精品解析：重庆南开中学校2025-2026学年度下学期期中考试七年级数学试题

重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试初2028届 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方和合并同类项法则逐一判断选项的正误． 【详解】解：A、，∴A计算正确； B、，∴B计算错误； C、，∴C计算错误； D、与不是同类项，不能合并，∴，D计算错误． 2. 重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形．其主要利用的数学原理是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形内角和为 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意，形成了大量的三角形结构，可有效防止结构发生变形， 其中主要应用三角形具有稳定性． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D. 太阳从东方升起 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解： 选项A抛掷硬币反面朝上，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项B经过有交通信号灯的路口遇到红灯，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项C抛掷骰子一次正面朝上点数为6，可能发生也可能不发生，是随机事件； 选项D太阳从东方升起，是一定发生的自然规律，是必然事件． 4. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B. 三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C. 三角形的任意两边之差大于第三边 D. 全等三角形对应边上的高相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 三角形三条中线的交点为三角形的重心，一定在三角形内部， ∴ A选项错误； ∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴ B选项错误； ∵ 根据三角形三边关系，三角形任意两边之差小于第三边， ∴ C选项错误； ∵ 全等三角形对应边相等，面积相等，因此对应边上的高相等， ∴ D选项正确． 6. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式为，要求两个相乘的二项式中，一组项完全相同，另一组项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A中，两项均相同，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项B中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算； 选项C中，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构要求，可以用平方差公式计算； 选项D中，两项均互为相反数，不符合要求，不能用平方差公式计算． 7. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 5或 B. 5 C. D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】完全平方式满足，根据对应系数相等列方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得； ∴常数的值是或． 8. 如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 9. ，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题为定义新运算题，需根据新运算的分段规则，按和3的大小关系分情况讨论，代入对应公式解方程后，检验解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】解：根据新运算规则，分两种情况讨论： 当，即时， 此时， ∴， 解得， ∵不满足，∴舍去该解； 当，即时， ∵此时， ∴， 整理得， 解得， ∵满足， ∴是符合条件的解． 综上，的值为． 10. 如图所示，图案由黑白正方形组成，其中第①个图中有8个白色正方形，第②个图中有13个白色正方形，第③个图中有18个白色正方形……按照这一规律，则第⑨个图中白色正方形的个数是（ ） A. 42 B. 44 C. 46 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据前后图形比较发现规律：每次后一个图形比前一个图形多5个白色正方形， ∴第⑨个图中白色正方形的个数是． 11. 如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，设，可得，，结合，再进一步求解即可. 【详解】解：∵点是角平分线的交点，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 12. 已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件列举所有可能的情况，结合不等式和二次多项式的非负性判断，逐一验证每个说法即可． 【详解】解：①当，时，， 根据题意得，为正整数，且，即， 故可取4，5，6，7，8，9，10，共7个满足条件的，故①正确． ②当，时，， 根据题意，且，即， 列举所有符合条件的组合为：，共7组； 系数和为7，系数和为，系数和为，常数项和为， 故所有整式的和为，与②说法不符，故②错误． ③二次三项式即，， 要使对任意都非负，需满足， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， 故仅符合条件，共1个满足条件的，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 二、填空题：（本题共12个小题，每小题4分，共48分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 2026年国产AI心电芯片识别异常的延迟仅秒，数据用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数的科学记数法表示形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：对于，第一个不为零的数字为，满足，前面共有个，因此，可得． 14. 已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 15. 若，，则_________． 【答案】24 【解析】 【分析】利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则将所求式子变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 16. 图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 17. 南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】确定所有汉字的总个数，数出“春”字的个数，再根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：诗句“春意春已繁，春人春不见”中，共有汉字个，其中汉字“春”的个数为个， 抽到的汉字是“春”的概率是． 18. 如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 【答案】16 【解析】 【分析】设，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 19. 若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果不含x项得到，再进行变形即可． 【详解】解： ∵结果不含x项， ∴， ∴． 20. 如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，，求解，可得，可得，进一步求解即可． 【详解】解：，，， ， ， ∵，， ∴， ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知，则的值为_________． 【答案】2010 【解析】 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴   ． 22. 如图，的面积为，，，则的面积为_________． 