第5章 第26节 菱形-【众相原创·减负中考】2026年中考数学基础精讲册（广西专用）

第26节菱形 核心知识全梳理 知识点菱形的性质与判定(2024.17) 文字语言 符号语言 图形语言 对边平行，四条边都 AB∥CD,AD∥BC,AB=BC= 边 ① CD=AD ∠BAD=③ 角 对角② ∠ABC=∠ADC 对角线互相④ ,并 AC⊥BD,OA=OC,OB=OD 性质 对角线 且每条对角线⑤ AC平分∠BAD和∠BCD, 组对角 BD平分∠ABC和∠ADC 既是⑥ 对称图形，又是⑦ 对称图形，对称中 对称性 心是⑧ ,有⑨ 条对称轴 周长、 面积 C装形BD=4AB;S菱形cn=底×高=)AC·BD 有一组0 相等 四边形ABCD是平行四边形， 的平行四边形是菱形 AB=AD, 用边 (定义) 四边形ABCD是菱形 四条边都① 的 .AB=BC=CD=AD, 四边形是菱形 ·.四边形ABCD是菱形 判定 四边形ABCD是平行四边形， 对角线互相② B 用对 的平行四边形是菱形 四边形ABCD是菱形 角线 对角线互相④ 'AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, 的四边形是菱形 四边形ABCD是菱形 【特别提醒】(1)菱形的两条对角线把菱形分成了四个全等的直角三角形；(2)若菱形有一个内角为60°， 则连接两个120°内角顶点的对角线将菱形分成两个全等的等边三角形， 【知识拓展】对角线互相垂直的任意四边形的面积均等于两条对角线乘积的一半.如图，在四边形ABCD 中，若AC1D子点0，期5m=St5E=之4C0-C0=4C.(0+0)=4C,m 2 93 母题变式练考点 1.（2025广西模拟)红色的“中国结”是一种喜庆的吉祥物，它是中华民族团结的象征.乐乐家也有 一幅这样的“中国结”挂饰.他想求两对边间的距离，于是利用所学的知识抽象出如图所示的菱 形ABCD,测得BD=12cm,∠DAB=60°，直线EF过点O且与AB垂直，分别与AB,CD交于点E, F,则EF的长为 () A.63 cm B.4√3cm C.10 cm D.4√2cm 2.(人教八下P57T1改编)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. (1)若∠ABC=60°，则∠CAD= (2)若AC=6,BD=8,则： ①AB= 菱形ABCD的周长为 ,面积为 ②点O到AB所在直线的距离为 ,点A到BC所在直线的距离为 ③若E是AB的中点，则OE= 3.（2021北部湾23题改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边 上一点，过点D作DE⊥BC,交直线MN,BC分别于点E,F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD; (2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由. 94 4.【回归教材·纸条的重叠】（沪科八下P98T11改编）剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一 起，重合的部分构成了一个四边形ABCD. (1)如图1，线段AD和BC的长度有什么关系？请说明理由； (2)如图2，若这两张纸条等宽，求证：四边形ABCD是菱形. 图1 图2 变式1如图，两张宽度为1：2的纸条叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，重合部分构成的平行四 边形ABCD的周长为12cm,则该平行四边形ABCD的面积为 cm2 609 60 B B 变式1题图 变式2题图 变式2(2024广西17题)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 cm 方法总结纸条的重叠问题 图形 不等宽的两个矩形纸条重叠（不垂直），重叠部分 等宽的两个矩形纸条重叠（不垂直），重叠 结论 一定是平行四边形，一定不是菱形 部分一定是菱形 95AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形 .△ABE≌△DFE(AAS),∴.AB=DF 解法三：证明：DF∥BE,.∠DFE=∠BEF 又：ABDF,.四边形ABDF是平行四边形 AF=CE,∴.AF+EF=CE+EF,∴.AE=CF ∠BDC=90°，.∠BDF=90°， 又DF=BE,.△ABE≌△CDF(SAS), .四边形ABDF是矩形. ∠BAE=∠DCF,AB/∥CD. (2):四边形ABDF是矩形，AB=DF, 又∠DFE=∠BEF,.∠AFD=∠CEB. .四边形ABCD是平行四边形. 又AF=CE,DF=BE,·.△AFD≌△CEB(SAS), ∴.AB=CD,BC=AD=5,∴.AB=DF=CD=3 ∠DAF=∠BCE,.AD∥BC, ∴.CF=DF+CD=6. ..四边形ABCD是平行四边形 在Rt△BDC中，BC=5,CD=3, 解法四：证明：DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO, .BD=√BC-CD=4, .·DF=BE,∠DOF=∠BOE ..△DFO≌△BE0(AAS),∴.OF=OE,OD=OB. AB//CF..SBDx(AB+CF)=18. 又.AF=CE,.AF+OF=CE+OE,即OA=OC, 4.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， ..四边形ABCD是平行四边形 .DE是△ABC的中位线，.DE∥BC. 6.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， :DG=FC,四边形DFCG是平行四边形 ∴.AB=CD,AB∥CD,.∴.∠BAE=∠DCF 又.DF⊥BC,∴.∠DFC=90° (AB=CD. .四边形DFCG是矩形 在△ABE和△CDF中 ∠BAE=∠DCF (2)解：.·DF⊥BC,∴.∠DFB=90° AE=CF. ·∠B=45°，.△BDF是等腰直角三角形，.BF=DF=3. .·.△ABE≌△CDF(SAS) DG=FC=5...BC=BF+FC=8. (2)证明：连接DB,交AC于点O. 由(1)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形 :四边形ABCD是平行四边形， ..0A=0C,0B=0D. DE-BC-4.CG-DF-3G-90 .AE=CF,.'..OE=OF, ∴.EG=DG-DE=1,.CE=√CG+EG=√I0. 四边形BEDF是平行四边形.（证法不唯一） :E为AC的中点，.AC=2CE=2√⑥. (3)解：AB⊥BF,∴∠ABF=90°， AF=V√AB+BF=√4+3=5. 5(1)0CDE②7 (2)①10②6③4④5 4 .AC=8,..CF=AC-AF=8-5=3, (3)①1②= (4)①=②25 ∴.AE=CF=3,∴.EF=AF-AE=5-3=2 1 第26节菱形 AB LBF,Su=2AB.BF-2 X4X3-6. 核心知识全梳理 2 2 12 ①相等②相等③∠BCD④垂直平分⑤平分⑥轴 EF=2,AF=5Sa=55a4m=5×6= 5 ⑦中心⑧对角线的交点⑨20邻边①相等 由(2)可知，四边形BEDF是平行四边形 ②垂直BAC⊥BD④垂直平分 24 SDY-2E5 母题变式练考点 第25节矩形 1A2(1)60(2)①5：20：24②12,24 55 ③5 核心知识全梳理 3.(1)证明：.DE⊥BC,∴.∠DFB=90°. ①平行且相等②AD=BC③直角④90°⑤平分 ∠ACB=90°，.∠ACB=∠DFB,.AC∥DE. ⑥中心⑦2⑧2⑨直角090°①三②相等 MN∥AB,即CE∥AD, BAC=BD .四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD. 母题变式练考点 (2)解：四边形BECD是菱形，理由如下： 1.(1)50:50:80(2)①10：5②28：48③12④ D为AB的中点，.AD=BD. 5 由(I)得CE=AD,BD=CE. 2.A BD∥CE,.四边形BECD是平行四边形. 3.解：(1)选①AE=DE(答案不唯一)，证明如下： :DE⊥BC,.四边形BECD是菱形 :四边形ABCD是平行四边形.AB∥CD, 4.(1)解：AD=BC. ∴.∠ABE=∠DFE. 理由：由题意可知，AB∥CD,ADBC, 在△ABE和△DFE中， .四边形ABCD为平行四边形，∴.AD=BC LABE=∠DFE, (2)证明：如解图，由题意可知，AB/CD,AD∥BC, ∠AEB=∠DEF, ∴.四边形ABCD为平行四边形，∴.∠A=∠C AE=DE. 过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F, ∴.∠AED=∠CFD=90°， (2)解：①当AC=5时，四边形BECF是菱形，证明如下： ·DE=DF AB=AC=5,D是BC的中点，.AD⊥BC,.EF⊥BC '△ADE≌△CDF(AAS), 由(1)知，四边形BECF是平行四边形. .'AD=CD ∴.四边形BECF是菱形： 四边形ABCD是菱形 ②当四边形BECF是正方形时，BC=EF=6,BC⊥EF, 【变式1】45【变式2】85 .D是BC的中点，.BD=CD=DE=DF=3. 第27节正方形（含中点四边形) .AD=√AB2-BD=√5-3=4， 核心知识全梳理 .AF=AD-DF=4-3=1. ①平行②相等③直角④垂直平分⑤平分⑥轴 小专题7四边形中的“十”字模型 ⑦中心⑧对角线的交点⑨4⑧4了卫相等 1.证明：.四边形ABCD是正方形， .∴.∠ABF=∠C=90°，AB=BC B直角④AD(或BC)5⊥G=⑦菱形⑧矩形 .AF⊥BG,∴.∠APB=90°， 四正方形 .∠BAF=∠CBG=90°-∠ABG. 即时自测 I∠BAF=∠CBG. 1.D 在△ABF和△BCG中 AB=BC. 2.(1)∠ABC=90°（答案不唯一）：有一个角是直角（或90°） N∠ABF=∠C. 的菱形是正方形(2)AC⊥BD(答案不唯一)：对角线互相 .△ABF≌△BCG(ASA),.AF=BG. 垂直的矩形是正方形 【变式】√29 3.D4.A 2.证明：，四边形ABCD是矩形 母题变式练考点 .∠BAD=∠D=90°，.∠BAE+∠EAD=90° 1.(1)90:45(2)67.5;22.5(3)①82：42②32；16 BF⊥AE,.∠AMB=90°，∴.∠BAE+∠ABM=90°， ③42 .∠EAD=∠ABM. AE DE 2.证明：(1).：0是AC的中点，.0A=0C. :∠D=∠AMB=90°，.△ADE∽△BMA, AB AM AE∥BC,.∠AEO=∠CDO, ∴.AB·DE=AE·AM 在△AOE和△COD中， (∠A0E=∠C0D. 【变式】26【解析】如解图， A ∠AEO=∠CD0. 过点E作EM⊥CD于点M,交 FH于点J,过点H作HW⊥BC 0A=0C. .△A0E≌△COD(AAS),.OE=0D, 于点N,交EM于点I,则 B ∠EMC=∠HNB=90°.：四边 ·.四边形ADCE是平行四边形 AD⊥BC,.∠ADC=90°，.四边形ADCE是矩形 形ABCD是矩形，.∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD∥BC. ,:∠B=∠C=∠EMC=90°，.四边形EBCM是矩形，∴.EM (2)AB=AC=2,BC=22,AD⊥BC于点D, =BC=8,EM∥BC,∴.EM∥AD..·∠A=∠B=∠HNB=90° 六BD=CD= 2BC=2,∠ADB=90°， .四边形ABNH是矩形，.HN=AB=4,∠AHIN=90°，.∠HW =∠AIN=90°.：EG⊥FH于点P,∠EPJ=90°， .AD=√AB-BD=√2，AD=CD. ∴.∠NHF=∠MEG=90°-∠EJH..∠HNF=∠EMG=90°. ·四边形ADCE是矩形，.四边形ADCE是正方形 HF HN 4 1 1 3.4【变式C4C Arna器音G-R 5.解：(1)四边形EFGH是矩形 EG·IF=48,.2HF·HF=48,解得HF=26(负值已舍)， 理由：设GH与BD交于点M. .HF的长为2√6 E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 3.(1)证明：四边形ABCD是正方形， .EW/8D.cW/AC.EF/AC.cH-AC.EF-AC. .∠ABE=∠C=90°，AB=BC. AE⊥BF,∠ABE=90°， GH∥EF,GH=EF,.四边形EFGH是平行四边形 ∴.∠EAB+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90° :∠AOB=90°，GH∥AC,∴.∠HM0=90° ∴.∠EAB=∠CBF .EH∥BD,∴.∠EHG=90°， I∠EAB=∠CBF .四边形EFGH是矩形 在△ABE与△BCF中，AB=BC, (2)∠DAB=90°（答案不唯一）. N∠ABE=∠C 6.(1)证明：D是边BC的中点，BD=CD. .△ABE≌△BCF(ASA),∴.BE=CF :DE=DF,.四边形BECF是平行四边形 (2)解：LEAB=∠CBF,∴∠GAE=∠PBH. :BC=EF,∴四边形BECF是矩形 ,PH⊥GP,∴.∠GPH=90°.