菱形的性质、菱形的判定 专项训练-2026年中考数学二轮复习讲义

该初中数学中考复习讲义聚焦“菱形的性质与判定”核心考点，涵盖菱形边、角、对角线性质及判定定理，按“考点梳理-例题精析-变式训练”架构设计，通过真题讲解（如坐标系中菱形坐标计算、面积与边长关系推导）帮助学生突破综合应用难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融合几何直观与推理能力培养，如通过菱形与矩形综合题（例1）训练学生用数学眼光分析图形关系，利用判定定理证明题（例2）发展逻辑推理。设置基础例题与变式题分层训练，配合中考模拟题实战演练，能有效提升学生解题能力，助力教师精准把控复习节奏。

菱形的性质、菱形的判定专项训练 菱形的性质、菱形的判定专项训练 考点目录 菱形的性质 菱形的判定 考点一 菱形的性质 例1．（2026·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两条边，分别在y轴和x轴的正半轴上，点E是上一点，且，以，为邻边作平行四边形．若，四边形为菱形，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据锐角三角函数可知，根据菱形的性质即可得的长度求解． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴ ∴ ∴． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，已知菱形的四个顶点都在x轴，y轴上，点是边上一点，连接并延长交边于点F，则点F的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质证明，可得点E与点F关于点O对称，根据关于原点对称的点的坐标变化即可求解． 【详解】解∶∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与关于原点O对称， 即点E与点F关于原点O对称， ∵， ∴． 例3．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，，根据菱形的面积公式求出，则，根据勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的边长为． 例4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 例5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的周长为_____． 【答案】20 【分析】令得，得到，根据菱形的性质求解即可； 【详解】解：令得，解得， 故， 故， 故该菱形的周长为； 例6．（2026·江苏扬州·一模）如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 【答案】5 【分析】连接交于点O，由菱形的性质得到，由三角形中位线定理得到，则可推出，即，根据菱形的面积公式可推出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴； ∵点、、、分别是菱形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴，即 ∵菱形的面积为24， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 变式1．（2026·山西晋城·一模）如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离计算公式得到，由菱形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵顶点O，A的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 变式2．（2026·湖南·一模）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理可推出所得四边形对边平行且相等，判定为平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，可推出平行四边形有一个内角为直角，利用矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：设菱形为，，，，分别为，，，的中点，连接对角线、， ，，，分别是菱形四边的中点， 是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， 同理可证：， ，即， 平行四边形是矩形． 变式3．（2026·贵州黔南·一模）如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质可知，，，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可知，再根据即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示， 四边形是菱形， ，，， ， ，， ， . 变式4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、， ， ，， 、， 在中，． 变式5．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 【答案】 【分析】如图所示，取的中点G，连接，根据菱形的性质可知，利用勾股定理得到，结合中位线的性质可得，且，再求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取的中点G，连接， ∵菱形的对角线与相交于点， ， ， ∵点是的中点，点G是的中点， ∴是的中位线， ∴，且，，， 又， ，， ． 变式6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上的一点，且，过点的直线交于点．若平分该菱形的面积，则的长为______． 【答案】 【分析】连接交于点，过点作于点，根据题意得出是等边三角形，点为、的中点，分别求得的长，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作于点， ∵在菱形中，，， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵平分该菱形的面积 ∴经过菱形的中心， ∵菱形的中心为对角线的交点，菱形的对角线互相垂直平分， ∴点为、的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ 在中， ∴ 考点二 菱形的判定 例1．（2026·云南红河·一模）如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据两组对边平行可证是平行四边形，进而根据邻边相等可知是菱形； （2）根据两个三角形的周长关系，可知，根据四边形的面积可知，所以可知的取值，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是平行四边形， ∵在中，，是的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：的周长为的周长为， ∴，， ∴， 三角形的面积为：， ∴， 所以四边形的面积：， ∴ ∴ ∴． 例2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 变式1．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）过作的垂线即可. （2）由证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：如图，即为所求. （2）证明：∵在中，，，， 而， ∴， ∴是菱形. 变式2．（2026·北京门头沟·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，且，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（负根舍去）， ∴． 变式3．（2026·北京东城·一模）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $菱形的性质、菱形的判定专项训练 菱形的性质、菱形的判定专项训练 考点目录 菱形的性质 菱形的判定 考点一 菱形的性质 例1．（2026·山西朔州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两条边，分别在y轴和x轴的正半轴上，点E是上一点，且，以，为邻边作平行四边形．若，四边形为菱形，则点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖北襄阳·模拟预测）如图，已知菱形的四个顶点都在x轴，y轴上，点是边上一点，连接并延长交边于点F，则点F的坐标为（） A． B． C． D． 例3．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为16，则菱形的边长为（    ） A． B． C． D． 例4．（2026·辽宁·模拟预测）如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 例5．（2026·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点上，顶点在轴正半轴上，直线的解析式为，则该菱形的周长为_____． 例6．（2026·江苏扬州·一模）如图，点、、、分别是菱形各边的中点，若四边形的周长为14，菱形的面积为24，则的长为________． 变式1．（2026·山西晋城·一模）如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·湖南·一模）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 变式3．（2026·贵州黔南·一模）如图，在菱形中，，是对角线，．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·浙江杭州·一模）如图，在菱形中，与交于点，，，则的值为___________． 变式5．（2026·北京平谷·一模）如图，在菱形中，对角线相交于点，对角线的长为是的中点，是上一点，连接．若，则的长为______． 变式6．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在菱形中，，，是上的一点，且，过点的直线交于点．若平分该菱形的面积，则的长为______． 考点二 菱形的判定 例1．（2026·云南红河·一模）如图，在中，，是的中点，分别过点作，过点作，交点为．记的周长为的周长为，四边形的面积为． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 例2．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若的周长为30，且，求四边形的面积． 例3．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 变式1．（2026·江苏苏州·一模）如图，在中，，垂足为点E． (1)过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求证：四边形是菱形． 变式2．（2026·北京门头沟·一模）如图，在四边形中，，点在上，且，对角线平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果是的中点，且，，求的长． 变式3．（2026·北京东城·一模）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F分别是，的中点，连接交于点G，延长与的延长线交于点H，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $