精品解析：内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度下学期期中质量监测 八年级数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式； 、是最简二次根式； 、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】从边的角度，根据勾股定理的逆定理的判断；从角的角度，利用内角和定理，计算最大角，看是否为直角判断． 【详解】∵ ∴， ∴能围成直角三角形，A不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C=3：2：1，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=×180°=90°，， ∴能围成直角三角形，C不符合题意； ∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°，， ∴能围成直角三角形，B不符合题意； ∵ ∴， ∴不能围成直角三角形，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练从边和角两个层面去探解是解题的关键． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】A、与不是同类二次根式，不能合并， A错误； B、，计算符合二次根式除法法则， B正确； C、，原计算错误拆分运算， C错误； D、，合并同类二次根式计算错误， D错误． 4. 要使有意义的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：且． 5. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形的内角和定理，结合三角形中位线定理可得，由平行线的性质可得的度数，根据三角形的内角和定理以及等边对等角，计算即可得的度数． 【详解】解：∵是对角线的中点，点、分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，是正方形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时， D. 当是矩形时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，菱形的判定及矩形的性质．解题的关键是正确运用判定定理和性质定理依次进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，当时，是矩形，原结论不正确，故此选项不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，当时，是矩形，原结论不正确，故此选项不符合题意； C．当是矩形时，，原结论正确，故此选项符合题意； D．当是矩形时，，原结论不正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 8. 如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（ ） ；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 二、填空题：（每小题3分，共12分）请把答案填在题后对应横线上． 9. 化简______； 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 若实数a，b满足，则______ 【答案】8 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 11. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用知识点，掌握勾股定理在直角三角形中的计算方法是解题的关键． 先在中用勾股定理求出的长度，再根据，在中用勾股定理求出的长度，最后用减去得到顶部边缘上升的高度． 【详解】解：在中，根据勾股定理，可得： ∵，， ∴ ∴ ∵点为点的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即 ∴ 在中，根据勾股定理，可得： ∵，，  ∴ ∴ ∴ ∴ 此时电脑顶部边缘上升的高度为： ∵． 故答案为：13． 12. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可先证得四边形为菱形，连接交于点，连接，可求得和的长，则，故当三点在一条线上时，有最小值． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 三、解答题（本大题共有6个小题，共64分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内． 13. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 14. 已知（），用直尺和圆规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法，作图痕迹要用黑色中性笔涂黑），求证：． 【答案】作图见解析，证明见解析 【解析】 【分析】根据要求作图即可；根据平行四边形的性质得到，进而得到，根据作法可知，即，根据等角对等边可知． 【详解】解：作图如图所示： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作法可知：， ∴， ∴． 15. 如图，数轴上点、、所表示的实数分别为、、，点到点的距离比点到点的距离多，设点所表示的实数为． （1）写出实数的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）根据点到点的距离比点到点的距离多，得，结合点、、所表示的实数和图上的位置，代入计算，即可得出实数的值； （2）把（1）中求出的x的值代入计算得的值，再把的值代入计算即可． 【小问1详解】 点、、所表示的实数分别为、、，点到点的距离比点到点的距离多， ， 【小问2详解】 ， ， 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，数轴上两点间的距离，正确表示出线段长是解题的关键． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】（1）见解析； （2）18． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 17. 在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理； （2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 【答案】（1）见解析 （2）52 【解析】 【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明； （2）设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有，，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题． 【小问1详解】 证明：∵正方形的边长为c， ∴正方形的面积等于， ∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为的小正方形组成的， ∴正方形的面积为：， ∴； 【小问2详解】 解：设的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c， 根据题意得，，， 又∵ ∴， 故徽标的外围周长为：． 故答案为：52． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键． 18. 探究解题 （1）问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ （2）问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； （3）拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 【答案】（1）；；；； （2）平行； （3）见详解 【解析】 【分析】（1）作平行线，构造三角形全等，得到边相等，再证明四边形是平行四边形，最终证明中位线平行于底边，且等于底边一半； （2）四边形是梯形，是中位线，平行于底边，等于两底边和的一半； （3）连接，并延长交的延长线于点G，先证明，得到边相等，是的中位线，底边是梯形上下底之和，利用三角形的中位线性质，即可证明． 【小问1详解】 证明：， ，， 又， ， ， D是中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ，． 【小问2详解】 平行；，证明过程见（3）详解， 【小问3详解】 证明：连接，并延长交的延长线于点G，如下图 ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中质量监测 八年级数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　 　） A. B. ∠A+∠B=∠C C. ∠A：∠B：∠C=3：2：1 D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使有意义的x取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当时，是正方形 B. 当时，是菱形 C. 当是矩形时， D. 当是矩形时， 7. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（ ） ；；； A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（每小题3分，共12分）请把答案填在题后对应横线上． 9. 化简______； 10. 若实数a，b满足，则______ 11. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为____________． 12. 如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 三、解答题（本大题共有6个小题，共64分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在每题对应的答题区域内． 13. 计算与化简： （1）计算： （2）化简： 14. 已知（），用直尺和圆规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，不写作法，作图痕迹要用黑色中性笔涂黑），求证：． 15. 如图，数轴上点、、所表示的实数分别为、、，点到点的距离比点到点的距离多，设点所表示的实数为． （1）写出实数的值； （2）求的值． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 17. 在中，，，，．将绕点O依次旋转、和，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据． （1）请利用这个图形证明勾股定理； （2）图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转得到的，如果中间小正方形的面积为，这个图形的总面积为，，则徽标的外围周长为________． 18. 探究解题 （1）问题发现：数学课上，大家一起研究三角形中位线定理的证明方法．如图1，作辅助线的目的是通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质证明三角形中位线定理，请补充证明过程．过点C作的平行线交的延长线于点F，连接，； ，， 又 ____________ D是中点 且 ∴四边形______是平行四边形； ______；______ （2）问题延伸：如图2，在四边形中，，点E、点F分别是、的中点，请你猜想出与、的位置关系是______；大小关系是______； （3）拓展运用：相信聪明的你能够通过转化思想，利用三角形中位线定理证明你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $