴ ， 解得：，这与与矛盾 ∴不存在的值， 使 成立． (1)请用含的代数式表示： ___________； ___________ (2)是否存在实数，使 成立？若存在，求出的值：若不存在， 请您说明理由； (3)直接写出使 的值为整数的实数的整数值． 拓展提升 1．材料阅读： 根与系数的关系定理： 如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1、x2，则： ， 已知 是一元二次方程的两个实数根， （3）解：由（1）得 ∴ = ∵ 的值为整数且 ∴ 或 或 ∴ 或 或 1.（2025·江苏南京·三模）设是方程的两个根，若，则 ． 解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 真题感知 2.（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． （1）证明：∵， ∴ ； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意， ， ， ∴， ∴， ∴， ． 真题感知 韦达定理核心内容 若 (a≠0, Δ≥0) 的两根为 ，则： ， 主要应用场景 求根的和与积，已知一根求另一根 构造以两个数为根的一元二次方程 结合判别式求参数范围或值 注意事项 1. 时刻注意前提条件：a≠0且Δ≥0 2. 注意公式中的符号问题，特别是 x₁+x₂ 的负号。 课堂小结 思想方法 利用根与系数的关系，整体代换求解，避免复杂的求根计算 从特殊到一般的归纳思想，整体代换的代数思想 课堂小结 易错点与注意事项 忽略二次项系数不为零 (a≠0) 在含参方程中，必须首先确认方程是一元二次方程。若二次项系数含参，需分情况讨论或直接排除为零的可能 忘记判别式 (Δ≥0) 使用韦达定理的前提是方程有实数根，务必检验判别式。若题目隐含“两实根”条件，需确保 Δ≥0 以保证结果有效性。 符号错误 牢记两根之和是 ，而不是 。这是最常见的计算失误点，特别是在方程整理为一般式时，要注意一次项系数的符号。 非对称式误用 韦达定理仅适用于对称式（如 x₁+x₂, x₁x₂）。对于非对称式（如 x₁ - 2x₂），需结合根与系数关系和方程本身求解，不能直接套用。 课后练习 教材p46页 1.设 分别是一元二次方程的两个根，填空： (1) = ， 。 (2) = ， 。 作业题 A组 先将方程化为一般形式： ， 得 ，，。 根据韦达定理： ， 。 课后练习 2.设 是一元二次方程 的两个根， 求：(1) ；(2) 。 解：方程 中，，，。 ∴ 教材p46页 作业题 A组 (2) (1) = 课后练习 3.已知长方形相邻两边长是一元二次方程 的两个根， 求这个长方形的周长和面积。 解：设长方形相邻两边长为 、，根据韦达定理： 两根之和：（长方形相邻两边之和） 两根之积：（长方形的面积） 长方形的周长 = （相邻两边之和）= 长方形的面积 = 相邻两边之积 = 综上，长方形的周长为24，面积为9。 教材p46页 作业题 A组 课后练习 4，已知： 是方程 的两个根。求证：。 证明： 是方程 的两个根 由韦达定理 得：，： ∴ ∵ ，∴ ）： ， 教材p46页 作业题 B组 ∴，等式成立。 课后练习 5.已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是6，它的一个根是2。写出这个方程。 解：∵一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是6 ∴可设所求一元二次方程为 ∵ 是方程的根，由韦达定理得： ， ∴ ， 将 代入 ， 得方程： 。 教材p46页 作业题 B组 方法一 课后练习 5.已知一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是6，它的一个根是2。写出这个方程。 解：∵一个一元二次方程的二次项系数是2，常数项是6 ∴可设所求一元二次方程为 ∵ 是方程的根，得： 即 ， ， 解得： 。 将 代入 ， 得方程： 。 教材p46页 作业题 B组 方法二 课后练习 6.已知： 是一元二次方程 的两个根。 求证：。 证明：由韦达定理 得， ∴ =[] = ∴ ，等式成立。 教材p46页 作业题 C组 感谢聆听! 感谢聆听! $