第十一章二次根式 单元提升小练 2025-2026学年苏科版八年级下册数学

**基本信息** 本卷为初中数学二次根式单元复习卷，通过基础计算、实际应用及几何综合题，分层考查二次根式的性质、运算及应用，培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|二次根式计算、化简、几何应用（如第6题长方形内正方形面积）|结合高空抛物情境（第4题），考查运算能力| |填空题|10|取值范围、同类二次根式、秦九韶公式（第16题）|新定义运算（第14题），培养推理意识| |解答题|6|化简求值、实际问题（第24题矩形菜地）、配方法应用（第26题）|设置“友好二次根式”新定义（第23题），提升创新意识|

二次根式单元提升小练 一、单选题 1.下列计算结果正确的是() A.V-2=-2 B.8=-2 C.16=±4 D.√2-5=-5 2.若Vm-6+5-m=m,则m的值为() A.25 B.31 C.36 D.45 3.计第2一的结果为（） A.2-1 B.2+1 C.√2 D.2W2 4.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间t(单位：s) 和高度h(单位：m)近似满足公式1=5 （不考虑风速的影响).记从25m高空抛物到落 地所需时间为4，从50m高空抛物到落地所需时间为5，则上的值为《) A.2 B.√2 C.25 2 D.5 5 5.已知a+b=4,√a+√b=√6，则√a-√6的值为() A.2 B.±2 C.2 D.2 6.如图，长方形内两个正方形的面积分别为3cm2,1cm2.则图中两块阴影部分的面积和为 () 3cm2 1cm2 A.(3-1)cm2 B.3cm2 C.2em2 D.1cm2 7.己知a<0,则二次根式√ab化简后的结果为() A.ab B.a√b C.-a/b D.-a√-b 8.将1，√2，√5，√6按下列规律排列，若规定m,n)表示第m排从左至右第n个数，例 如，(4,2)表示√6.那么，表示5,5和10,8)的数的积是() 第一排 第二排 1 万 第三排 6 1 5 第四排 A.√5 B.√2 C.32 D.√6 9.如图，在ABC中，AB=2√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与点 A在BC的两侧，则AD的最大值为() B D A.4 B.6 C.1+√2 D.2+2W2 10.如图1，在平面直角坐标系中，将。ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴.直线y=-x从 原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度1与直线在x 轴上平移的距离m的函数图象如图2，那么口ABCD的周长为() 2W2 78 m 图1 图2 A.8+25 B.8+25 C.6+42 D.6+2√2 二、填空题 11.若实数m满足√m-2)}=2-m,则m的取值范围是 12.√5与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则mn= 13.比较大小： 5-2 1 (填>，=或<). 2 -4 14.对于任意实数a、b(b≥0)，定义新运算“※”：※b=2√a厅+a6.则(-5)※2的值 为 15.已知m=√万-√5，n=√7+√5，求mn3-mn的值 16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中，提出了利用三角形三边长求面 积的“秦九韶公式”，即：如果一个三角形的三边长分别为α，b,c,则该三角形的面积为 S- a'b? a2+b2-c2 现已知ABC的三边长为2,3，√15，利用公式可求得 V4 2 ABC的面积是 17.如图，长方体的所有棱长和为48cm,长、宽、高的比为3：2：1，若一只蚂蚁从顶点A沿 长方体表面爬行到顶点B,最短的路程是cm. 18.如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交 CD于点P.若PM=PC,∠PCM=30°，则CM的长为 19.如图，四边形ABCD是菱形，连接AC,BD交于点O.G为AD边上的一动点（不与 点A,D重合)，GE⊥AC于点E,GF⊥DB于点F,若OA=3,OB=6,则EF的最小值 为 B 20,若6，G分别为直角三角形辆条直角边，且：c满足，、5245+4（英中， c为有理数)，则该直角三角形的斜边长为一· 三、解答题 21.计算： (I)8+√32-√2； @-2+ 22.已知x=3+6,y=3-√6，求下列各式的值： (1)x+y=;y=; (2)x2+xy+y2. 23,定义：若两个二次根式的代数式m,n满足mn=p,且P是有理数，则称m与n是关 于p的“友好二次根式”. (1)若m与√5是关于6的友好二次根式，求m的值； (2)若2-√5与4+√5m是关于-2的友好二次根式，求m的值. 24.如图，某居民小区有一块矩形菜地ABCD,菜地的长BC为√162m,宽AB为√50m.现 要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水并的半径为5 m.（π取3) A D B ()求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） (②)若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积. 25.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平 方，如：5+26=(2+3)+22x3=(V2+(⑤+22×5=(2+： 7+4万-7+2-4+24x3+(-4+-2+5; (1)填空：4+25=-，V5-2√6=- (2)进一步研究发现：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个正数a,b(a>b),使 a+b=m,ab=n,即(Va+Nb=m,axb=Vn,那么便有：√m±2√万=-： 【拓展提升】 (3)化简：V8+4V5+√8-4√5（请写出化简过程）. 26.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已 知x可取任何实数，试求二次三项式x2-4x+5的最小值. 解：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2+1, 无论x取何实数，都有(x-2)≥0， (x-22+1≥1，即x2-4x+5的最小值为1. (1)【尝试应用】：请直接写出x2-8x+10的最小值一； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式√2x2+x+2都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形ABC中，∠C=60°，BC=8,记AB=a,AC=b,当 b2-2a2最大时，求此时b的值. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A B 1.B 【详解】解：对选项A: V-22=V4=2≠-2，A错误. 对选项B:（-2)3=-8,-8=-2,B正确. 对选项C:√16表示16的算术平方根，结果为非负数，√16=4≠±4，C错误. 对选项D:√2与5不是同类二次根式，不能直接合并，且√2-√5≠-√5，D错误 2.B 【详解】解二次根式√m-6有意义， m-6≥0，即m≥6. m≥6， 5-m<0,可得5-m=m-5. 将化简结果代入原方程得 √m-6+m-5=m, 整理得√m-6=5, 两边平方得m-6=25, 解得m=31. 经检验m=31符合题意. 3.B 1 1x(V2+1 【详解】解：2-(2-12+ =V2+1. 4.B 【详解】解：当h=25时，4=兮 =5（秒： 当h=50时，4=5 .而（秒： 左-0=2. 5.C 【详解】解：a+b=4,√a+b=6,（Na+b=a+b+2ab, 6=4+2ab, ∴2√ab=2, 又(a-b=a+b-2ab, Na-6)=4-2=2, √a-√b=t 6.A 【详解】解：由长方形内两个正方形的面积分别为3cm,1cm2可知：它们的边长分别为 √5cm,lcm, 阴影部分的面积为5+1×√5-3-1=3+√5-3-1=(3-cm2. 7.C 【详解】解：~二次根式√a五有意义， 被开方数满足ab≥0. a<0, ·a2>0,因此可得b≥0， i Jab-va"./b=alB. a<0, a=-a, ia'b=-avb. 8.A 【详解】解：由图可知：第一排：1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个 数， 第m排有m个数，从第一排到第m排共有：1+2+3+4+…+m=mm+》个数，且 每四个数一个循环，(5,5)表示第5排第5个数， ~前4排共有1+2+3+4=10个数， 5,5为第15个数， :15÷4=3…3, “表示5,5的数是√5； ~10,8)表示第10排第8个数即第53个数， 53÷4=131, 10,8)表示的数为1， ∴表示5,5和10,8)的数的积是√5x1=√5； 9.B 【详解】解：如图，把ABC绕B顺时针旋转90°得到△HBD,连接AH, B .AB=BH=22,AC=DH=2,∠ABH=90°， AH=VAB2+BH2=4· :AD≤DH+AH, :AD的最大值为4+2=6 10.B 【详解】解：直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，平移的距离m, “平移后的直线为直线y=-x-m=-x+m, 由图2可知，当m=4时，直线经过点A;当m=7时，直线经过点D；当m=8时，直线经 过点B, :在7≤m≤8时，1=2√2保持不变， :此时直线同时与AB、CD相交，且AB∥CD∥x轴. :直线y=-x在二四象限的角平分线上， “直线y=-x+m与x轴所成角中的锐角为45°. 如图，过点D作DH⊥AB于点H,则LHED=∠HDE=45°， :.HD=HE. HD2+HE2=DE2=(22=8, ·HD=HE=2 、D B H E 、 图1 :.y=-(x-m)=-x+m, “.x+y=m 设Ax4,yA),则x4+y4=4, 设B(xB,y),则xg+yA=8, AB=xB-x4=8-4=4. 设D(xo,yo),则yn=y4+2, 当m=7时直线过D,即xo+yp=7, xp+y4+2=7,即xD+y4=5, .xp-xA=(xD+yA)-(x4+yA)=5-4=1, 六AH=xD-x4=1. 在RtADH中，AD=√AH?+DH2=V2+22=N5, ·平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=24+V5=8+2V5 11.m≤2 【详解】解：根据二次根式的性质可得： V(m-2)2=m-2由题意得m-2=2-m, 整理得m-2=-m-2）, 根据绝对值的性质，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数为非正数， 因此：m-2≤0， 解得m≤2. 12.6 【详解】解：与最简二次根式√m+1是同类二次根式， m+1=3,n-1=2, 解得m=2,n=3, .mn=2×3=6. 13.< 【详解】解：5-2_125-2125-4-125-5 2444 4 4 :2V5=V4x5=V20,5=√25， 2V5<5, 25-5<0, 25-5<0, 4 :5-20 24 :5-2<1 24 14.2√5-√6/-√6+2V5 【详解】解：~a※b=2Va2+a√， -5)※2=2-+(-5x万 =25-6, 15.835 【详解】解：“m=√万-√5，n=√万+5， m+m=7-5+7+5=2万，mm=(N万-5)x7+5)=(7°-(5=7-5=2， n-m=V万+5-（万-5）=7+5-万+5=25， mn3-mn =mn(n2-m2） =mn(n+m(n-m =2x2V7×2W5 =8V35 16.355s 22 【详解】解：：△ABC的三边长为2,3，√5，三角形的面积为 w可 w可 -36-时 -46-可 1 V4x35 35 2 17.6√2 【详解】~所有棱长和为48cm,一组长、宽、高的和为12cm, 又长、宽、高的比为3：2：1 长方体的长为12×，3 =6cm,宽为12×、2 3+2+1 =4em,高为12×，=2cm 3+2+1 3+2+1 蚂蚁有三种爬法： 如图1：蚂蚁爬行的路径AB=√62+(4+22=√72=62cm 如图2：蚂蚁爬行的路径AB=V6+4)2+2=√104=2V26cm 如图3：蚂蚁爬行的路径AB=V6+2+42=V80=45cm B 4 B 2 A 6 6 图1 图2 图3 √72<√80<V104 ∴蚂蚁从A爬到B最短的距离是6√2. 18.6√5-6 【详解】解：PM=PC,∠PCM=30°， ∠PCM=∠PMC=30°， ∠DPA=60°， 又正方形ABCD的边长为6， LADP=90°，AD=CD=6,∠ADM=∠CDM=45°， ∴.∠DAP=30°， 在RtA ADP中，AP=2DP, (2DP)2=DP2+AD2, ∴DP=2V5,，AP=2DP=45, ∴PM=CP=CD-DP=6-25, ÷AM=AP-PM=4V5-(6-2W5=6V5-6, 在△ADM和CDM中， AD=CD ∠ADM=∠CDM DM=DM △ADM≌△CDM(SAS, ∴CM=AM=6V3-6, 19.65 5 【详解】解：如图，连接OG, B ~四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,0D=0B=6, ∠A0D=90°， 由勾股定理得AD=V0A2+0D2=√9+36=3V5, GE⊥AC,GF⊥DB, .∠GE0=∠GF0=90°， 四边形OFGE为矩形， ∴EF=OG, 当0G⊥AD时，OG的值最小，即EF的值最小， 由等面积得0G=O40D_3x66V5 AD 35 5 即EF的最小值为5 20.√10 b b(2+⑤) 【解】解2-52万6+间=2+6 c(2-v⑤) 2+52+j2-同c2-=2c-5 将上述结果代入原等式得：2h+bW5-(2c-c5=4+4V5 整理得：(2b-2c)+(b+c)V3=4+43 因为b,c为有理数，√5为无理数， 2b-2c=4 因此等式两边对应系数相等，可得方程组： b+c=4 化简第一个方程得b-c=2, 将该式与b+c=4相加得2b=6, 解得b=3, 将b=3代入b+c=4, 解得c=1, 因为b,c是直角三角形的两条直角边，根据勾股定理，斜边长为：Vb2+c2=V32+1P=√0 21.(1)52 (2)4 【详解】(1)解：⑧+√32-2 =2√2+42-V2 =5√2 2》解：s÷6-2而8 =4-2√2+2√2 =4 22.(1)6;3 (2)33 【详解】(1)解：x+y=3+6)+(3-6)=3+6+3-6=6: y=(3+6)x3-v6)=32-6)=3: (2)解：x2+xy+y2=x2+2xy+y2-xy=(x+y)2-y=62-3=33. 23.(1)25 (2)2 【详解】)解：板据题意，得m=店25， 6 (2)解：根据题意，得2-V⑤)(4+5m)=-2. ∴8+2V5m-45-5m=-2. (2W5-5m=-2-8+45. 45-10 .m= 2√5-5 2 24.(1)282m @w 【详解】(1)解：矩形菜地的周长为2x√162+2×√50=2×9V2+2×5√2=28√2(m). (2)解：“水并的半径为3m 2 m, 2 “水井面积为元2=3× 2 菜地面积为√162×√50=90m2), 讲程白菜都分铃面积为0-}() 25.)3+12,5-2: (②)va±Vb(a>bj (3)26 【详解】(1)解：4+23=3+2W3+1=3+23+1P=(5+1, 5-26=(5-2x3x2+(2=(5-2, 5-26-5-2-5-2: (2)解：a+(=m,axb=n, m±2w=a'+6±2xax5=a±6-a±， 两个正数a,b(a>b) ia>/b √m±2n=Va±b=√a±b; (3)解：8+45=(V6+2×v6x2+2=(6+2, 同理可得8-45=(6-V2), V8+45+V8-45, =6+2+6-, =6+√2+6-√2， =2√6 26.(1)-6 (2)见解析 (3)8 【详解】(1)解：x2-8x+10=x2-8x+16-6=(x-4)2-6, 无论x取何实数，都有(x-4)≥0， (x-4)2-6≥-6，即x2-8x+10的最小值为-6. （2)解： 2r*2-2+小-2r++6*8)-+ 无论x取何实数， +八≥0. 2x+4 4 8 8 即2x2+x+2>0 无论x取何实数，二次根式√2x2+x+2都有意义. (3)解：过点A作AD⊥BC于点D. ∠C=60°，∠CDA=90°， ∠ADC=180°-∠C-∠CDA=30°， ×AC=b, CD=1AC=b 2 2 BC=8, ÷BD=BC-CD=8-b AB=a,∠CDA=∠BDA=90°， 在Rt△CDA中， AD2=AC2-CD2=b2- 在RtaBDA中， 00-0=0-8-9 ·AC2-CD2=AB2-BD2, 即6-=-8 化简得，a2=b2-8b+64, ∴b2-2a2=b2-2b2-8b+64=-b2+16b-128=-(b-82-64, ×(b-82≥0， -(b-82≤0， -(b-8)2-64≤-64， ∴当b=8时，b2-2a2取得最大值.