精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

松山区2024-2025学年度下学期期中质量监测 八年级数学 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1，，3 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 11 B. 47 C. 26 D. 35 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 8. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. 与最简二次根式能合并，则________． 10. 如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为______． 11. 如图，数轴上点表示数，点表示数1，过数轴上的点作垂直于数轴，若，以点为圆心，为半径作圆交正半轴于点，则点所表示的数是，我们知道是一个无理数，那么上述的作图过程说明了______． 12. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论： ①； ②点到直线的距离为； ③； ④； ⑤， 其中正确结论的序号是_________． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 计算： 14. 如图，□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F． （1）求证：BF=DE； （2）如果∠ABC=75°, ∠DBC=30°，BC=2，求BD的长． 15. 图①、图②、图③、图④都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点．图①中的△ABC的顶点都在格点上． （1）沿BC边上的高将其剪成两个三角形，用这两个三角形在图②、图③、图④中各拼成一个平行四边形，所拼得的三个平行四边形不能够完全重合． （2）直接写出所拼得的平行四边形较长的对角线的长． 16. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示，求的度数； （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区2024-2025学年度下学期期中质量监测 八年级数学 （时间： 90 分钟 满分： 100 分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， ， 故选：B． 2. 下列各组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，5，6 B. 2，3，4 C. 5，12，13 D. 1，，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故不是直角三角形； B、，故不是直角三角形； C、，是直角三角形； D、，故不是直角三角形； 故选：C． 3. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，乘法计算，熟知二次根式的乘法和加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ） A. 11 B. 47 C. 26 D. 35 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积， 同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ， ∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误正确，不符合题意． B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误正确，不符合题意． C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法错误正确，不符合题意． D．对角线相等的平行四边形是矩形，原说法正确，符合题意， 故选：D． 7. 如图，中，平分，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，根据平行四边形的性质，，，结合平分，解答即可，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】∵平行四边形中，平分，， ∴，，， ∴， 故选：D． 8. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：，  与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为：  ． 10. 如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明，推出，，由，推出是直角三角形，在中，求出，根据即可解决问题． 【详解】解：延长到点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11. 如图，数轴上点表示数，点表示数1，过数轴上的点作垂直于数轴，若，以点为圆心，为半径作圆交正半轴于点，则点所表示的数是，我们知道是一个无理数，那么上述的作图过程说明了______． 【答案】无理数也可以用数轴上的点来表示（或者每一个实数都可以用数轴上的点来表示） 【解析】 【分析】根据圆的半径相等得到，即可得出点P表示的点． 【详解】解：∵点所表示的数是，我们知道是一个无理数， ∴无理数也可以用数轴上的点来表示， 故答案为：无理数也可以用数轴上的点来表示． 【点睛】本题考查了实数与数轴，掌握勾股定理，数轴上的点与实数一一对应是解题的关键． 12. 已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点．若，．下列结论： ①； ②点到直线的距离为； ③； ④； ⑤， 其中正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等； ③利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F，利用③中的∠BEP＝90°，利用勾股定理可求BE，结合△AEP是等腰直角三角形，可证△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF； ④在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面积； ⑤连接BD，求出△ABD的面积，然后减去△BDP的面积即可． 【详解】解：①∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°， ∴∠EAB＝∠PAD， 又∵AE＝AP，AB＝AD， ∴△APD≌△AEB（SAS）； 故此选项成立； ③∵△APD≌△AEB， ∴∠APD＝∠AEB， ∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE， ∴∠BEP＝∠PAE＝90°， ∴EB⊥ED； 故此选项成立； ②过B作BF⊥AE，交AE的延长线于F， ∵AE＝AP，∠EAP＝90°， ∴∠AEP＝∠APE＝45°， 又∵③中EB⊥ED，BF⊥AF， ∴∠FEB＝∠FBE＝45°， 又∵BE＝， ∴BF＝EF＝BE＝； 故此选项成立； ④∵EF＝BF＝，AE＝1， ∴在Rt△ABF中，AB2＝（AE+EF）2+BF2＝， ∴S正方形ABCD＝AB2＝； 故此选项成立； ⑤如图，连接BD，在Rt△AEP中， ∵AE＝AP＝1， ∴EP＝， 又∵PB＝， ∴BE＝， ∵△APD≌△AEB， ∴PD＝BE＝， ∴S△ABP+S△ADP＝S△ABD﹣S△BDP＝S正方形ABCD﹣×DP×BE＝×（4+）﹣． 故此选项不成立； 综上可知其中正确结论的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的加减运算，零整数指数幂等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别计算负整数指数幂，化简绝对值，零指数幂，化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】解： ． 14. 如图，□ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F． （1）求证：BF=DE； （2）如果∠ABC=75°, ∠DBC=30°，BC=2，求BD的长． 【答案】 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC． ∴∠ADE=∠CBF． ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴∠AED=∠CFB=90°． 在△ADE和△CBF中， ∠AED=∠BFC，∠ADE=∠CBF，AD=BC， ∴△ADE≌△CBF（AAS）． ∴DE=BF． （2） +1． 【解析】 【分析】(1)根据矩形的性质和已知条件证得△ADE≌△CBF，再利用全等三角形的性质即可证明； (2)先根据矩形的性质、勾股定理等知识求得AE的长,进而求得DE和BD的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵∠ABC=75°，∠DBC=30°， ∴∠ABE=75°-30°=45°． ∵AB∥CD， ∴∠ABE=∠BDC=45°， ∵AD=BC=2， ∠ADE=∠CBF=30°， ∴在Rt△ADE中，AE=1，DE==． 在Rt△AEB中，∠ABE=∠BAE=45°． 故AE=BE=1，则BD= +1． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，弄清题意、证得△ADE≌△CBF是解答本题关键． 15. 图①、图②、图③、图④都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点．图①中的△ABC的顶点都在格点上． （1）沿BC边上的高将其剪成两个三角形，用这两个三角形在图②、图③、图④中各拼成一个平行四边形，所拼得的三个平行四边形不能够完全重合． （2）直接写出所拼得的平行四边形较长的对角线的长． 【答案】 （1）如图．答案不唯一，以下答案供参考． （2）、、 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用平行四边形的性质，画出符合题意的图形即可； （2）在网格中利用勾股定理即可求出较长对角线的长度. 【详解】（1）略 （2）所拼得的平行四边形较长的对角线的长依次是、、． 【点睛】此题主要考查平行四边形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 16. 如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的处到公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站、之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，且． （1）请判断的形状？ （2）求修建的公路的长． 【答案】（1）是直角三角形 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形． （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【小问1详解】 解：是直角三角形． ，，， ， ， ， 是直角三角形． 【小问2详解】 解：， ， ． 答：修建的公路的长是． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）10 【解析】 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由矩形的面积得出，则，再由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，． 即的长为10． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 18. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作平行四边形，如图1所示． （1）证明平行四边形是菱形； （2）若，连接、、，如图2所示，求的度数； （3）若，，，是的中点，如图3所示，求的长． 【答案】（1） 解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，再根据平行线的性质证明，根据等角对等边可得，在由条件四边形是平行四边形，可得四边形是菱形，即可解决． （2）先判断出，再判断出，进而得出，即可判断出． （3）首先由（1）可知四边形是正方形，再证明可得，，再根据，可得是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴，， 由（1）知，四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵是的平分线 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴四边形为正方形， ∵M为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，灵活选择方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $