2.1一元二次方程和它的解 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，系统讲解概念、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及二次项系数、一次项系数、常数项，结合知识回顾（一元一次方程）与对比探究，帮助学生通过旧知支架构建新知脉络。 其亮点在于以现实问题（如长方形绿地面积、放射性元素衰变）驱动探究，通过对比归纳培养抽象能力与推理意识，结合例题精讲和判断练习强化模型意识。学生能提升用数学语言表达问题的能力，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第一章 二次根式 2.1一元二次方程和它的解 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 1.经历一元二次方程概念的发生过程，理解一元二次方程的概念. 2.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、 一次项系数和常数项. 学习目标 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 2 知识回顾 什么是一元一次方程？ 一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式。 0.1x2-x+1=0 这是什么方程？ Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 思考：观察x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 三个方程,说出这些方程 与一元一次方程的相同和不同之处． 相同之处：1.只含有一个未知数. 2.方程的两边都是整式. 不同之处：一元一次方程所含未知数的最高次数为1次,上述三个方程所 含未知数的最高次数为2次. 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 4 一元二次方程的三个条件： 1.两边都是整式； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数是2次. 方程x2-15x+50=0、x2+3x=4、(1-x)2= 的两边都是整式,只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2次.我们把这样的方程叫作一元二次方程. 能使 一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解(或根). 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 5 获取新知 列出下列问题中关于未知数x的方程： (1)某小区在两幢楼之间设置一块面积为1200平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，那么这块绿地的长和宽各为多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，则长为 ，面积为 ，根据题意可列出方程： . x+10 x(x+10) +10x=1200 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 (2)某放射性元素经过2天质量衰变为原来的 ，问：平均每天的减少率为多少？ 设平均每天的减少率为x，则一天减少为______，两天减少为__________. 1-x (1-x)2 根据题意可列方程：______________________。 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知探究 x2+3x=4 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知探究 一元一次方程 未知量 未知量的最高次幂 未知量的最高次幂是1 【提示】 判断下列式子是否是一元一次方程： × √ 一个未知量 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知探究 列出下列问题中关于未知数x的方程： （1）某小区计划在两幢楼之间设置一块面积为 1200 平方米的长方形绿地，而且长比宽多 10 米，那么这块绿地的长和宽各是多少米？ 设长方形绿地的宽为x米，可列出方程：__________。 x2+10x=1200 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.我们把ax2+ bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二 次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 思考：为什么要限制a≠0？b,c可以为零吗？ 若a=0，则未知数的最高次数不是2次,所以该方程不是一元二次方程.b,c可以为零. 注意：我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列, 即先写二次项,再写一次项,最后是常数项. 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 11 例1 把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项 系数和常数项. (1) 9x2=5-4x. (2) (2-x)(3x+4)=3. 解：(1) 移项,整理,得9x2+4x-5=0. 这个方程的二次项系数是9,一次项系数是4,常数项是-5. (2)方程左边多项式相乘，得-3x2+2x+8=3, 移项,整理,得-3x2+2x+5=0. 这个方程的二次项系数是-3,一次项系数是2,常数项是5. 例题精讲 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 +10x=1200 观察下面两个方程，思考回答下面问题。 (1)上面两个方程是一元一次方程吗？ (2)上面方程整理后含有几个未知数？ (3)它的最高次数是几次？ 不是 含有一个未知数 最高次数是2次 (4)尝试参照一元一次方程的形式给这个方程命名？ 一元二次方程 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 一元二次方程的定义： 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程． 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根） Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知探究 想一想它们都有什么共同点： 整式方程 未知个数数1个 含有未知数项的次数2次 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知讲解 提炼概念 方程 x2+10x=1200和 的两边都是整式，并且只含有一个未知数，并且未知数最高次数为2次我们把这样的方程叫做一元二次方程. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 解：将x1=和x2=-3代入方程2x2+ bx+c=0, 得 解得 所以这个一元二次方程是2x2+x-15=0. 例2 已知一元二次方程2x2+ bx+c=0的两个根为x1=和x2=-3,求这个方程. 例题精讲 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知讲解 判断下列方程是否为一元二次方程： ① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) ③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( ) √ × √ × 【点睛】判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 1.判断下列方程是否为一元二次方程： ① 10x2=9 ( ) ②2(x-1)=3x ( ) ③2x2-3x-1=0 ( ) ④ ( ) √ × √ × 2.判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根. x=-1 ,x=2是方程x2-2=x的根，x=0 不是方程x2-2=x的根 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 定义紧加练习，理解更深刻 x2+3x=4 x2+3x-4=0 下列两个方程还可以怎样表示呢？ 上面两个方程有什么特点？ 都是ax2+bx+c=0的形式 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知讲解 【思考】下列两个方程还可以怎样表示呢？ x2+10x=1200 x2+10x-1200=0 上面两个方程有什么特点？ 都是ax2+bx+c=0的形式 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知讲解 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项； a,b分别称为二次项系数,一次项系数. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式，我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式. 其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项； a,b分别称为二次项系数,一次项系数. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 (1)通过整理,所有关于x的一元二次方程都可以化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0). (2)一元二次方程的一般形式不是唯一的,从而其二次项系数、一次项系数和常数项也不是唯一的,通常的一般形式是指最简单、最实用、最方便的一种. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 03 新知讲解 思考 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 一元二次 方程 课堂小结 三要素 一般形式 1.两边都是整式； 2.只含有一个未知数； 3.未知数的最高次数是2次. ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)是一元二次 方程的一般形式,其中ax2 ,bx,c分别称为二次 项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系 数和一次项系数 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level 2026/5/17 OfficePLUS 1 $