【答案】132 【解析】 【分析】证明，，，，设，则，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴, ∴， 解得：， ∴. 23. 如图，在中，平分交于，平分交于点，，相交于点，交的延长线于点，连接，取的中点，连接，．当时，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的是_________（只填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用平分交于，平分交于点，可得，结合，可得①符合题意；如图，延长至，使，延长至，使，证明，可得，同理：，可得②符合题意；如图，延长交于点，证明，，与，可得③不符合题意；如图，在上截取，证明，同理可得：，可得，可得④符合题意． 【详解】解：∵平分交于，平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，故①符合题意； 如图，延长至，使，延长至，使， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴，故②符合题意； 如图，延长交于点， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，故③不符合题意； 如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴，故④符合题意． 24. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“麒麟数”．将的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则_________；若“麒麟数”（，，，均为整数，且，，，），记的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有的值之和为_________． 【答案】 ①. 3 ②. 6969 【解析】 【分析】第一空根据新定义直接计算的值，第二空分和两种情况整理出的各数位数字，利用“麒麟数”定义得到数位关系，推导的表达式，再根据为完全平方数确定对应参数，结合为整数和数位数字互不相等，找出所有符合条件的，最后计算所有的和． 【详解】解：①计算：，调换后， 根据定义：； ②设四位数的数位为千位、百位、十位、个位， 由麒麟数定义得：，即， 根据题意得任意麒麟数 ， ∵，， 分情况讨论：①， 整理得， 故数位：， 由麒麟数条件得，即， 数位和， ∴是偶数， ∵为完全平方数，，， ∴仅符合， ∴， ∵​为整数， ∴，数位有相等数字，不合题意， 或，数位互不相等，则， 或，数位，有相等数字，不合题意． ， 同理整理得， 数位：， 由麒麟数条件得，数位和， 同理仅符合，得． 由为整数，得：，数位互不相等，得， 或，数位互不相等，得， 所有符合条件的的和为：． 三、计算题：（本大题共4个小题，其中25-27题4分，28题8分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解：原式 26. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先计算单项式乘以单项式，积的乘方运算，单项式除以单项式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 27. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 . 28. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；3 【解析】 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 四、解答题：（本大题共5个小题，其中题每题8分，其余每题10分，共46分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 29. 如图，在中，，上有一点满足． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点在上方作，射线交于点；在射线上截取线段使，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中的条件下，证明：．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和中， ， ，（ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④  ， ． 【答案】（1）作图见解析 （2）①；②全等三角形对应角相等；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据题干信息要求作，即可； （2）根据题干信息要求逐步完善推理依据与推理过程即可． 【小问1详解】 解：作图如图所示． 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ，（②全等三角形对应角相等）， ， ∴， 在中，， ， ． 30. 如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． （1）证明：． （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得到答案； （2）先证明是平分线．可得，结合，可得答案. 【小问1详解】 证明：在和中， ， ， . 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， ， ， 即是平分线． 平分， ， 在中，， ，， . 31. 某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货”的直播运营模式，每场直播同时售卖永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品．经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数据如下： A．永川秀芽：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． B．涪陵榨菜：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． C．每场双品联动直播的固定运营成本为1200元． 请结合上述材料，完成下列问题： （1）请用含，的代数式表示本场直播的总净利润，并将结果化为最简形式； （2）当本场直播总净利润为1750元时，求出此时，的值． 【答案】（1） （2）m的值为15，n的值为20 【解析】 【分析】（1）根据总利润等于两种方式的利润之和可得表示总利润的代数式； （2）由，再结合完全平方公式可得答案. 【小问1详解】 解： . 【小问2详解】 解：由题意可知， ， ， 即， ， ， 答：当本场直播总净利润为1750元时，m的值为15，n的值为20． 32. 利用若干个长与宽分别为，的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． （1）由图1得到的等式是____________________；由图2得到的等式是____________________． （2）根据（1）中的结论，若，则__________． （3）将正方形和正方形如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，点，分别是，中点，连接，，，，，，，根据（1）中的结论求与的面积差． 【答案】（1）； （2）4 （3）62 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和加上2个长方形的面积求解第一个公式；根据阴影部分的面积等于四个长方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，求解第二个公式； （2）设，，可得，，再进一步求解即可. （3）连接，设，，可得，，可得，表示，，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：根据题意，图1得到的等式是；由图2得到的等式是. 【小问2详解】 解：∵， 设，， ∴，， 由（1）知： ∴， ． 【小问3详解】 解：连接， 设，， M是的中点，F是的中点， ，，，， 正方形，正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ∵， ∴ ∵ ， 或， ， ， ， ， 答：与的面积差为62． 33. 等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． （2）如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． （3）如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）或 【解析】 【分析】（1）由角度和差得出，证明，利用三角形内角和定理即可得出结果； （2）过点E作交于点H，交于点I，证明，，利用等腰直角三角形的性质及平行线的判定即可证得结论； （3）先求出的长度，由于点F是直线上的动点，点F分情况讨论：①当点F在点B左侧时；②当点F在点B右侧时，通过全等三角形的判定与性质，逆等线模型，等腰直角三角形的性质需确定点T的运动轨迹，求出相关线段的长度，从而得出最终结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，过点E作交于点H，交于点I， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，，点F为直线上的动点， ∴， 此时点F分情况讨论： ①当点F在点B左侧时： 如图，过点E作交直线于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∵点S是直线l上的一动点，将绕点B顺时针旋转得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴； ②当点F在点B右侧时： 如图，过点E作交直线于点N， 同理可证得：， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，点L，H分别是，的动点， 过点B作且，连接， ∴，， 易证得：， ∴， 当点，，K三点共线时，有最小值， ∴，此时点为的中点， 由情况①可得：点T的运动轨迹是与直线l夹角为的直线m， 当时，有最小值， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学2025-2026学年度下学期期中考试初2028届 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 重庆千厮门大桥是世界最大跨径的单塔单索面斜拉桥，其主桥的构造采用了大量的三角形结构，该设计可有效防止结构发生变形．其主要利用的数学原理是（ ） A. 三角形任意两边之和大于第三边 B. 两点之间，线段最短 C. 三角形具有稳定性 D. 三角形内角和为 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 抛掷骰子一次，正面朝上的点数是6 D. 太阳从东方升起 4. 如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形三条中线的交点一定在三角形的外部 B. 三角形的一个外角等于它的任意两个内角之和 C. 三角形的任意两边之差大于第三边 D. 全等三角形对应边上的高相等 6. 下列算式中，能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（ ） A. 5或 B. 5 C. D. 或1 8. 如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 9. ，若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 1或 D. 10. 如图所示，图案由黑白正方形组成，其中第①个图中有8个白色正方形，第②个图中有13个白色正方形，第③个图中有18个白色正方形……按照这一规律，则第⑨个图中白色正方形的个数是（ ） A. 42 B. 44 C. 46 D. 48 11. 如图，，交于点，点是角平分线的交点，连接，，，连接交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本题共12个小题，每小题4分，共48分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 13. 2026年国产AI心电芯片识别异常的延迟仅秒，数据用科学记数法表示为_________． 14. 已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 15. 若，，则_________． 16. 图1是物理学中的小孔成像实验，可以简化成如图2所示的几何图形，蜡烛火焰可视为线段，其像可视为线段，光线与光线交于小孔点．已知点到像的距离与点到蜡烛火焰的距离相等，且点，，三点共线．像的高度为，则蜡烛火焰的高度为_________． 17. 南朝梁元帝在《春日》中写到：“春意春已繁，春人春不见”．现从诗句中随机抽取一个汉字，则抽到的汉字是“春”的概率是_________． 18. 如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 19. 若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 20. 如图，在和中，，，，线段的延长线交于点，连接．若，，，则线段的长度为_________． 21. 已知，则的值为_________． 22. 如图，的面积为，，，则的面积为_________． 23. 如图，在中，平分交于，平分交于点，，相交于点，交的延长线于点，连接，取的中点，连接，．当时，下列结论：①；②；③；④若，则；其中正确的是_________（只填序号）． 24. 一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，若千位数字与个位数字的差等于十位数字与百位数字的差，则称其为“麒麟数”．将的千位数字与个位数字，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，则_________；若“麒麟数”（，，，均为整数，且，，，），记的各个数位上的数字之和为，若为完全平方数，且为整数，则满足条件的所有的值之和为_________． 三、计算题：（本大题共4个小题，其中25-27题4分，28题8分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 计算： 26. 计算： 27. 计算： 28. 先化简，再求值：，其中，． 四、解答题：（本大题共5个小题，其中题每题8分，其余每题10分，共46分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 29. 如图，在中，，上有一点满足． （1）用直尺和圆规完成以下基本作图：过点在上方作，射线交于点；在射线上截取线段使，连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）中的条件下，证明：．请补全下面的证明过程，并在括号中填上理论依据． 解：在和中， ， ，（ ② ）， ， ∴ ③ ， 在中，， ④  ， ． 30. 如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． （1）证明：． （2）若，，，求的度数． 31. 某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货”的直播运营模式，每场直播同时售卖永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品．经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数据如下： A．永川秀芽：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． B．涪陵榨菜：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． C．每场双品联动直播的固定运营成本为1200元． 请结合上述材料，完成下列问题： （1）请用含，的代数式表示本场直播的总净利润，并将结果化为最简形式； （2）当本场直播总净利润为1750元时，求出此时，的值． 32. 利用若干个长与宽分别为，的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． （1）由图1得到的等式是____________________；由图2得到的等式是____________________． （2）根据（1）中的结论，若，则__________． （3）将正方形和正方形如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，点，分别是，中点，连接，，，，，，，根据（1）中的结论求与的面积差． 33. 等腰直角三角形是顶角为，底角为的等腰三角形．是等腰直角三角形，，，． （1）如图1，D为外一点，E为内一点，连接，，，，若，，其中，，求的度数． （2）如图2，点D为线段上一点，连接．以为直角边作等腰直角三角形，取的中点F，连接并延长交于点G．求证：． （3）如图3，点D为直线上的动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转至，连接，与直线交于点F，当，时，在线段上取一点K满足，点L，H分别在线段与线段上运动，始终满足，当取最小值时，过点L作的垂线l，l上有一动点S，将绕点B顺时针旋转得到，当取最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $